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Capítulo
Las operaciones suma, resta, producto y división
Matemáticas de Nivelación en Internet^1
2.1. Operaciones con números naturales
Sobre N podemos definir la cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división.
2.1.1. Suma
Llamaremos suma o adición de dos números naturales, a, b ∈ N, al nuevo número natural, al que simbolizaremos a + b, que resulta de añadirle al número a tantas unidades como indique b. Se llama sumandos a los números a y b que intervienen en la operación.
Las propiedades de la suma de números naturales son bastante sencillas. Además, todas ellas siguen siendo válidas cuando, en los próximos apartados estudiemos la suma en conjuntos más amplios de números (enteros, racionales, reales, complejos).
Propiedades
- Conmutativa : La suma de dos números naturales no depende del orden en que situemos los sumandos, es decir: a + b = b + a. siempre que a y b sean dos números naturales.
- Asociativa : A la hora de sumar tres o más números naturales, el resultado no depende de cómo los agrupemos, es decir:
(a + b) + c = a + (b + c),
para cualesquiera a, b, c ∈ N.
2.1.2. Resta
La resta de dos números naturales, a y b, es el resultado de disminuir a tantas unidades como indique b. Al resultado, al que también llamaremos substracción o diferencia de a y b, lo simbo- lizaremos como a − b. A los números a y b se les llama minuendo y sustraendo.
La resta de números naturales es una operación más compleja que la suma, como reflejan las siguientes propiedades: (^1) Copyright c© J. Rafael Rodríguez Galván. Este documento es libre. Se otorga permiso para copiarlo, distribuirlo y/o modificar- lo bajo los términos de la Licencia de Documentación Libre GNU, versión 1.2 o cualquier otra versión posterior publicada por la Fundación de Software Libre, http://es.gnu.org/Licencias/fdles.html
2 Las operaciones suma, resta, producto y división
Propiedades
- La resta no es una operación interna en N, es decir, si a y b son dos números naturales, a − b puede no ser un número natural^2
- La resta de números naturales no verifica las propiedades conmutativa ni asociativa.
Ejemplos
2.1.3. Producto
El producto de dos números naturales, a y b, es el resultado de sumar a consigo mismo tantas unidades como indique b. El resultado se simboliza como a × b o bien a · b o, simplemente, ab.
ab =
︷ (b^ veces)︸︸ ︷ a + a + a + · · · + a
A los números que intervienen en la operación, a y b, se les llama factores.
Las propiedades del producto de números naturales son también válidas para los otros tipos de números que estudiaremos más adelante:
Propiedades
- Conmutativa El orden de los factores no altera el producto:
ab = ba ∀a, b ∈ N
- Asociativa El modo de agrupar los factores no influye en el resultado:
(ab)c = a(bc) ∀a, b ∈ N
- Elemento unidad El producto de cualquier número natural por 1 es igual al mismo número:
a × 1 = a ∀a ∈ N
Por este motivo, se dice que el 1 es el elemento unidad o elemento neutro del producto. (^2) Obviamente, a − b ∈ N solamente cuando a > b
4 Las operaciones suma, resta, producto y división
2.2.1. Suma
Es bueno advertir que, a diferencia de lo que ocurre con los números naturales, la suma de números enteros no siempre equivale a añadir o aumentar la cantidad original. Por ejemplo, supongamos que un tren se mueve por una vía que transcurre de oeste a este y definamos éste sentido como el positivo. Si el tren se mueve 7 kilómetros hacia el este y 10 hacia el oeste, ¿cuál es su situación final?. Considerando movimientos hacia el este como positivos y movimientos hacia el oeste como negativos, la suma final sería: 7 + (− 10 ) = − 3 , con lo que el tren estaría situado 3 kilómetros al oeste de su situación original.
La suma de números enteros se puede definir según el signo de los sumandos:
La de dos números enteros positivos coincide con la suma de dos números naturales. Ejem- plo: + 3 + (+ 4 ) = 3 + 4 = 7 Para sumar dos números negativos, los cambiamos de signo, sumamos y escribimos el re- sultado con signo negativo. Ejemplo: − 3 + (− 4 ) = −( 3 + 4 ) = − 7 Para sumar dos números de distinto signo, los escribimos con signo positivo, restamos al mayor de ellos el menor^3 y escribimos el resultado con el signo original del mayor. Ejem- plos: 5 + (− 2 ) = +( 5 − 2 ) = + 3 3 + (− 4 ) = −( 4 − 3 ) = − 1 − 4 + 6 = +( 6 − 4 ) = 2
Como en el caso de los números naturales, la suma de números enteros verifica las propiedades asociativa y conmutativa. Pero en este caso se verifican, además, dos nuevas propiedades: existen- cia de elemento neutro y de elemento opuesto
Propiedades
- Asociativa : ( 3 + (− 1 )) + 7 = 3 + (− 1 + 7 )
- Conmutativa : 3 + (− 1 ) = − 1 + 3.
- Elemento neutro : La suma de 0 a cualquier número entero es igual a ese mismo número. a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ Z Se dice que el 0 es el elemento neutro de la suma.
- Elemento opuesto : Dado cualquier número entero, existe otro que sumado con el primero es igual a cero. ∀a ∈ Z ∃ (−a) ∈ Z / a + (−a) = 0 Al número −a se le llama el elemento opuesto de a.
Ejemplos
- Si sumamos − 3 + 0 , el resultado es − 3.
- El opuesto de 3 es − 3 , porque 3 + (− 3 ) = 0. El opuesto de − 7 es 7 , porque 7 + (− 7 ) = 0. En general, el opuesto de un número es el mismo cambiado de signo. (^3) lo que siempre será una resta válida de números naturales
2.2 Operaciones con números enteros 5
2.2.2. Valor absoluto de un número
La existencia de elemento opuesto, nos permite definir el valor absoluto de un número (entero o de cualquier otro tipo) como él mismo, si es positivo, o su opuesto, si es negativo. Denotamos por |x| al valor absoluto de x. Lo anterior se expresa simbólicamente de la siguiente forma:
|x| =
x si x ≥ 0 −x si x < 0
Las siguientes propiedades son válidas para el valor absoluto de cualquier tipo de números:
Propiedades
- El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual que cero^4. Además, el único número cuyo valor absoluto es cero es el 0. |a| ≥ 0, |a| = 0 ⇔ a = 0 Por ejemplo, | − 3 | = 3 ≥ 0.
- El valor absoluto del producto^5 de dos números es igual al producto de sus valores absolutos. |a · b| = |a| · |b| Por ejemplo, | 3 · 2 | = 6 = | 3 | · | 2 |
- El valor absoluto de la suma es más pequeño que la suma de los valores absolutos. Esta propiedad se conoce como desigualdad triangular y su significado se estudiará con más detalle en próximos temas. Por ahora, se puede adelantar que tiene bastante que ver con que el camino más recto entre dos puntos sea la línea recta... |x + y| ≤ |x| + |y| Por ejemplo, | − 3 + 2 | = | − 1 | = 1 ≤ | − 3 | + | 2 | = 5
2.2.3. Resta
Restar dos números enteros (minuendo y sustraendo) consiste, simplemente, en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo , es decir
a − b = a + (−b).
Ejemplo:
(^4) Esto es fácil de demostrar: si el número es positivo, su valor absoluto es positivo (pues es el mismo número) y si es negativo, su valor absoluto también es positivo (pues el opuesto de un número negativo es positivo). 5 Operación que trataremos con detalle más adelante
2.3 Operaciones con números racionales 7
Ejemplo:
Si tratamos de dividir − 7 entre 2 , nos encontramos con varias posibilidades
(− 7 ) = 2 · 3 + (− 13 ), (− 7 ) = 2 · 2 + (− 11 ), (− 7 ) = 2 · 1 + (− 9 )
...
(obsérva que, en todos los casos, el resto es menor que el denominador). Solamente en el caso de que la división sea exacta (es decir, que el resto sea cero), se puede garantizar que el cociente de dos números enteros no positivos sea único. En este caso (en el que (D = d · c), escribimos D : d = c o bien Dd = c, y el signo del cociente estará dado por la siguiente tabla:
(signo de D ) / (signo de d ) = (signo de D/d )
- / + = +
- / − = − − / + = − − / − = +
Ejemplos
+ − −^84 = + 2
2.3. Operaciones con números racionales
2.3.1. Suma
La suma de dos fracciones se calcula de la siguiente forma:
Si tienen el mismo denominador, el resultado es una nueva fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores de los sumandos y cuyo denominador es igual al denominador de éstos. a c +^
b c =^
a + b c Si el denominador de los dos sumandos es diferente, calculamos dos fracciones equivalentes (una para cada sumando) que tengan un mismo denominador y las sumamos. Así, podemos obtener la suma procediendo como en el caso anterior. Existen distintas formas para reducir dos fracciones a otras equivalentes con un denomina- dor común. La más inmediata consiste en multiplicar y dividir cada uno de los sumandos
8 Las operaciones suma, resta, producto y división
por el denominador del otro: a c +^
b d =^
ad cd +^
cb cd =^
ad + cb cd
Ejemplo:
2 +^
3 =^
6 +^
6 =^
6 =^
Pero este método tiene el inconveniente de que, con frecuencia, puede conducir a valores demasiado grandes (que probablemente deseemos simplificar, es decir, escribir en forma de otra fracción equivalente más sencilla, para que no resulte engorroso manejarlos en el futuro)
Ejemplo:
= 45 +^70
Existe otro método reducir dos fracciones a común denominador sin que los números obtenidos sean demasiado grandes. Este método se basa en el cálculo del mínimo común múltiplo^6 de los denominadores, y consiste en lo siguiente:
- Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, cuyo valor será el denominador de la fracción resultante.
- Cada numerador se multiplica por el m.c.m. y se divide por el respectivo denominador.
Ejemplo:
Para calcular la suma de 3 10
y 7 15
, teniendo en cuenta que mcm(10, 15) = 30 , tenemos:
3 10 +^
15 =^
= 3 ·^3 +^7 ·^2
= 9 +^14
El método del m.c.m. se puede generalizar de forma muy fácil a la suma de tres o más fracciones. De hecho, este método resulta especialmente adecuado en estos casos, pues a medida que aumenta el número de fracciones involucradas en la operación, mayor es el riesgo de obtener números demasiado grandes^7.
Ejemplo:
15 +^
20 =^
= 13 ·^5 −^9 ·^4 +^7 ·^3
(^6) Puedes ver su definición en el tema dedicado a la Divisibilidad de números enteros (^7) Si no temes hacer cuentas con números grandes, prueba a calcular la suma que se propone en el siguiente ejemplo sin usar el método del m.c.m. ¡Y los más osados, que apagen la calculadora!
10 Las operaciones suma, resta, producto y división
Ejemplo:
4 ·^
2 =^
4 · 2 =^
8 El producto de números racionales es una operación interna en^ Q, que verifica las mismas propiedades que el producto de números enteros junto con una adicional: la existencia de elemento inverso.
Propiedades
- Asociativa
- Conmutativa
- Elemento unidad: 1 · q = q ∀q ∈ Q
- Elemento inverso: Todo número racional a ∈ Q salvo el cero tiene un elemento inverso , es decir, otro número multiplicado por el primero da 1. Al elemento inverso de a lo repre- sentaremos como a−^1. Obviamente, el elemento inverso de una fracción ab es la fracción ba , pues a b
· b a
= ab ba
= ab ab
Ejemplos
3 es^
2 , pues^
3 ·^
2 =^
3 · 2 =^
6 =^1
, pues 4 · 1 4
2.3.4. División
Se define la división de dos números racionales (dividendo y divisor) como el producto del primero por el inverso del segundo. Según esto, la división estará bien definida siempre que podamos calcular el inverso del divisor, lo cual es posible siempre que éste sea distinto de cero. Es decir, la división de dos números racionales está bien definida siempre que el divisor sea distinto de cero.
Ejemplos
= 7 ·^2
8 3 3 5
3 :^
5 =^
3 · 3 =^
La división de números racionales no es una operación interna en Q (no siempre produce un resul- tado admisible, pues no podemos dividir por cero). Tampoco verifica el resto de las propiedades habituales (asociativa, conmutativa).
2.4 Operaciones con números reales 11
2.4. Operaciones con números reales
En general, dados dos números reales, no podremos contar con ninguna regla que nos permita expresar exactamente cuál es el resultado de la suma, resta, producto o división de estos números. Tendremos que conformarnos con dejar indicada la operación, simplificándola tanto como nuestro ingenio sea capaz.
Ejemplos
- El número real π − 2 no puede ser expresado de ninguna forma más sencilla. Por ejmplo, teniendo en cuenta que π = 3,14... podríamos escribir
π − 2 = 3,14... − 2, 00 = 1, 14...
Pero si damos solamente esta última expresión decimal, estaremos cometiendo un error: ¿cuál es la siguiente cifra de 1,14...? Los números π − 2,001, 5750 y muchos otros más se ajustan a esta misma expresión decimal, así que cuando escribimos 1,14..., ¿en qué número estamos pensando? La única forma de evitar estas ambigüedades es escribir π − 2.
se puede reescribir de una forma “más compacta”
π 6 +
3 =^
π 6 +^
2 · 3 =^
π + 2
En algunos casos puede ser más útil la primera expresión y en otros casos la última, pero en cual cualquier caso tendremos que conformarnos con dejarla indicada.
2.5. Propiedad distributiva. Jerarquía de las operaciones
Hasta este momento, se han estudiado las propiedades de cada operación sin tener en cuenta cómo se relacionan las unas con las otras. Por ejemplo, decíamos que la suma de números enteros verifica las propiedades asociativa, conmutativa y existencia de elemento neutro, y que el producto de números enteros verifica las propiedades asociativa, distributiva y existencia de elemento unidad, sin estudiar ninguna propiedad que hiciera referencia a la forma en que interactúan las operaciones suma y producto. Una propiedad de este tipo es la distributiva:
Propiedades
- Propiedad distributiva del producto con respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ R.
Si miramos esta propiedad de izquierda a derecha, podemos entender que expresa la forma de desarrollar el producto o de introducir un factor dentro del paréntesis. Sin embargo, si la miramos de derecha a izquierda, la propiedad distributiva nos expresa la posibilidad de sacar un factor común hacia fuera de un paréntesis.
Ejemplos
