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La formación de una cartera de valores óptima. Modelo de MARKOWITZ
- Introducción
- El nacimiento de la teoría de carteras. aportaciones
de Markowitz y Tobin
- Rendimiento y riesgo de un activo financiero
- Rendimiento y riesgo de una cartera de valores
- El modelo de selección de carteras. La regla de
decisión media – varianza
INTRODUCCIÓN
- Una cartera de valores es una determinada combinación de valores
mobiliarios adquiridos por una persona física o jurídica, y que pasan a
formar parte de su patrimonio.
- Con la formación de una cartera se pueden perseguir distintos objetivos :
- Reunir cierto número de acciones de una empresa con fines de control 2. Colocar ahorros transitoriamente ociosos con una rentabilidad liquidez y seguridad aceptables
- Sustraer ahorros a los efectos de la inflación , invirtiendo en valores de renta variable, cuya rentabilidad está correlacionada positivamente con el índice general de precios
- Colocar los excedentes de ahorro, para disfrutar de una renta complementaria de la renta de trabajo
- Otros motivos ,por ejemplo el coleccionismo
INTRODUCCIÓN
- La inversión en valores mobiliarios, es una inversión
financiera.
- Las inversiones financieras al igual que las productivas
originan un desembolso inicial ( coste de la inversión) y luego producen una corriente de cobros y pagos ( Flujos ), bien sea en forma de dividendos o intereses, derechos de suscripción preferente vendidos, gastos de gestión de la cartera, ingresos percibidos como consecuencia de la venta de la cartera
INTRODUCCIÓN
- Las inversiones financieras presentan las siguientes particularidades :
- Fraccionabilidad : mientras que las inversiones productivas no son por lo general fraccionables, las financieras se consideran en la práctica perfectamente fraccionables, pues los activos financieros suelen estar representados por títulos valores de reducido valor nominal, para que puedan ser adquiridos por el mayor número posible de pequeños ahorradores.
- Liquidabilidad : las inversiones financieras, tienen un elevado grado de liquidez ya que se pueden vender con relativa facilidad, pues existen unos mercados secundarios, bastante desarrollados como el mercado secundario bursátil. Ello determina que el tenedor de una cartera de valores, pueda conocer en todo momento y con una gran objetividad el valor de realización de la misma
EL NACIMIENTO DE LA TEORIA DE LA SELECCIÓN DE CARTERAS. LAS APORTACIONES DE MARKOWIT Y TOBIN
- La teoría de la selección de carteras y la consiguiente teoría
del equilibrio en el mercado de capitales, surge a raíz de los
trabajos publicados en 1952 y 1959 por Harry Markowitz y del
trabajo publicado en 1958 por James Tobin, siendo Sharpe y
Lintner quienes complementaron el estudio de este problema.
EL NACIMIENTO DE LA TEORIA DE LA SELECCIÓN DE CARTERAS. LAS APORTACIONES DE MARKOWIT Y TOBIN
- Markowitz recoge de forma explícita en su modelo, los
rasgos fundamentales de la conducta racional del inversor , consistente en buscar aquella composición de la cartera que haga máximo su rendimiento para un determinado nivel de riesgo o que minimice el riesgo de aquélla para un rendimiento dado.
- Como medida del rendimiento, utiliza Markowitz la media o
esperanza matemática del rendimiento que el inversor espera obtener en el futuro, rendimiento que sólo se conoce en términos de probabilidad y como medida del riesgo, la desviación típica del rendimiento.
EL NACIMIENTO DE LA TEORIA DE LA SELECCIÓN DE CARTERAS. LAS APORTACIONES DE MARKOWIT Y TOBIN
- Tobin explica, mediante la teoría de la aversión al riesgo , la
preferencia por la liquidez y la relación decreciente entre la demanda de dinero y el tipo de interés.
- A medida que es mayor el tipo de interés de los activos monetarios
con riesgo, aumenta la demanda de los mismos y disminuye la
tenencia de efectivo
- Se dará la posibilidad a los inversores de obtener el mismo
rendimiento con menor riesgo al mantener el dinero en caja por la
venta de los activos
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UNACTIVO
FINANCIERO
- En economía se entiende por rentabilidad o rendimiento , la
renta generada por cualquier actividad o negocio expresada en términos relativos tanto por uno tanto por ciento
- y como renta la parte de los ingresos de cualquier sujeto
económico que puede ser consumido sin que disminuya su riqueza o patrimonio
- En la teoría de selección de carteras la rentabilidad o
rendimiento de un título se define de la siguiente forma =
it
it it it it P
D P P R
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO
FINANCIERO
Ejemplo 1:
Supongamos que el precio de una acción en el año 2012 es de 25€,
habiendo cobrado un dividendo de 1€ y cuyo precio en el año 2011 fue de
20€. La rentabilidad de la acción fue de (Rit)
- Dit=1€; Pit=20€; Pit+1=25€
- Rit= (1+25-20)/20=0,3=30%
it
it it it
it
P
D P P R
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO
FINANCIERO
Ejemplo 1:
Supongamos que el precio de una acción en el año 2012 es de 25€,
habiendo cobrado un dividendo de 1€ y cuyo precio en el año 2011 fue de
20€. La rentabilidad de la acción fue de (Rit)
- Dit=1€; Pit=20€; Pit+1=25€
- Rit= (1+25-20)/20=0,3=30%
- Dicha rentabilidad es el resultado obtenido por la plusvalía y por los
dividendos
- Plusvalía Rp= (Pit+1-Pit)/Pit = (25-20)/20=0,
- Dividendos Rd= (Dit/Vtco)= 1/20=0,
- Rentabilidad Total= Rp+Rd= 0,25+0,05=0,
it
it it it it P
D P P R
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO
FINANCIERO
- La rentabilidad Rit calculada a posteriori (una vez finalizada la
inversión) es una magnitud conocida con certeza, y por tanto no tiene
varianza, una vez acabada la inversión, se conocen con certeza todos los
datos que intervienen en la fórmula. (ejemplo 1)
- Sin embargo Rit, calculada a priori, antes de efectuarse la inversión,
es una variable aleatoria , que tomará diferentes valores con sus
probabilidades correspondientes, en el caso discreto o se ajustará a
alguna distribución de probabilidad del tipo continuo. En este caso, la
esperanza nos da una medida de la rentabilidad media del activo
financiero, mientras que la varianza o desviación típica nos da una medida
de la dispersión de los valores de la rentabilidad respecto a su media.
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO
FINANCIERO
- En el modelo de Markowitz, y en posteriores desarrollos se ha convenido
tomar como medida del riesgo de la inversión en un valor inmobiliario o en
una cartera, la varianza o desviación típica de sus rentabilidades.
- Rentabilidad media
- Siendo Rij los distintos valores de la variable Ri
- Y Pj las probabilidades correspondientes a dichos valores
- Riesgo medido por la varianza:
j
n
j
E ( Ri ) Rij.P 1
∑
=
j
( ) ∑( ( )) .P
= −
n
j
σ Ri Rij E Ri
Ej. 2
Ej. 3
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO FINANCIERO
Ejemplo 3:
- Riesgo medido por la varianza:
- Siguiendo con el ejemplo anterior y con una E(Ri) = 0,
j
( ) ∑( ( )) .P
= −
n
j
σ Ri Rij E Ri
j
2
1
2 ( ) ∑( ( )) .P =
= −
n
j
σ Ri Rij E Ri
Rij Pij -0,10 0,15 = 15% 0,05 0,10 = 10% 0,10 0,40 = 40% 0,20 0,35 = 35%
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO FINANCIERO
Ejemplo 3:
- Riesgo medido por la varianza:
- Siguiendo con el ejemplo anterior y con una E(Ri) = 0,
σ^2 = [(-0,1-0,1)^2 0,15]+[(0,05-0,1)^2 0,10] +[(0,10-0,1)^2 0,40] +[(0,20-0,1)^2 0,35] = = (0,040,15)+(0,00250,1)+(00,4)+(0,010,35) = 0, σi^2 = 0, σi = √0,00975 = 0,099 = 9,9%
La rentabilidad esperada del activo es del 10% asumiendo un riesgo del 9,9%
j
( ) ∑( ( )) .P
= −
n
j
σ Ri Rij E Ri
j
2
1
2 ( ) ∑( ( )) .P =
= −
n
j
σ Ri Rij E Ri
Rij Pij -0,10 0,15 = 15% 0,05 0,10 = 10% 0,10 0,40 = 40% 0,20 0,35 = 35%
Varian- za
Desv. típica
EL RENDIMIENTO Y RIESGO DE UNA CARTERA
Una cartera es una combinación de valores mobiliarios o activos
individuales en determinadas proporciones
- Así llamando:
- n: número de valores que componen la cartera
- Xi = i = 1,2,3,……n , fracción, en tanto por uno, que el inversor destina de su presupuesto de inversión a la adquisición del valor i
- Ri= rendimiento o rentabilidad, en tanto por uno del valor i
- Rp= rendimiento o rentabilidad e la cartera
Es evidente que la suma de todas las fracciones del presupuesto de inversión, xi, donde, i = 1,2,….,n debe sumar siempre 1.
X 1 +X 2 +….+Xn= 1
EL RENDIMIENTO Y RIESGO DE UNA CARTERA
- La rentabilidad de la cartera Rp, calculada a posteriori, es un valor cierto,
que vendrá dado por:
- Donde los Ri, también estarán calculados a posteriori, es un valor cierto, y
por tanto, no tiene varianza.
∑
= + + + =
n
i
R (^) p xR x R xnRn xiRi 1
1 1 2 2 ......
EL RENDIMIENTO Y RIESGO DE UNA CARTERA
- σij = cov (Ri, Rj); covarianza de los rendimientos Ri, Rj
varianza del rendimiento i
- Conviene recordar que:
- Donde ρiJ es el coeficiente de correlación lineal entre Ri y Rj
- Para calcular previamente las esperanza y la varianza de la
cartera es necesario previamente estimar la esperanza y varianza de los títulos así como la covarianza
ij ij ij i j
σ (cov )= ρ σ σ
cov( , ) ( )
2
σ ii = Ri Ri = σ R i
EL RENDIMIENTO Y RIESGO DE UNA CARTERA
El coeficiente de correlación puede tomar cualquier valor entre -1 y +
- Coeficiente de correlación = 1 , la correlación es perfecta y positiva, los rendimientos de los títulos se mueve en el mismo sentido y mantienen una relación lineal de pendiente positiva. El valor que toma la covarianza entre los rendimientos de los títulos es:
- Coeficiente de correlación = -1 la correlación es perfecta y negativa, los rendimientos de los títulos se mueven en sentido opuesto a través de una recta con pendiente negativa y se expresa la covarianza:
- Si el coeficiente de correlación es = 0 los rendimientos aleatorios de los títulos son independientes y no guardan ninguna relación lineal entre sí verificándose:
ρ ij
σ ij(covij)=σi σ j
σ ij(covij)=−σi σ j
σij(cov ij) = 0
EL MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERAS DE MARKOWITZ. LA REGLA DE DECISIÓN MEDIA- VARIANZA
- En el modelo de Markowitz , se parte de los siguientes supuestos
fundamentales:
- El rendimiento de cualquier título o cartera es descrito por una variable aleatoria , cuya distribución de probabilidad es conocida por el inversor. la esperanza matemática de dicha variable aleatoria se toma como medida del rendimiento o rentabilidad de la inversión.
- Se toma como medida del riesgo, la dispersión medida por la varianza o la desviación típica , de la variable aleatoria que describe el rendimiento, ya sea de un título o de una cartera.
- La conducta del inversor le lleva a preferir aquellas carteras con un mayor rendimiento y menor riesgo
EL MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERAS DE MARKOWITZ. LA REGLA DE DECISIÓN MEDIA- VARIANZA
- La búsqueda de la cartera óptima , la lleva a cabo el modelo de Markowitz en tres etapas :
- La primera etapa : determinación del conjunto de carteras eficientes
- Una cartera es eficiente, cuando proporciona la máxima ganancia para un riesgo dado o bien minimiza al máximo el riesgo para una rentabilidad dada
- El conjunto de carteras eficientes, se puede determinar resolviendo el problema de programación cuadrática paramétrica siguiente:
Maximizar:
restricción paramétrica:
restricción presupuestaria: x 1 +x 2 +……+x (^) n= condiciones de no negatividad: x1,x2,……xn≥ 0
∑
=
n
i
E (^) p xiEi 1
1 1
(^2) xx V
n
i
n
j
p =^ ∑∑ i j ij= = =
σ σ
EL MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERAS DE MARKOWITZ. LA REGLA DE DECISIÓN MEDIA- VARIANZA
- en forma gráfica tenemos:
- La zona rayada es la región de soluciones posibles. La curva de trazo
grueso CE, convexa respecto al sentido positivo del eje de ordenadas, es
la curva de las carteras eficientes. Las carteras situadas en dicha curva
nos proporcionan en valor de Ep máximo para cada valor de αp^2 o un valor
de αp^2 mínimo para cada valor de Ep
EL MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERAS DE MARKOWITZ. LA REGLA DE DECISIÓN MEDIA- VARIANZA
- 2 ª etapa : la especificación de la actitud frente al riesgo del
inversor
- Entre las carteras eficientes, el inversor elegirá aquella que
mejor responda a sus preferencias. Para ello, el inversor debe especificar sus curvas de indiferencia entre ganancia y riesgo, cuya forma dependerá de su función de utilidad y ésta será distinta para cada inversor
EL MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERAS DE MARKOWITZ. LA REGLA DE DECISIÓN MEDIA- VARIANZA
- Si el inversor tiene aversión al riesgo : para iguales
incrementos de Ep, los correspondientes incrementos de que está dispuesto a soportar son cada vez menores. Es decir, para que su satisfacción, se mantenga constante, la relación incremental entre ganancia y riesgo tiene que ser creciente
2 σ
2 σ P
0
E P
EL MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERAS DE MARKOWITZ. LA REGLA DE DECISIÓN MEDIA- VARIANZA
- Si el inversor es indiferente al riesgo , la relación
incremental entre rendimiento y riesgo es constante
E P
σ P
0
EL MODELO DE SELECCIÓN DE CARTERAS DE MARKOWITZ. LA REGLA DE DECISIÓN MEDIA- VARIANZA
- La cartera óptima se corresponde con el punto C 0 , en el cual es tangente la curva de carteras eficientes CE con la correspondiente curva de indiferencia. Es decir, la cartera óptima viene definida por la combinación rendimiento- riesgo ( E 0 , V 0 )
- Cualquier punto de la curva de carteras eficientes CE, se correspondería con una curva de indiferencia de menor índice de utilidad o satisfacción.
0 E 0
E P
(^0) V 0
C (^0) E
C
2 σ P
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO FINANCIERO
Ejemplo 4:
- Sean el título A y B con sus correspondientes rendimientos y probabilidades
- Estudiar el riesgo de una cartera que resulte de combinar el 50% de ambos activos bajo 3 supuestos:
RA PA
20% 25% 10% 50% 0% 25%
ρAB= + 1 ; ρAB= 0 ; ρAB=− 1
RB PB
45% 25% 25% 50% 5% 25%
Coeficientes de correlación
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO
FINANCIERO
Ejemplo 4:
- Sean el título A y B con sus correspondientes rendimientos y probabilidades. Estudiar el riesgo de una cartera que resulte de combinar el 50% de ambos activos bajo 3 supuestos:
Rendimiento esperado de la cartera E(Ri) = E i
- EA = (0,20,25)+(0,10,5)+(0*0,25) = 0,1 = 10%
- EB = (0,450,25)+(0,250,5)+(0,05*0,25) = 0,25 = 25%
- Con esto podemos montar en vector de rendimientos esperados. Cartera p formada por 50% de cada título
- XA = 50%; XB = 50%
- E(Rp) = ∑ Xi * E(Ri) = (0,5,01)+(0,50,25) = 0,175 = 17,5%
RA PA 20% 25% 10% 50% 0% 25%
ρAB= + 1 ; ρAB= 0 ; ρAB=− 1
RB PB
45% 25% 25% 50% 5% 25%
EL RENDIMIENTO Y EL RIESGO DE UN ACTIVO
FINANCIERO
Ejemplo 4:
- Sean el título A y B con sus correspondientes rendimientos y probabilidades. Estudiar el riesgo de una cartera que resulte de combinar el 50% de ambos activos bajo 3 supuestos:
Riesgo individual del activo
- σA^2 = ∑ (RAj - EA)^2 * PAj = [(0,2-0,1)^2 *0,25] + [(0,1-0,1)^2 *0,5] + [(0-0,1)^2 *0,25] = 0,
- σA = √0,005 = 0,0707 = 7,07%
- σB^2 = ∑ (RBj - EB)^2 * PBj = [(0,45-0,25)^2 *0,25] + [(0,25-0,25)^2 *0,5] + [(0,05-0,25)^2 *0,25] = 0,
- σB = √0,02 = 0,1414 = 14,14%
La rentabilidad esperada del activo A es del 10% asumiendo un riesgo del 7,07% La rentabilidad esperada del activo B es del 25% asumiendo un riesgo del 14,14%
RA PA
20% 25% 10% 50% 0% 25%
ρAB= + 1 ; ρAB= 0 ; ρAB=− 1
RB PB
45% 25% 25% 50% 5% 25%
