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Kharla Mérida
El número más pequeño divisible entre dos o más números. ¿De qué nos puede servir? Ana prepara galletas para tres clientes, el cliente A recibe las galletas en cajitas de 3 unidades, el cliente B recibe las galletas en cajitas de 5 unidades y el cliente C recibe las galletas en cajitas de 4 unidades. Cuanto es lo mínimo que debe preparar para que pueda ser despachado sin faltas ni sobrantes a cualquiera de los 3 clientes.
2.3 Mínimo Común Múltiplo, m.c.m.
El menor número de galletas que puede ser distribuido en cajitas de 3, 5 o 4 galletas exactamente es 60. ¿Cómo lo sabemos?
Juan tiene sólo billetes de 20, Luis sólo billetes de 5 y Carmen sólo billetes de 10. ¿Puede cada uno pagar su pasaje de forma exacta si el valor es de 15? ¿Y si es de 20?
Acompáñanos para aprender acerca de este valioso recurso.
Descripción
2da Unidad
Múltiplos y Divisores
Kharla Mérida
MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Definición de Mínimo Común Múltiplo MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Mínimo Común Múltiplo. Calculando con las reglas
MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Cálculo de M.C.M. Por Método Rápido. Descomposición
Simultánea
MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Calcular el Mínimo Común Múltiplo. Ejercicio 1
MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Calcular Mínimo Común Múltiplo por Descomposición Simultánea. Ejercicio 2
Múltiplos, Divisores, Números Primos, Números Compuestos, Descomposición de Números en Factores Primos, Primos Relativos, m.c.m., M.C.D.
Videos Disponibles
2
Contenido
Dominio de Multiplicación y División, descomposición de números en factores primos, conceptos de múltiplos y divisores.
Conocimientos Previos Requeridos
Kharla Mérida
4 es 2 a la 2.
1ro: Descomponemos el 4.
- Trazamos una línea vertical del lado derecho del 4.
- El 4 es divisible entre 2 , ¿Por qué?. El cociente es 2.
- Colocamos el 2 debajo del 4.
- 2 divisible entre 2. El cociente es 1 , que se coloca debajo del 2 , y terminamos la descomposición.
2 4 ^ 2 = 2
4 es divisible entre 2
2 2 = 1
2 es divisible entre 2
4 = 2^2
Recordemos: El exponente, que es el numerito que colocamos en la parte superior derecha del 2 , representa la cantidad de veces que se multiplica el 2.
12 es 2 a la 2 , por 3.
2do: Descomponemos el 12.
- Trazamos una línea vertical del lado derecho del 12.
- El 12 es divisible entre 2. ¿Por qué?. El cociente es 6.
- Colocamos el 6 debajo del 12.
- 6 divisible entre 2. El cociente es 3 , que se coloca debajo del 6.
- 3 divisible entre 3. El cociente es 1 , que se coloca debajo del 3 , y terminamos la descomposición.
12 2 = 6
12 es divisible entre 2
6 2 = 3
6 es divisible entre 2
12 = 2^2 · 3
3 3 = 1
3 es divisible entre 3
- El 4 es divisible entre 2 , porque es un número par.
Recordemos: El criterio de divisibilidad de 2 dice: “Todo número par es divisible entre 2 ”.
¿Por qué?
4
18 es 2 por 3 a la 2.
3ro: Descomponemos el 18.
- Trazamos una línea vertical del lado derecho del 18.
- Verificamos si el 18 es divisible entre 2 , que es el primer número primo. El cociente de 18 entre 2 es 9.
- Colocamos el 9 debajo del 18.
- 9 divisible entre 3. El cociente es 3 , que se coloca debajo del 9.
- 3 divisible entre 3. El cociente es 1 , que se coloca debajo del 3 , y terminamos la descomposición.
18 2 = 9
18 es divisible entre 2
9 3 = 3
9 es divisible entre 3
12 = 2^2 · 3
3 3 = 1
3 es divisible entre 3
Kharla Mérida
La regla dice: se toman los factores comunes y no comunes, con su mayor exponente.
- En la descomposición del 4 el 2 tiene exponente 2 , en la descomposición del 12 tiene exponente 2 y en la descomposición del 18 tiene exponente 1 , sobre entendido. El mayor exponente es 2 , entonces para el m.c.m. tomaremos 22.
- El 3 no es un factor común, porque está en la descomposición del 12 , con exponente 1 , y en la del 18 , con exponente 2 , pero no en la del 4. La regla dice “y no comunes”. El mayor exponente es 2 , entonces lo tomamos con ese exponente, 32.
4 = 2^2 12 = 2^2 · 3 18 = 2· 3^2
La descomposición de los tres números es: El 2 es común a todos los números dados. El 3 no es común a todos los números dados.
m.c.m. (^) { 4 , 12 y 18 }: 22 · 32 = 4 · 9 = 36
MULTIPLOS Y DIVISORES. Mínimo Común Múltiplo. Por Método Rápido. Descomposición Simultánea.
El método rápido consiste en hacer una descomposición simultánea de los números dados. Veamos cómo es esto.
Ejemplo. Calcular el m.c.m. de 4, 12 y 18
- Colocamos los 3 números uno al lado del 4 12 18 otro, con el mínimo espacio que permita trabajar en orden.
- Verificamos si los números son divisibles entre 2. Si al menos uno es divisible entre 2 , colocamos 2 como 1er divisor.
- Colocamos los cocientes debajo de cada número.
4 2 = 2
4 , 12 y 18 son divisibles entre 2
12 2 = 6 18 2 = 9
5
- Verificamos si los cocientes son divisibles entre 2. Si al menos uno es divisible entre 2 , colocamos 2 como siguiente divisor.
- Colocamos los cocientes debajo de cada número divisible. El 9 , que no es divisible, queda igual.
2 2 = 1
2 y 6 son divisible entre 2
6 2 = 3
Kharla Mérida
40 es 2 por 2 por 2 por 2 por 3.
- 6 es divisible entre 2. El cociente de 6 entre 2 es 3 , que se coloca debajo del 6.
- 3 es divisible entre 3. El cociente de 3 entre 3 es 1 , que se coloca debajo del 3. Y terminamos la descomposición.
24 6 ^ 2 = 3
6 es divisible entre 2
3 3 = 1
3 es divisible entre 3
48 = 2^4 · 3
La regla dice, “se toman los factores comunes y no comunes, con su mayor exponente”.
El 2 no es común al 15 , 20 y 48. Como la regla dice “y no comunes con su mayor exponente” , se toma con el 4 que es el mayor exponente con que aparece, 24.
15 = 3· 5 20 = 2^2 · 5 48 = 2^4 · 3
La descomposición de los tres números es:
El 2 no es común a todos los números dados. El 3 no es común a todos los números dados. El 5 no es común a todos los números dados.
El 3 no es común al 15 , 20 y 48. Como la regla dice “y no comunes con su mayor exponente” , se toma con el 1 que es el mayor exponente con que aparece, 3.
El 5 no es común al 15 , 20 y 48. Como la regla dice “y no comunes con su mayor exponente” , se toma con el 1 que es el mayor exponente con que aparece, 5.
El m.c.m. de 15 , 20 y 48 es el producto de 24 · 3 · 5.
m.c.m. (^) { 15 , 20 y 48 }: 24 · 3 · 5 = 240
MULTIPLOS Y DIVISORES. Calcular el Mínimo Común Múltiplo. Por Descomposición Simultánea. Ejercicio 2
Calcular el m.c.m. de 15 , 20 y 48 aplicando descomposición simultánea.
3ro: Descomponemos el 48.
- Trazamos la línea vertical del lado derecho del 48.
- 48 es divisible entre 2. El cociente de 48 entre 2 es 24.
- Colocamos el 24 debajo del 48.
- 24 es divisible entre 2. El cociente de 24 entre 2 es 12 , que se coloca debajo del 24.
- 12 es divisible entre 2. El cociente de 12 entre 2 es 6 , que se coloca debajo del 6.
24 48 ^ 2 = 24
48 es divisible entre 2
24 2 = 12
24 es divisible entre 2
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Kharla Mérida
- 12 es divisible entre 2. Colocamos 2 como 3er divisor.
- Escribimos el cociente debajo de 12. El 15 y 5 , quedan igual. 12 2 = 6
12 es divisible entre 2
- 6 es divisible entre 2. Colocamos 2 como 4to divisor.
- Escribimos el cociente debajo de 6. El 15 y 5 , quedan igual.
6 2 = 3
10 y 24 son divisible (^15 20 48 2) entre 2 (^15 10 24 ) 15 5 12 2 15 5 6 2 15 5 3
- 15 y 3 son divisibles entre 3. Colocamos 3 como 5to divisor.
- Escribimos el cociente debajo de los números correspondientes. El 5 queda igual.
3 3 = 1
10 y 24 son divisible (^15 20 48 2) entre 2 15 10 24 2 15 5 12 2 15 5 6 2 (^15 5 3 ) 5 5 1
- 5 es divisible entre 5. Colocamos 5 como 6to divisor.
- Escribimos el cociente debajo de los números correspondientes. Llegamos a 1 de cociente en todos, terminamos la descomposición.
5 5 = 1
10 y 24 son divisible (^15 20 48 2) entre 2 15 10 24 2 15 5 12 2 15 5 6 2 15 5 3 3 5 5 1 5 1 1
El producto de los divisores obtenidos es el m.c.m. buscado. Como puedes observar, llegamos al mismo resultado obtenido aplicando la regla.
m.c.m. (^) { 15 , 20 y 48 }: 24 · 3 · 5 = 240
- Colocamos los 3 números uno al lado del otro.
- 20 y 48 son divisibles entre 2. Colocamos 2 como 1er divisor.
- Escribimos los cocientes debajo de cada número. El 15 , que no es divisible, queda igual.
20 2 = 10
20 y 48 son divisibles entre 2
48 2 = 24
- 10 y 24 son divisibles entre 2. Colocamos 2 como 2do divisor.
- Colocamos los cocientes debajo de cada número divisible. El 15 , queda igual.
10 2 = 5
10 y 24 son divisible entre 2
24 2 = 12
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Kharla Mérida
Emparejando el Lenguaje
Algoritmo. Secuencia de pasos ordenados para la ejecución de una tarea.
Mínimo Común Múltiplo. Es el menor de los Múltiplos Comunes a varios
números enteros.
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Los siguientes ejercicios se sugieren como opción para ejemplos, desarrollo
de Prácticas Guiadas y/o prueba exploratoria de habilidades logradas.
Seleccione en cada caso los múltiplos de los números dados
- Halle el Mínimo Común Múltiplo , aplicando la regla y aplicando descomposición simultánea, de:
- Halle el m.c.m. en los siguientes grupos de números: a. 24, 32, 16 b. 28, 42, 21 c. 35, 56 40
d. 54, 150, 180 e. 66, 108, 165 f. 112, 234, 348
A Practicar
a. 6 y 12 b. 21 y 14 c. 12 y 18
- Tres amigos trabajan por contratos, de tal manera que el albañil tarda 24 días en culminar cada obra, el plomero 18 días y el electricista 12 días. Si empiezan al mismo tiempo, ¿Cuando terminarán simultáneamente un contrato por primera vez?.
- Luisa debe confeccionar unas piezas de vestuario para una escuela de danza. Aunque no le ha definido si serán faldas, para las que necesitaría 5 metros exactos, blusas, para las que necesitaría 6 metros exactos, o mayas, para las que necesitaría 10 metros exactos, si le han dicho la tela que debe usar. Ha encontrado la tela sólo en un lugar y queda poco. ¿Cuánto es lo mínimo que debe comprar para garantizar que pueda sacar una cantidad exacta de piezas en cualquiera de los casos?
Kharla Mérida
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Lo Hicimos Bien?
Comprueba que los resultados de tus cálculos estén correctos. Aquí tienes los
resultados de las operaciones planteadas:
- Mínimo Común Múltiplo de: a. 6 y 12 : 12 b. 21 y 14 : 42 c. 12 y 18 : 36
- m.c.m.: a. m.c.m.{24, 32, 16} = 96 b. m.c.m.{28, 42, 21} = 84 c. m.c.m.{35, 56, 40} = 280 d. m.c.m.{54, 150, 180} = 2700 e. m.c.m.{66, 108, 165} = 5940 f. m.c.m.{112, 234, 348} = 380016
- A los 72 días terminan una obra por primera vez de forma simultánea los tres.
- 30 metros de tela es lo mínimo que debe comprar para garantizar que pueda sacar una cantidad exacta de piezas en cualquiera de los casos.
