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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES.
Una serie de aspectos de la gráfica de una función vistos anteriormente (monotonía,
máximos y mínimos) y otros que veremos posteriormente, pueden estudiarse fácilmente
mediante derivadas. La mayor parte de las funciones elementales con las que trabajamos son
derivables en casi todos los puntos de su dominio; es por esto por lo que en el presente tema
trataremos de caracterizar dichos conceptos mediante derivadas.
FUNCIONES MONÓTONAS.
Recordemos que una función es monótona cuando es creciente, estrictamente creciente,
decreciente o estrictamente decreciente.
Sea f una función definida de D en R y sea a un punto perteneciente a D.
es en ( , ): x a
f x f a a D x V ar
estrictamente decreciente
decreciente
estrictamente creciente
creciente
f
Tratemos ahora de caracterizar esta monotonía para funciones derivables.
De la tasa de variación media (T.V.M.) que aparece en la definición de la monotonía,
podemos pasar a la derivada sólo con tomar límites. A partir de aquí, podemos enunciar el
siguiente
TEOREMA.
Sea f una función derivable en un punto a ∈ D****. Si entonces f es
estrictamente creciente en el punto a****.
f '( a ) > 0 ,
Demostración.
Puesto que existe y es positiva, entonces existirá el límite de la tasa de variación
media y también será positivo:
f ' ( a )
' ( ) lím > −
→ (^) x a
f x f a f a x a
Teniendo en cuenta la relación entre el límite y el signo de una función: "Si una función tiene
límite en un punto y es distinto de cero, entonces existe un entorno del punto en el que los
valores que toma la función tienen el mismo signo que el límite". Entonces:
( , ) enelque > −
x a
f x f a V ar
y, por tanto, la función f es estrictamente creciente en a.
Un teorema análogo podríamos enunciar para el decrecimiento estricto.
Sea f una función derivable en un punto a ∈ D****. Si entonces f es
estrictamente decreciente en el punto a****.
f '( a ) < 0 ,
La demostración de este teorema se haría de forma similar a la del anterior para
funciones estrictamente crecientes.
Teniendo en cuenta los teoremas anteriores, para estudiar la monotonía de una función
sólo tendremos que calcular su derivada y buscar los intervalos dónde ésta sea positiva (función
estrictamente creciente) y dónde sea negativa (función estrictamente decreciente).
Si f ' > 0 en un intervalo ⇒ f es estrictamente creciente en el intervalo.
Si f ' < 0 en un intervalo ⇒ f es estrictamente decreciente en el intervalo.
En los puntos cuya derivada es nula no se puede afirmar nada, ya que la función puede
ser creciente, decreciente o ninguna de las dos cosas. El siguiente criterio nos ayuda a estudiar
este caso:
Sea x = a un punto donde una función f tiene derivadas hasta el orden 2 n + 1
(orden impar) en un entorno de dicho punto y que ' ( ) ''( ) ( ) 0.
( 2 f a = f a = = f a =
n "
Si ( ) 0 ,entonces la función es estrictamente creciente en x = a****.
( 2 1 >
f a
n
Si ( ) 0 ,entonces la función es estrictamente decreciente en x = a****.
( 2 1 <
f a
n
EJEMPLOS.
1. Estudiar la monotonía de la función ( ) 4.
2 f x = x −
Calculamos la derivada de la función dada: f ' ( x )= 2 x.
Entonces:
- Si x < 0 ⇒ f '( x )< 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en el intervalo (−∞, 0 ).
- Si x > 0 ⇒ f '( x )> 0 ⇒ f es estrictamente creciente en el intervalo ( 0 ,+∞).
- Si x = 0 no se puede afirmar nada. 2. Estudiar los intervalos de monotonía de la función ( ).
x f x = e
La derivada de la función dada es ' ( ).
x f x = e
Para cualquier valor se verifica que Luego, en toda la recta real y
nuestra función será creciente en todo su dominio.
x ∈ R > 0.
x e f '( x )> 0
3. Estudiar la monotonía de la función f ( x ) = Lx****.
Calculamos su derivada:.
x
f x =
Como la función logarítmica sólo está definida para valores de tendremos que
y la función será estrictamente creciente en todo su dominio.
x > 0 ,
f ' ( x )> 0
4. Estudiar los intervalos de monotonía de la función ( ).
3 f x = x
- Si f 'no tiene raíces reales, el número máximo de raíces de f será uno.
- Si f 'tiene una raíz real, el número máximo de raíces de f será dos.
- Y así sucesivamente.
EJEMPLOS.
1. Dada la función f ( x ) = x , comprobar que condiciones del teorema de Rolle se
verifican en el intervalo [ − a , a ].
Sabemos que la función valor absoluto es continua en todo su dominio R y, por tanto,
también será continua en el intervalo [ − a , a ].
Por otra parte, también sabemos que la función valor absoluto no es derivable en el punto
ya que sus derivadas laterales son En consecuencia, no
será derivable en cualquier intervalo que contenga al punto
x = 0 , ' ( 0 )= − 1 y '( 0 )= 1.
− + f f
x = 0 , en particular, en nuestro
intervalo ( − a , a ).
Además, se verifica que f ( − a )= f ( a )ya que dos números opuestos tienen el mismo valor
absoluto.
Se cumplen las hipótesis primera y tercera (continuidad en el cerrado y toma valores
iguales en los extremos del intervalo) y no se cumple la segunda (derivabilidad en el
abierto). Al no cumplirse todas las hipótesis, no se cumplirá la tesis.
2. Dada la función 4 1 ¿verifica las condiciones del Teorema de Rolle en el
intervalo [1,3]? En caso afirmativo, encontrar el valor c ∈ (1,3) donde se anula la
derivada.
2 f x = x − x +
Como la función dada es una función polinómica, será continua y derivable en todo el
conjunto de números reales y, en particular, será continua en el cerrado [1,3] y derivable en
el abierto (1,3). Además, f ( 1 ) = − 2 y f ( 3 ) =− 2 : toma valores iguales en los extremos
del intervalo.
Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle y, en consecuencia, se cumplirá
también la tesis:
∃ c ∈ ( 1 , 3 )/ f '( c ) = 0 ⇒ f '( c ) = 2 c − 4 = 0 ⇒ c = 2 ∈ ( 1 , 3 )
Luego el punto intermedio donde se anula la derivada de nuestra función es c = 2.
3. Demuestra que la función ( ) 1 tiene como máximo una raíz real.
3 f x = x + x +
Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, es decir, nuestra función tiene
más de una raíz real (por ejemplo, dos: a y b , tales que a < b ).
Estas dos raíces determinan un intervalo [ a , b ],en el cual es continua nuestra función al
ser polinómica. Por el mismo motivo será derivable en el abierto ( a , b ).
Además, como hemos considerado que a y b son raíces de nuestra función se cumple que
f ( a )= f ( b )= 0.
En consecuencia, se estarían cumpliendo las hipótesis de Rolle y, por tanto, se tendrá que
cumplir la tesis: deberá existir un punto c ∈^ (^ a , b )/ f '( c )=^0
Si intentamos calcular el punto intermedio, tendremos:
2 2 f c c c no podremos encontrarlo, lo que supone una
contradicción. Por tanto, la suposición hecha inicialmente es falsa y nuestra función no
puede tener más de una raíz real.
4. Demuestra que la ecuación e = x + 1 tiene únicamente una raíz real en x = 0.
x
Consideremos la función asociada a nuestra ecuación y supongamos
que, además de la raíz dada, tiene otra raíz
f ( x ) = e − x − 1
x
x = x 0. Estas dos raíces nos determinan un
intervalo [ x 0 , 0 ] o[ 0, x 0 ].
En cualquiera de estos intervalos, la función f es continua en el cerrado y derivable en el
abierto, respectivamente, puesto que es suma de funciones continuas y derivables en todo R.
Además, toma valores iguales en los extremos del intervalo: f ( 0 )= f ( x 0 )= 0
En consecuencia, se estarían cumpliendo las hipótesis de Rolle y, por tanto, se tendrá que
cumplir la tesis: deberá existir un punto c ∈ ( 0 , x 0 )/ f '( c )= 0
Si intentamos calcular el punto intermedio, tendremos:
f ' ( c )= 0 ⇒ e − 1 = 0 ⇒ e = 1 ⇒ c = 0
c c ⇒ lo que supone una contradicción, ya que
el punto cero no pertenece al intervalo abierto Por tanto, la suposición hecha
inicialmente es falsa y nuestra función no puede tener más que una raíz real, x = 0.
( 0 , x 0 ).
5. Demostrar que la derivada de la función f ( x ) = x ( x − a )( x − b )( x − c ) tiene al menos
tres raíces reales y encontrar los intervalos en que se encuentran. (Sin calcular la
derivada de f ).
La función f dada es una función continua y derivable en todo el conjunto de números reales
y, por tanto, será continua en cualquier intervalo cerrado de R y derivable en el abierto de los
mismos extremos.
Si consideramos los ceros de la función f [ x = 0 , x = a , x = b , x = c ], éstos nos
determinarán tres intervalos: [ 0 , a ] , [ a , b ] y [ b , c ]siendo f continua en cada uno de ellos y
derivable en el abierto correspondiente. Como se verifica que toma valores iguales en los
extremos de cada intervalo, pues todos ellos son ceros de la función, se estarían cumpliendo
en cada intervalo las hipótesis de Rolle y, en consecuencia, se cumpliría también la tesis: en
cada intervalo tendríamos un cero para la función derivada de f (tres ceros).
6. Indica si es aplicable el Teorema de Rolle a la función
7 si 3 5
1 si 1 3 ( ) x x
x x f x
- Continuidad en el cerrado [1,5].
La función f está definida en los intervalos (1,3) y (3,5) mediante funciones afines, continuas
en R y, en consecuencia, en dichos intervalos. Por tanto la función f será continua en ellos.
Estudiamos la continuidad en el punto x = 3 donde existe un cambio de definición de f :
b a
f b f a
es la pendiente de la recta que une los puntos ( a , f ( a ))con ( b , f ( b ))
- f ' ( c ), teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la derivada, es la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función en el punto ( c , f ( c )).
Si se verifica el teorema del valor medio, estos dos valores serán iguales y las dos rectas
serán paralelas por tener la misma pendiente.
También podemos justificar el teorema del valor medio por la siguiente interpretación
física:
- Si f(t) es el espacio recorrido por un móvil, entonces
[ 1 2 ]
2 1
2 1 '() con ,
f t t t t t t
f t f t = ∈ −
el primer miembro representa la velocidad media con que se ha desplazado el móvil entre los
instantes t 1 y t 2. El teorema del valor medio nos viene a decir que en algún momento, la
velocidad instantánea es igual a la velocidad media.
EJEMPLOS.
1. Aplicar el teorema del valor medio, si es posible, a la función 3 2 en
[− 2 , − 1 ] .Calcular el valor correspondiente de c.
2 f x = x − x +
Puesto que la función f es una función cuadrática será continua en [− 2 , − 1 ]y derivable en el
abierto Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Lagrange y, en
consecuencia, se debe cumplir la tesis; es decir:
∃ ∈ − − f c c c c
f f c
Podemos observar como el punto ( 2 , 1 ). 2
c =− ∈− −
2. Comprueba si la función f ( x ) = x − 2 verifica las condiciones del teorema de
Lagrange en el intervalo [ 0 , 3 ] y en caso afirmativo, encuentra el punto intermedio.
La expresión analítica de la función dada será:
2 si 2
2 si 2 ( ) 2 x x
x x f x x
La función f es continua para valores mayores y menores que 2, puesto que está definida
mediante funciones afines, continuas en R. Veamos si es continua en el punto x = 2 :
lím ( ) 0 ( 2 ) lím ( ) lím( 2 ) 0
lím ( ) lím( 2 ) 0
2 2 2
2 2 f x f f x x
f x x
x x x
x x ⇒ = =
⎪⎭
→ → →
→ →
− −
Por tanto, f es continua en R y, en consecuencia, en el intervalo [ 0 , 3 ].
La función f es derivable para valores mayores y menores que 2, puesto que está
definida mediante funciones afines, derivables en R. Veamos si es derivable en el punto
x = 2 :
lím( 1 ) 1 2
lím 2
' ( 2 ) lím 2 2 2
− − − → → →
−
x x x x
x
x
f x f f
lím( 1 ) 1 2
lím 2
' ( 2 ) lím 2 2 2
→+^ →+ →−
x x x x
x
x
f x f f
Como las derivadas laterales en el punto x = 2 son distintas la función no es derivable en
dicho punto ni en cualquier intervalo abierto que lo contenga, en particular, en el intervalo
(0,3).
En consecuencia, la función f no verifica las condiciones del teorema de Lagrange en el
intervalo y, por tanto, no se verificará la tesis de dicho teorema (no existirá punto
intermedio donde se cumpla la tesis).
[ 0 , 3 ]
]
3. Calcula a y b para que
10 si 4
3 si 4 ( ) 2 x x b x
ax x f x
cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo ¿Dónde cumplirá
la tesis?
[ 2 , 6
La función f es continua y derivable para valores menores que 4 por estar definida como
función afín y para valores mayores que 4 por estar definida como función cuadrática.
Para que sea continua en el punto 4 se tendrá que verificar:
lím ( ) lím( 10 ) 24
lím ( ) lím( 3 ) 4 3
2
4 4
4 4 ⇒ − = − ⇒ + =
⎪ ⎭
− −
→ →
→ → a b a b f x x x b b
f x ax a
x x
x x
La función derivada de f será:
x si x
a si x f x
Para que sea derivable en el punto 4 se tendrá que verificar:
lím '( ) lím( 2 10 ) 8 10 2
lím '( ) lím
4 4
4 4 ⇒ =
⎪⎭
− −
→ →
→ → a f x x
f x a a
x x
x x
Como para que sea derivable en x = 4, antes debe ser continua en él, las dos condiciones
deben verificarse simultáneamente: resolviendo el sistema formado por ellas obtendremos
los valores de los parámetros.
b
a
a
a b
Para estos valores de los parámetros, la función
10 19 si 4
2 3 si 4 ( ) 2 x x x
x x f x ⎩
x si x
si x f x
es continua y derivable en todo R y, en consecuencia, continua en [2,6] y derivable en (2,6).
Se cumplen las condiciones del teorema del valor medio y, por tanto, también se cumplirá la
tesis:
∃ ∈ f c f c f c
f f c
2 1 2 1
2 1 > ⇒ − > −
f x f x x x
f x f x ya que x 1 (^) < x 2
Como los puntos son dos puntos cualesquiera del intervalo [ la función f es
creciente en el intervalo [ ]
x 1 , x 2 a , b ],
a , b.
TEOREMA DE CAUCHY.
Este teorema es una generalización del Teorema del Valor Medio y tiene gran interés por
sus aplicaciones.
Si f y g son dos funciones
- continuas en el intervalo cerrado [ a , b ] ,
- derivables en el intervalo abierto ( a , b ),
- g (^^ a ) ≠ g ( b ) y
- g '^ (^ x ) ≠^0 ∀ x ∈ ( a , b )
entonces, existe al menos un punto c ∈ ( a , b )tal que '( )
g c
f c
gb ga
f b f a
−
NOTA : Se puede observar que cuando g ( x )= x , el teorema de Cauchy se reduce al teorema del
valor medio.
EJEMPLOS.
1. Comprueba si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones
3
f ( x ) = x y g ( x ) = x − 3 en el intervalo [ 0 , 3 ] y, en caso afirmativo, hallar el valor
del punto intermedio c****.
Tanto la función cúbica como la función afín son continuas y derivables en todo R y, por
tanto, continuas en [0,3] y derivables en (0,3).
Se cumplen las hipótesis del Teorema de Cauchy y, en consecuencia, se cumplirá la tesis:
2 2
2
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± − −
∃ ∈ c c c
c
g c
f c
g g
f f c
De los dos valores obtenidos, el que verifica la tesis (pertenece al intervalo (0,3)) es el punto
c =+ 3.
2. Repetir el ejercicio anterior para las funciones f ( x ) = sen x y x en el
intervalo
g ( x ) = cos
⎡ π π
Las funciones seno y coseno son continuas y derivables en todo R y, por tanto, continuas en
⎡ π π
3
y derivables en. 3
⎛ π π
Se cumplen las hipótesis del Teorema de Cauchy y, en consecuencia, se cumplirá la tesis:
1 ctg ctg 1
ctg
sen
cos
cos 3
cos
sen 3
sen
π ⇒− =− ⇒ = ⇒ =
π −
π
π −
π
π −
π
π −
π
⎛ π π ∃ ∈
c c c
c c
c
g c
f c
g g
f f
c
REGLA DE L'HÔPITAL.
DEFINICION.-
Se dice que una función presenta en x = a una forma indeterminada, cuando no se
puede saber si tiene límite en dicho punto sin hacer un estudio especial de ese límite.
y = f ( x )
Los casos de límite indeterminado que se nos pueden presentar son:
0 0 , , , 0 , 1 , , 0 0
Al presentarse alguna de estas situaciones, es conveniente transformar la expresión de la
función en otra equivalente a la que puedan aplicarse las reglas conocidas, o en caso contrario,
calcularlo directamente.
Para funciones derivables el Teorema de L'Hôpital nos facilita el cálculo de límites
indeterminados.
REGLA DE L'HÔPITAL.
Si las funciones son derivables en un entorno de a y tales que
entonces, si existe
f ( x )y g ( x )
f ( a ) = g ( a ) = 0 , '( )
lím g x
f x
x → a
se verifica que '( )
lím ( )
lím g x
f x
g x
f x
x → a x → a
La demostración de este teorema tiene su fundamento en el Teorema de Cauchy.
La regla de L'Hôpital también se puede aplicar cuando x →∞ , pues haciendo el cambio
de variable y
x
= estaríamos en el caso anterior.
Es válida la misma regla cuando f ( x )y g ( x ) tienden a ∞ cuando x → a****.
EJEMPLOS.
lím 2
2
2
→ (^) x x
x x
x
Aplicamos L’Hôpital:
lím 2
lím (^22)
2
2
→ → x
x
x x
x x
x x
A veces es necesario aplicar más de una vez la regla de L’Hôpital para quitar la
indeterminación:
En este caso, nos resulta más cómodo efectuar la diferencia para pasar a la
indeterminación 0
y aplicar la regla de L’Hôpital:
.sen
sen lím sen
lím 0 0
→ → x x
x x
x x x x
2 .cos 0 0 .sen 0
sen 0
cos cos sen
sen lím 0
sen cos
cos 1 lím .sen
sen lím sen
lím 0 0 0 0
→ → → → x x x x
x
x x x
x
x x
x x
x x x x x x
- Límites de la forma 1 , , 0.
0 0 ∞
∞
Para quitar este tipo de indeterminación se suele utilizar la expresión:
pasando así a alguna de las indeterminaciones anteriores.
g g Lf f e
⋅
Ejemplo:
∞ →
lím(cos 2 ) = 1
2
3
0
x x
x
2 6
2 ( 10 ) 2
2 ( 1 tg 2 ) lím
0
0 2
6 tg 2 lím 2
cos 2
2 sen 2 3 lím 0
3 .(cos 2 ) 0 .(cos 2 ) lím
3 lím
3
0
2 0
(^2020200) lím(cos 2 )
−
− + − +
⎭
⎬
⎫ ⎩
⎨ − ⎧
− ⋅
⎭
⎬
⎫ ⎩
⎨
⎧
→
→
→ → → →
e e e
x e e e e e e
x
x
x x
x
x
x
L x L x x x x
x
x x x x
0
tg
0
lím (^) ⎟ =∞ ⎠
→
x
x (^) x
lím
1 0
2 sen cos lím 0
sen^0 lím sen
1
1
lím
ctg
lím tg
1 lím límtg ( )
1 límtg
tg
0
0
2 (^20)
0
0 0 (^00)
→ →
→
→ → → →
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ −
−
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∞
− ∞ − ⋅ ⋅−
→
e e e e e
e e e e e x
x x x
x x
x
x
Lx x
Lx x Lx x
xL
x
x
x x
x
x x x x
EJERCICIOS.
x x
x x
x (^) tg
lím
4 3
→ (^0) sen^2
sen lím x
x x
x
→
x → (^) Lx x
lím 0
e^ x x
Lx
1 lím( ) → ∞
límcos (tg )
2
xL x x π →
x
x
x
cos
2
lím(tg ) π →
x
x (^) x
tg
0
lím (^) ⎟ ⎠
→
→∞ (^) x
x xL x
lím.
x x
lím x ⋅ a − 1 →∞
( x x x )
x
→∞
lím 2
2 ⎟ ⎠
x → (^) x x
sen
lím 0 ⎟
π
π → x
x
x x^4 1
tg
cos 2
lím
2
PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS).
Consideremos una función f : D ⎯⎯→ R / x ∈ D ⎯⎯→ f ( x )∈ R.
- Decimos que f tiene un máximo absoluto en x (^) 0 ∈ D si se verifica que
f ( x )≤ f ( x 0 ) ∀ x ∈ D.
- Decimos que f tiene un mínimo absoluto en x (^) 0 ∈ D si se verifica que
f ( x )≥ f ( x 0 ) ∀ x ∈ D.
- Decimos que f tiene un máximo relativo en x (^) 0 ∈ D si se verifica que
f ( x )≤ f ( x 0 ) ∀ x ∈ V ( x 0 )∩ D.
- Decimos que f tiene un mínimo relativo en x (^) 0 ∈ D si se verifica que
f ( x )≥ f ( x 0 ) ∀ x ∈ V ( x 0 )∩ D.
Una función puede tener varios máximos o mínimos relativos o carecer de ellos. Todo
máximo (mínimo) absoluto es al mismo tiempo relativo, pero no al contrario.
La palabra relativo indica que se compara el valor f ( x ) con los valores que toma la función
en un entorno de mientras que los máximos y mínimos absolutos se refieren a todo el
dominio.
x 0 ,
Los máximos y mínimos relativos reciben el nombre de PUNTOS CRÍTICOS, PUNTOS
ESTACIONARIOS o EXTREMOS.
El estudio de los extremos de una función es, en general, un problema complicado ya que
no existen métodos generales para calcularlos. Sin embargo, para funciones derivables podemos
hallarlos mediante un procedimiento bastante sencillo como veremos a continuación:
TEOREMA.
Sea f : D ⎯⎯→ R****. Si f alcanza un extremo en x (^) 0 ∈ D y f es derivable en
entonces
x 0 ,
f ' ( x 0 ) = 0.
En efecto, si f ' ( x 0 ) no se anula en x 0 , f ' ( x 0 )≠ 0 , entonces la función es estrictamente
creciente o estrictamente decreciente en el punto y no podría cumplirse la condición de
máximo o mínimo.
x 0
Geométricamente, esta condición expresa que la tangente en el punto a la
gráfica de la función f es paralela al eje de abscisas, aunque puede suceder que exista tangente
horizontal en un punto sin que exista máximo o mínimo.
( x 0 , f ( x 0 ))
Este teorema nos permite calcular los puntos donde puede haber un máximo o un
mínimo, sin más que resolver la ecuación f^ ' ( x 0 )= 0. Obtenidos estos puntos, los siguientes
criterios nos ayudan a decidir si en ellos existe un máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas.
CRITERIO 1: Variación de la función en un entorno del punto.
Sea un punto donde puede existir un máximo o un mínimo relativo. Se trata de
estudiar el comportamiento de la función en un entorno del punto:
x 0
EJEMPLOS.
1. Calcular los máximos y mínimos de la función ( ) 2.
4 3 f x = x − x
Calculamos la derivada de la función: y vemos donde se anula
3 2 f ' ( x )= 4 x − 6 x
2
3 2 2
x x
x x doble
x x x x
Para estudiar cuales corresponden a máximos y cuales corresponden a mínimos aplicaremos
el criterio de la derivada primera con lo que al mismo tiempo se estudian los intervalos de
crecimiento o decrecimiento. El único punto donde la función derivada cambia de signo es
x = y este punto descompone el dominio en dos intervalos ) 2
(−∞, y , ). 2
En ) 2
(−∞ , se verifica que f ' ( x )< 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en dicho intervalo.
En , ) 2
( +∞ se verifica que f ' ( x )> 0 ⇒ f es estrictamente creciente en dicho intervalo.
En consecuencia, en el punto 2
x = la función f tiene un mínimo relativo.
NOTA: Decimos que en el punto x = 0 la función derivada no cambia de signo
porque en él tiene un cero doble con lo que cambiaría dos veces de signo y se
quedaría con el mismo signo que tenía antes de 0.
2. Calcular los máximos y mínimos de la función f ( x ) = x****. Lx****.
Calculamos la derivada de la función: 1
' ( )= 1. + ⋅ = Lx + x
f x Lx x
Anulamos la función derivada para calcular donde la función tiene los posibles extremos:
1 1 0 1
− Lx + = ⇒ Lx =− ⇒ x = e
Para determinar si este punto que anula la derivada corresponde con un máximo o un
mínimo, aplicaremos en este caso el criterio de la derivada segunda. Empezaremos
calculándola:
x
f x
Si sustituimos el valor que anula la derivada primera nos encontraremos que:
1
1 = = > −
− e e
f e y, por tanto, la función tiene un mínimo en.
− 1 x = e
3. Determina el parámetro k para que el mínimo de la función x k sea
igual a 8.
f ( x ) = x + 2 +
2
Calculamos el punto donde la función tendrá el extremo; este punto tendrá que anular la
derivada de función: f ' ( x )= 2 x + 2 ⇒ 2 x + 2 = 0 ⇒ x =− 1
Como nos dicen que el valor mínimo es 8, tendremos: f ( − 1 )= 8 ⇒ 1 − 2 + k = 8 ⇒ k = 9
En consecuencia, nuestra función será: ( ) 2 9
2 f x = x + x +
4. Obtener los parámetros a y b para que la función ax b alcance un
mínimo en el punto ).
f x = x + +
2 ( )
P ( − 1 , 2
Puesto que en el punto P la función alcanza un mínimo, el punto P pertenece a la gráfica de
la función y se verificará que f ( − 1 )= 2 ⇒ 1 − a + b = 2 ⇒− a + b = 1
Por otra parte, por ser un extremo de función (mínimo) se tendrá que anular la función
derivada en él: f ' (− 1 )= 0 ⇒{ f '( x )= 2 x + a } ⇒− 2 + a = 0 ⇒ a = 2
Resolviendo el sistema formado por las condiciones obtenidas, nos queda:
b
a
a
a b
Por tanto, la función buscada será: ( ) 2 3
2 f x = x + x +
5. Determina todas las funciones f de la forma 0 , y
que verifican
3 2 f x = ax + bx + cx + d cona ≠
f ' ( − 1 ) = f '( 1 ) = 0.
¿Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifica
f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 ?Razona las respuestas.
Calculamos la derivada de la función dada y aplicamos las
condiciones impuestas por el enunciado:
f ' ( x )= 3 ax + 2 bx + c
2
a b c
a b c
f a b c
f a b c
Resolviendo el sistema obtenido:
a b a b b
a c a c c a
a b c
a b c
Sustituyendo los valores obtenidos en la función dada, obtenemos:
3 f x = ax − ax + d cona ≠
que sería la expresión de todas las funciones que cumplen la condición impuesta.
- Veamos si alguna función de esta familia verifica que f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0. Podríamos tener
un doble camino para comprobar esto:
- Aplicando directamente las condiciones obtenemos:
a a d a a
d
f a a d
f d
Al obtener que a = 0, entramos en una contradicción ya que a era distinto de cero. Por
tanto, no hay ninguna función de las encontradas que verifique que f ( 0 )= f ( 1 )= 0.
- Aplicando el Teorema de Rolle : f es continua en [0,1] y derivable en (0,1). Además,
( 1 ) 0. Se cumplen las hipótesis de Rolle, luego se debe cumplir la tesis, es
decir, 0
f ( 0 )= f =
∃ c ∈( 0 , 1 )/ f '( c )=
Esto no sería posible ya que los únicos puntos donde se anula la derivada de f son −1 y 1
y estos puntos no pertenecen a (0,1). En consecuencia, no existe ninguna función de las
encontradas que verifique que f (^0 )=^ f (^1 )=^0.
2 ( ) .( 20 ) ( ) 20
( , ). máximo
S x x x P x x x
y x
S x y xy
x y
Obtenida la función a optimizar dependiendo de una sola variable, buscaremos los extremos
de esta función:
S ' ( x )= 20 − 2 x ⇒ 20 − 2 x = 0 ⇒ x = =
Por último, comprobamos si este valor corresponde con un máximo o con un mínimo:
S ' '( x )= − 2 ⇒ S ''( 10 )=− 2 < 0
Luego, para el valor x = 10, la función alcanza un máximo y el rectángulo buscado es un
cuadrado de lado 10 m.
3. De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio R, calcular las
dimensiones del que tenga área máxima. Razona el proceso.
x
y d = 2 R
Operaremos como en los casos anteriores: en la relación entre las dos variables despejaremos
una de ellas para dejar la función a optimizar dependiendo de una sola variable:
Suponiendo que las dimensiones del rectángulo
inscrito en la circunferencia son x e y , el área de dicho
rectángulo nos vendrá dada por: S ( x , y )= x. y
La relación entre las dos variables habrá que buscarla
a través del diámetro de la circunferencia, ya que éste con los
lados del rectángulo forma un triángulo rectángulo: 2 2 2 x + y = 4 R
2 2
2 2 2 2 2
S x x R x
y R x
S x y xy
x y R
Calculamos la derivada primera y vemos donde se anula:
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
R x
R x
R x
R x x
R x
x S x R x x
2 2
2 2
R x R x x R R R x
R x = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =± =± −
Veamos que valor corresponde con el máximo: calculamos la derivada segunda de la
función:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
R x
R x
x R x x R x
R x
R x
x x R x R x
S x −
Sustituyendo en esta derivada los valores que anulaban la derivada primera obtenemos:
S ' '( R 2 )< 0 ⇒ máximo y S ''(− R 2 )> 0 ⇒ mínimo
Por tanto, para obtener área máxima el valor de x deberá ser x = R 2 que sustituido donde
tenemos despejada la variable y obtenemos y = R 2.
4. Determina el punto de la curva cuya ecuación es
2 y = x que está más cerca del punto
A = ( 3 , 0 ).
2 y = x P ( x , y )
Consideremos que el punto de la curva que está más
cerca de A es el punto que por ser de la curva
verificará su ecuación, es decir que.
P ( x , y ) 2 y = x
Por otra parte, como es el que está más cerca de A, la
distancia entre ellos tiene que ser mínima (la menor
posible):
A ( 3 , 0 )
2 2 2 2 d ( A , P )= ( x − 3 ) +( y − 0 ) ≡mínima ⇒ d ( A , P )= ( x − 3 ) + y
Teniendo en cuenta la relación entre las dos variables nos queda:
2 2 2 2 2 2 4 d ( x ) ( x 3 ) y ( x 3 ) ( x ) ( x 3 ) x
2 4
3
2 4
3
x x
x x
x x
x x d x − +
Anulamos la derivada: = ⇒ − + = ⇒ + − = ⇒ − +
2 4
3
x x x x x x
x x
2 2 3 0 notienesoluciónreal.
2
2
x x
x x x x x
Calculamos la segunda derivada:
2 4
2 4
3 2 2 4 3
x x
x x
x x x x x x x
d x − +
En el punto x = 1: = > 0 ⇒ 5
d ''( 1 ) corresponde con un mínimo.
En consecuencia, el punto de la curva dada que está más cerca de A es el punto P (1,1).
5. Demuestra que la suma de un número real positivo no nulo y su inverso es mayor o
igual que 2.
Sea x un número real positivo no nulo y sea f la función definida de la forma x
f x x
Si queremos demostrar que los valores que toma esta función son mayores o iguales que 2,
quiere decir que el valor mínimo que toma la función es 2. Veamos que verdaderamente es
así y para ello calcularemos, primeramente, donde alcanza el valor mínimo y si éste es igual
a 2:
