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Departamento de Economía Cuantitativa Universidad de Oviedo
BLOQUE I:
CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3 𝑥 − 5 𝑦. Calcular: 𝑓( 0 , 1 ), 𝑓( 2 , − 1 ), 𝑓(𝑎, 𝑎), 𝑓(𝑎 + ℎ, 𝑏) − 𝑓(𝑎, 𝑏).
2. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥^2 − 3 𝑦^2. Calcular 𝑓(− 1 , 2 ), 𝑓( 2 𝑎, 2 𝑎), 𝑓(𝑎, 𝑏 + 𝑘)^ − 𝑓(𝑎, 𝑏).
3. Identificar si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, acotados, el interior y la frontera:
4. Obtener el dominio de las siguientes funciones: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦^2 − 45 𝑥^4 − 3 𝑦 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (^) √ 1 − 𝑥𝑦 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(2 − (𝑥^2 + 𝑦^2 )) d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (^) √𝑥+^1 𝑦− 1 e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥^2 + 𝑦^2 +√𝑥^2 + 𝑦^2 − 1
f) 2
f x x
x
g) ^ ^
f x y , e^4 x^2^^2^ x y^ y^2
h) ( , ) s n 2
f x y e x
x y
i) ( , ) ln 2
f x y x
x y
^
5. Dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones:
a) y^ ^ x x 1 2
b) z x^2 y^2
c) z 2 x y
d) z ( x 1 )^2 ( y 1 )^2
A 1 (^) (^) 1, 2 0
A 4 (^) B 2 * 1, 2 0,0
A 5 x 1 , x 2 R^2 /1 x 1 x 2 4, x 1 , x 2 0
A 6 x 1 , x 2 R^2 / 0 x 1^2 x 2 3
A 2 x 1 , x 2 R^2 / x 1 x 2 0
A 3 x 1 , x 2 R^2^ / x 1 x 2 0 x 1 , x 2 R^2 / x 1 x 2 0
TEMA 1: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
ENUNCIADOS PROPUESTOS
Curso 2014-
Departamento de Economía Cuantitativa Grado de Comercio y Marketing Universidad de Oviedo
6. Dada la función z x^2 y^2 , estudiar si los puntos (2,-2) y (3,2) pertenecen a la misma curva de nivel.
7. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
a) 2
2 2
x y
f x y y x
b)
( , )^3
x y
f x y yx
c) , 4
f x y y
x
d) f (^) x y , (^) ln 2 x^2 3 y
e) z ( x 1 )^2 ( y 1 )^2 - 3𝑥^3 − 4𝑦^4 − 12
DERIVABILIDAD DE FUNCIONES
8.- Hallar el vector gradiente de las siguientes funciones:
a) f ( x , y ) 3 x^2 y ^3 x y b)
c) f (x,y) xa^ by d) f (x,y,z) exy^ 3 z^2 y
2
e) f ( x , y ) ln... x y xy
9.- Hallar la matriz hessiana de las siguientes funciones:
a) f (x,y,z) ln( 2 x y z) b) f (x,y) exy
c) 1 2 2
1
x f p , p^1 ln( p )
p
d)
1 1
Q f ( K L , ) 10 KL K^2 L^2
10.- Dada la función: 2 2 2
f x y x
x y
a) ¿Es continua en todo su dominio? b) ¿Existen las derivadas parciales en el punto (1,1)? ¿Y en el (0,0)?
TEMA 2: DERIVABILIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES
y f ( x , x )cos^22 ( 3 xy )
Departamento de Economía Cuantitativa Grado de Comercio y Marketing Universidad de Oviedo
14.- Sea una función f ( x,y ) de la que sabemos que:
Está definida en IR^2
Las derivadas parciales existen en el conjunto IR -^2 0,0 Las derivadas parciales son continuas en el conjunto IR^2 -{( , a a ), ( ,2 ), (1,4)} a a
, , lim^ , x y a a
f x y
A partir de los datos anteriores contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: a) ¿Es f ( x , y ) continua en (0,0)? b) ¿Es f ( x , y ) diferenciable en (0,0)? c) ¿ Es f ( x , y ) diferenciable en (2,3)? d) ¿Es f ( x , y ) continua en (2,3)? e) ¿Es f ( x , y ) diferenciable en (1,4)?
15.- Dada la función f x y. ^ xyx ln 2 x y
e
a) Obtener el dominio de la función f x y , b) Estudiar si el dominio de la función f (^) x y , es abierto, cerrado y acotado. c) Estudiar si la función es diferenciable en el punto (^) 1, 4y en el punto 1,1
16. - Sea la función f (^) x y , (^) ln( x 1) sen x y ( )
a) Obtener el dominio de definición de la función f (^) x y , ¿Es un conjunto compacto? b) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de f (^) x y , en su dominio.
17.- Estudiar si las siguientes funciones son diferenciables en su dominio y en caso afirmativo obtener la diferencial.
a) f ( , x y ) xy^2 sen 2 x b) g x y ( , ) ln( x 2) x y^2
c)
2 2
f x y y^ x
x y
18.- Una empresa fabrica dos modelos de muebles: TACO y TECA. Sus beneficios dependen del volumen de ventas de cada uno de ellos x 1 y x 2 expresado en u. m. según la relación:
a) Sabiendo que el volumen de ventas actual de los productos es de 5 y 3 u.m., respectivamente, ¿qué es más ventajoso para la empresa un aumento en las ventas del modelo TACO o del modelo TECA?
b) Si las ventas del modelo TACO aumentan en 0.1 u.m y las del modelo TECA disminuyen en 0. determinar, aproximadamente, la variación en los beneficios de la empresa interpretando el resultado.
B x x ( 1, 2 ) ln(2 x 1 x 2 ) 4 x 1 x 2
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19.- Sea f x y , una función de la que se conoce que: f x y , 5ln x y^2^ , x x y , IR^2
Obtener la diferencial en el punto (1,1) y a partir de ella obtener la variación de la función cuando pasamos del punto inicial al punto (1.01, 0.99)?
20.- Dada la función f ( , x y z , ) xy^2 sen xz , utilizar la diferencial para obtener aproximadamente
el valor de f (1.01,0.99,0.1).
21- Sean A y B dos empresas cuyas funciones de ventas dependen del gasto en publicidad ( x ) y del
precio del bien ( y ). Siendo VA las ventas de la empresa A y VB las ventas de la empresa B descritas a
través de las siguientes funciones:
VA x y , e^2^ x ln xy y^2
2
VB... x y x^12 x^ y
a) ¿A qué ritmo varían las ventas para la empresa B al variar los gastos en publicidad?
b) ¿Para qué empresa será más ventajoso un aumento en el gasto en publicidad, para x =2 e y =1?
c) Obtener la diferencial de VA en el punto ... x , y. . ... 2 , 1.. ., interpretando su significado.
d) Si el gasto en publicidad de A disminuye en 0.1 unidades cuánto debería variar el precio del bien para que las ventas permanezcan constantes?
POLINOMIOS DE TAYLOR
22.- En un artículo de los economistas P. Samuelson y S. Swamy, los autores estudian el
comportamiento de la función
1/
f a ^ a a
. Hallar la aproximación lineal de f a ( ) en un
entorno de a 0. A partir de esta aproximación calcular aproximadamente el valor de f (0.001).
23.- Obtener el polinomio de Taylor para la función: f^ ( , x y^ )^^ ^ x^ ln 1 y , en un entorno del punto
(2,0).Calcular aproximadamente el valor de 1.89 ln (1.01).
24.- Dada la función f ( , x y ) x y , obtener el desarrollo de Taylor en el punto (1,0) y calcular el valor
aproximado de (1.2)0.
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32.- Siendo z e xy y sen x^2 ( 2 ) y , donde x (^) u v (^) ^2 u ln v e y u v
v
a) Obtener^ z (0,1)
u
b) En el punto ( , ) u v (0,1), obtener la diferencial de la función compuesta
c) Dado un incremento de u de 0,1, determinar la variación en v para que la función permanezca constante.
33.- Los beneficios de una empresa dependen de la cantidad producida de dos bienes A y (^) B según la siguiente relación: B x (^) A , xB (^) 5 x xA B^2 cos (^) xA (^4) .
Sabiendo que la empresa produce 4 unidades del bien A y 1 unidad del bien B : a) Estudiar de cuál de los bienes le interesa más a la empresa aumentar la producción. b) Calcular la variación aproximada de los beneficios si se incremente la producción del bien A en 0.01 unidades y disminuye la del bien B en 0.002. c) Si un estudio en profundidad de la empresa nos permite establecer que las producciones de ambos
bienes dependen de los factores capital K y trabajo L según las relaciones:
x (^) A f K L ( , ) K L y ( , ) ln( 1)
B 2
x f K L K ^ L
¿Cuál sería aproximadamente la variación en los beneficios de la empresa si, a partir de una situación en que (^) K L , (^) (2,2), se produjese un pequeño aumento en la cantidad de factor capital utilizado?
34.- Supongamos que los costes de una empresa dependen de las cantidades producidas de dos bienes x 1 y x 2 , según la función:
C ( x 1 , x 2 ) x 1 x^22 ex^1
A su vez las cantidades producidas dependen de los factores de producción capital ( K ) y trabajo ( L ) a través de las relaciones: 1 2 1 2 2
x KL KL
x K L
Cuando se utilizan 4 unidades decapital y 5 de trabajo, ¿cuál sería la variación en el volumen de costes si las cantidades utilizadas del factor capital aumentaran en 0.3 unidades y las del factor trabajo en 1 unidad?
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35.- Una empresa produce dos bienes, x e y. En el instante actual del proceso productivo, se sabe que la empresa produce 4 unidades de x y 6 unidades de y y obtiene un beneficio neto de 40 unidades monetarias. Un estudio realizado por una prestigiosa firma consultora ha permitido conocer los siguientes datos:
B x y ,^1 2, 1 5
x y x y
^
Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: a) La empresa está estudiando la posibilidad de aumentar la producción de uno de los bienes ¿de cuál de ellos le interesará más? b) Si se reduce la cantidad producida del bien x en 0.1 unidades ¿en cuánto debería variar la cantidad producida del bien y para que el beneficio no varíe? c) Sabiendo que la cantidad producida de los bienes dependen de los factores productivos ( K y L ) según la expresión:
1/ 3
ln
x K L K L
y K L
¿Cómo se comportará el beneficio de la empresa ante un incremento infinitesimal del factor K?
36.- Los ingresos ( I )de una empresa dependen de las cantidades vendidas de dos bienes x 1 y x 2 ,
según la expresión: I (^) x 1 (^) , x 2 (^) 4 x x 1 2 (^) 3 x 12
Dichas cantidades son función de los gastos en publicidad ( P ) realizados por la empresa según:
x 1 =
^1 P ; x
^3 ( P-3 )
a) Determinar la variación experimentada por los ingresos de la empresa ante una variación infinitesimal en el gasto en publicidad, cuando la empresa dedica a dicho concepto 4 u.m. b) Estimar la variación en los ingresos de la empresa si el gasto en publicidad aumenta en 0.2 u.m.
FUNCIONES IMPLÍCITAS
37.- Dada la relación: x y z , , 3 x^2 y z y ln x 3 0_._
(a) Estudiar la existencia de la función implícita x= f ( y, z ) en un entorno del punto (1,1,1). (b) Calcular x/ z y x / y en el punto (1,1).
38.- Dada la expresión (^) x y z , , (^) xyz ez^ x 2 0. ¿Existe x=f ( y, z ) en un entorno del pto (1,1,1)?
39.- Dada la expresión: xy e z^ x – zy 1. ¿Existe z= f ( x,y ) en un entorno de (1,0,1)?
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45.- Empíricamente se ha comprobado que existe una relación entre la demanda de naranjas D , su
precio P 1 y el precio de las mandarinas P 2 que viene dada por la expresión
2
F D P P , , P D eP P ln D 3 0
P
a) Comprobar que la relación anterior define a la demanda como función del precio de las naranjas y las mandarinas en un entorno del punto (1,1,1).
b) ¿Cómo se verá afectada la demanda de naranjas si se modifican los precios de las naranjas? ¿Y si cambia el precio de las mandarinas?
46 .- Estudiar la homogeneidad de las siguientes funciones, a través de la definición:
a)
3 3 2 2
f x y x^ y
x y
b)
2 2 f ( , x y ) e x^ y
c)
2 2 2
f ( , x y z , ) tg x^ y^ z
xy yz
^
d) ( , )
e^ x^ y
f x y
x y
e) f ( , x y ) sen x
y
^
f) f ( , x y z , ) z sen^3^3 x
y
^
47 .- Estudiar si las siguientes funciones son homogéneas y comprobar que verifican el Teorema de Euler:
a) f ( , x y ) 2 x y^4 3^ 4 x y^3 4 b)
2 2
f ( , x y ) x^ y
x y
48 - Sean f ( , x y ) y g x y ( , )funciones homogéneas de grados 2 y 3, respectivamente. Estudiar si las
siguientes funciones son homogéneas indicando las propiedades que se utilizan en cada caso.
a) ( , ) ( ,^ )
h x y f^ x y
g x y
b) k x y ( , ) f ( , x y )^ g ( , x y )
x
^
c)
f x y
l x y x
g x y
x
d) m x y ( , ) f ( , x y ) g x y ( , )
TEMA 3: FUNCIONES HOMOGENEAS
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49 .-Sean f 1 x y , , f 2 x y , ,..., fk x y , funciones cuyos grados de homogeneidad son,
respectivamente, m m 1 , 2 ,..., mk y sean c c 1 , 2 ,..., ck números reales cualesquiera. ¿Comprobar si la
combinación lineal c f 1 1 x y , c f 2 2 x y , ... c f k k x y , es una función homogénea?
50 .-Considérese la función de producción Cobb-Douglas: Q f K , L AK ^ L^ donde Q representa la
cantidad producida , L las uds.de factor trabajo utilizadas y K las uds. de capital, y donde A , α, β son parámetros reales y positivos.
Estudiar si dicha función es homogénea y obtener el grado de homogeneidad. Interpretación económica del grado de homogeneidad.
Dada Q f K , L 10 K^1 /^3 L^2 /^3 obtener la productividad marginal del trabajo y estudiar su
homogeneidad basándose en las propiedades.
51 .- Dada una función de producción Q f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) cuyo grado de homogeneidad es 4/3,
determinar el incremento que se genera en la producción Q cuando se incrementan las cantidades de los factores xi en un 40%. ¿qué sucede si se disminuyen en un 30%?
52 .- Dada la función de producción CES (Elasticidad de sustitución constante):
1/
1 ,^2 1 2 , ,^0
c c^ c
Q f x x ax bx a b c
^
que explica la cantidad producida Q en función de las
cantidades utilizadas de dos factores productivos x 1 , x 2 :
Hallar el efecto sobre el nivel de producción de una variación proporcional en los factores
productivos.
Obtener las funciones de productividad marginal e interpretar su signo. ¿es cierto que, en este
caso, variaciones proporcionales en los factores productivos x 1 , x 2 dejan inalteradas dichas
funciones de productividad marginal?
53 .- En una economía la función de producción viene dada por la siguiente expresión:
,^ ln^
Q f K L L K K
L
^
¿Cuál sería el efecto sobre el nivel de producción de un cambio proporcional en los factores productivos? Estudiar qué tipo de rendimientos se dan.
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BLOQUE II: MATEMATICA FINANCIERA
LEYES FINANCIERAS
- Obtener los intereses generados al invertir 60.000 euros en régimen de capitalización simple, a un tipo de interés del 4% efectivo anual, si la inversión se mantiene durante: (a) dos años, (b) 9 meses y (c) 65 días.
- Calcular el capital que se obtendrá al invertir un capital de 60.000€ en régimen de capitalización compuesta a un tipo de interés efectivo anual del 4 % si la inversión se mantiene durante: (a) dos años, (b) 9 meses y (c) 65 días.
- Un capital de 25.000 euros ha sido invertido en una operación de ahorro durante 6 meses en régimen compuesto a los siguientes tipos de interés: 2% efectivo anual durante el primer mes, 2,5% efectivo anual durante el segundo y tercer mes, y 3% efectivo anual durante los tres últimos meses. Se pide: (a) Calcular el capital disponible a los 6 meses. (b) El tipo de interés anual medio en capitalización compuesta al que resulta la operación.
- Un inversor dispone de un capital de 60.000 euros. Tiene la posibilidad de invertir en una operación de ahorro durante 6 años en régimen compuesto a los siguientes tipos de interés: 0,25% mensual durante el primer año. 1% semestral durante el segundo año. 3% anual durante un año y medio. 0,75% trimestral durante el resto de la operación (dos años y medio). Si le ofrecen una operación alternativa al 3% anual compuesto durante los 6 años. ¿Qué inversión debería elegir?
- Cierta persona tiene un derecho a recibir un capital 50.000€ euros dentro de 18 meses. Obtener el capital equivalente al mismo con vencimiento en el momento actual, a un 7% interés efectivo anual, si la operación se valora en base a las siguientes leyes financieras de descuento: (a) ley de descuento simple racional, (b) ley de descuento simple comercial, y (c) ley de descuento compuesto.
TEMA 4. FUNDAMENTOS DE LA MATEMATICA FINANCIERA
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- Un capital de 12.600 euros con vencimiento dentro de 9 años se descuenta en régimen compuesto a los siguientes tipos de interés: 10% anual durante los 3 primeros años, 5% semestral durante los 5 años siguientes, 1% mensual durante el último año. (a) Determinar el valor actual o valor descontado de dicho capital (b) El interés medio anual en capitalización compuesta al que resulta la operación de descuento.
- A cierta persona le proponen financiar una compra, ofreciéndole tres modalidades de pago:
- Abonar 60.000 euros al contado.
- Abonar 35.728,15 euros al contado y 25.000 al cabo de 1 año.
- Abonar 7.450,28 euros al contado, 25.000 al cabo de 1 año y 30.000 al cabo de 2 años. (a) Estudiar cual de las alternativas de financiación le resulta más interesante si el tipo de interés vigente es el 3% anual. (b) ¿Si fuese el 4% anual se obtiene el mismo resultado?
TIPOS DE INTERES EQUIVALENTES. TIPO DE INTERES NOMINAL
- Dado un tipo de interés del 5% anual, determinar tanto en capitalización simple como compuesta, los siguientes tipos de interés equivalentes: a) Mensual b) Trimestral c) Bimestral d) Semestral e) Correspondiente a un periodo de 1 año y medio.
- Una entidad financiera ofrece a sus clientes un interés nominal anual capitalizable mensualmente del 6%, determinar los siguientes tipos de interés equivalentes, en capitalización compuesta: a) Efectivo anual. b) Efectivo semestral. c) Nominal anual pagadero trimestralmente. d) Efectivo bianual.
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- En una operación financiera llevada a cabo por una empresa, ésta ha de entregar 20.000 euros el 1- 1-14; X euros el 1-1-16 y 30.000 euros el 1-1-17. Como contraprestación tiene previsto recibir 25. € el 1-1-15 y 40.000 el 1-1-19. Si la operación se ha pactado en base a una ley financiera de capitalización compuesta, a un tipo de interés del 6% nominal anual capitalizable semestralmente. (a) Calcular la cuantía del capital X. (b) Reserva de la operación el 1-1-15, por la derecha y por el método retrospectivo (c) Calcular la reserva a 1-1-18 por el método recurrente. (d) ¿Cuál será el tipo de interés efectivo al que resulta la operación?.
COSTE Y RENTABILIDAD DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA
14 Si disponemos de un capital 15.000 euros, estudiar cual de las siguientes alternativas proporciona una mayor rentabilidad:
- Adquirir una participación en un fondo de inversión que genera una rentabilidad del 5% nominal anual capitalizable mensualmente.
- Depositar el dinero en un depósito a plazo fijo, que al cabo de 18 meses genera unos intereses de 1200 euros.
- Una cuenta corriente con una rentabilidad semestral compuesta del 2.25%.
- Comprar unas obligaciones de nominal 30€ que proporcionan un 6% nominal anual pagadero semestralmente.
15 La Sra. Álvarez ha ingresado 3.000€ en una entidad bancaria que le proporciona un rendimiento del 2% simple anual durante los 5 primeros meses. Reinvierte el montante obtenido en capitalización compuesta al 1,5% semestral durante el siguiente año, al final del cual lo traspasa a una cuenta que proporciona un 2% nominal capitalizable mensualmente durante los siguientes 3 años. (a) Determinar el capital del que dispondrá la Sra. Álvarez pasado ese tiempo. (b) Obtener la rentabilidad global de la operación.
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- Un inversionista ha realizado varias operaciones:
Ha invertido 10.000 euros en un fondo de inversión, donde se obtuvo una rentabilidad del 4% semestral. Ha comprado 3.000 acciones de la constructora FTL por 5 euros cada una, que vendió 3 años después a 5.25 euros cada una (se supone no ha recibido ningún dividendo). Ha adquirido unas obligaciones de la empresa GLOBAL TELEFONIA que abonan trimestralmente un tipo de interés 7% nominal anual. (a) ¿Cuál de las tres inversiones ha sido la más rentable?. (b) Sabiendo que el fondo de inversión cobra al inicio una comisión del 4 por mil, y la compra de acciones conlleva unas comisiones del 1 por mil, y su venta unas comisiones del 1.5 por mil, comparar de nuevo las distintas posibilidades de inversión y determinar la más favorable, si la duración de la inversión es de 3 años en todos los casos.
- El Sr. Zapico compra 3.000 acciones de OHL a 20,50 euros cada una de ellas, con unos gastos totales de compra del 0,2. Al cabo de 10 meses vende 2.000 acciones a 22 euros cada una con unos gastos de venta del 0,15%, y al cabo de 11 meses (desde la compra) vende las 1. acciones restantes a 21,60 euros con unos gastos de venta del 0,1%. Se pide: (a) Plantear la ecuación que permite determinar la rentabilidad anual de la operación. (b) Determinar razonadamente si dicha rentabilidad es mayor o menor del 9%.
- Cierta entidad lanza una emisión de títulos de renta fija, cada título tendrá de nominal 1.000 euros, se emiten por 970 euros, abonando un tipo de interés nominal anual pagadero semestralmente del 6%. Cada semestre se abonan intereses, y a los 3 años se amortizan por el valor nominal. Calcular la rentabilidad anual de esta emisión para el comprador de los títulos.
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- El Sr. Reguera tiene derecho a recibir cierta renta consistente en 10 pagos anuales constantes de 12.000 euros cada uno de ellos. El primer importe lo recibirá dentro de 4 años (el último dentro 13 años). Calcular: a) Precio por el cual vendería hoy esta renta a una entidad financiera que valora la misma a un tipo de interés efectivo anual del 8%. b) Si dichos capitales según los recibe los ingresase en una entidad financiera que le abonase un tipo de interés efectivo anual del 3% ¿qué capital tendría disponible a los 20 años (7 años después de recibir la última anualidad)?
- Sea una renta de 8 términos anuales constantes de 1.000 euros cada uno. Sabiendo que a efectos de su valoración se considera un tipo de interés del 6% nominal anual pagadero trimestralmente, se pide: (a) Calcular valor hoy y el valor dentro de 10 años de dicha renta, si el primer término se recibe dentro de 3 años (el último dentro de 10 años). (b) Calcular el valor de la misma a los 5 años después de vencer el último término, suponiendo continuase devengando el mismo tipo de interés.. (c) Si la renta fuese perpetua y el primer término se percibiese dentro de 6 años ¿cuáls ería su valor actual?
- El Sr. Mourelo concierta con una entidad financiera una operación de ahorro que tendrá una duración de 10 años, , pactándose un tipo de interés efectivo anual del 4 % para los 6 primeros años y del 6 % nominal anual pagadero trimestralmente para los últimos 4 años:: Los primeros 3 años realizará imposiciones trimestrales constantes de 1.000 euros cada una (a final de cada trimestre). Los siguientes 7 años siguientes imposiciones semestrales constantes de 3.000 euros cada una (a comienzo de cada semestre). Una vez transcurridos los 10 años, y con cargo al capital constituido, el Sr. Mourelo acuerda recibir una renta mensual (a percibir a comienzo de cada mes) durante 10 años, pactándose esta nueva operación a un tipo de interés efectivo anual del 2 %. Se pide: plantear la ecuación que permita calcular la mensualidad a percibir por dicha persona.
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- El Sr. Cava concierta con una entidad financiera una operación de ahorro que tendrá una duración de 15 años, pactándose un tipo de interés efectivo trimestral del 1 % para los 9 primeros años y del 3 % efectivo anual para los últimos 6 años: Los primeros 5 años realizará imposiciones anuales constantes de 5.000 euros cada una (la primera imposiciones e realizará de manera inmediata). Los siguientes 10 años siguientes imposiciones trimestrales constantes de 2.000 euros cada una (a final de cada trimestre). Una vez transcurridos los 15 años, y con cargo al capital constituido, el Sr. Cava acuerda recibir una renta mensual (a percibir a final de cada mes) durante 20 años, pactándose esta nueva operación a un tipo de interés nominal anual pagadero mensualmente del 3 %. Se pide: plantear la ecuación que permita calcular la mensualidad a percibir por dicha persona.
VALOR ACTUAL NETO (VAN.) TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
- Cierto proyecto de inversión, cuya duración se estima será de 5 años, supone una inversión inicial de 80.000 euros, y se estima tendrá asociados los siguientes flujos de ingresos y gastos para cada uno de dichos años (ingresos y gastos se asocian a final de cada año):
Año1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ingresos anuales 30.000 40.000 40.000 60.000 60.
Gastos anuales - 25.000 - 21.000 - 20.000 - 25.000 - 25.
Se pide: a) Calcular el VAN de dicho proyecto, tomando como tipo de interés de descuento el 6% anual b) Calcular el VAN de dicho proyecto, tomando como tipo de interés de descuento el 12% anual. c) Calcular la TIR de este proyecto de inversión.
