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Univ. de Alcal´a de Henares Ingenier´ıa de Telecomunicaci´on C´alculo. Segundo parcial. Curso 2004-
Derivadas parciales segundas. Polinomios de Taylor.
1. Derivadas parciales segundas
En la primera parte del curso hemos visto que, para estudiar la curvatura (concavidad) de la gr´afica de una funci´on f , es necesario emplear la derivada segunda o derivadas de orden superior de f. Ese estudio de las derivadas superiores nos ha llevado a introducir los polinomios (y series) de Taylor. A su vez, esto permite entre otras cosas desarrollar criterios de existencia de extremos (m´aximos y m´ınimos). En este cap´ıtulo veremos como esas ideas se generalizan a funciones de varias variables, dejando para el siguiente el problema de los extremos. Vamos a empezar por definir las derivadas de orden superior de estas funciones. Las defini- ciones son las naturales. Empecemos con un ejemplo.
Ejemplo 1. Sea f : R^2 → R dada por f (x, y) = x^6 + 5xy + 8y^4 Entonces f es derivable en todo R^2. Podemos representar sus dos derivadas parciales en un esquema como este:
∂f ∂x
= 6x^5 + 5y
f (x, y) = x^6 + 5xy + 8y^4
∂x^ ∂ ff^22 fffffff ∂y^ ∂
XXXXXXXX X ∂f ∂y = 5x^ + 32y
3
Las dos derivadas parciales son polinomios, y por tanto derivables en todo el plano.Es decir, que podemos calcular de nuevo las derivadas parciales de cada una de ellas, como en este esquema:
30 x^4 = ∂ ∂x
∂f ∂x
∂f ∂x
= 6x^5 + 5y
∂x^ ∂ 33 hhhhhh ∂y^ ∂
VVVVVV VV
5 = ∂ ∂y
∂f ∂x
f (x, y) = x^6 + 5xy + 8y^4
∂x^ ∂ mmmmmm^66 mmmm mmmm mmm
∂y^ ∂ QQ Q ( (
QQQQ
QQQQ
QQQQQ Q 5 = (^) ∂x∂
∂f ∂y
∂f ∂y = 5x^ + 32y
3
∂x^ ∂ (^) hh^44 hhhhh
∂y^ ∂ VVVVV (^) V **
96 y^2 =
∂y
∂f ∂y
Ejemplos como ´este nos llevan a definir:
Definici´ on 2 (Derivadas parciales segundas).
Si la funci´on f : R^2 → R dada por z = f (x, y) es derivable en todos los puntos de una bola B(¯p, r) centrada en el punto p¯ = (x 0 , y 0 ), entonces tiene sentido hablar de las funciones derivadas parciales ∂f ∂x
, ∂f ∂y ya que se pueden calcular en todos los puntos de esa bola. Si estas derivadas parciales son a su vez funciones derivables en el punto p¯, entonces las derivadas parciales de esas funciones son las derivadas parciales segundas de f en p. Hay cuatro de estas derivadas segundas, que se representan con esta notaci´on:
∂^2 f ∂x^2 =^
∂x
∂f ∂x
(^2) f ∂y∂x =^
∂y
∂f ∂x
∂^2 f ∂x∂y =^
∂x
∂f ∂y
∂^2 f ∂y^2 =^
∂y
∂f ∂y
Observaci´on. Estas definiciones, y la notaci´on, se extienden de forma evidente a funciones vec- toriales, es decir a f : Rn^ → Rm. Si tenemos ¯y = f (¯x), con ¯x = (x 1 ,... , xn), ¯y = (y 1 ,... , ym) y f = (f 1 ,... , fm), entonces cada una de sus derivadas parciales segundas se obtiene, a partir por
ejemplo de (^) ∂x∂fi j
, derivando parcialmente con respecto a una variable xk. La notaci´on habitual
es entonces: ∂^2 fi ∂xk∂xj^ si es^ k^6 =^ j y ∂^2 fi ∂x^2 j^ si es^ k^ =^ j
Otra notaci´on com´un (y a veces muy conveniente) es:
∂^2 fi ∂xj ∂xk
= D jk^2 fi
Otras derivadas de orden superior. Por supuesto, si las derivadas segundas resultan deri- vables podemos repetir la definici´on anterior y obtener unas derivadas parciales terceras, etc. En general hablaremos de la derivada parcial r-´esima (o de orden r) de f con respecto a xj 1 xj 2... xjr para indicar las variables con respecto a las que derivamos, y el orden en que lo hacemos. Las notaciones m´as comunes son ´estas:
∂rf ∂xj 1... ∂xjr^ =^ D
rj 1 ...jr^ f
Funciones Ck^ y C∞. Una funci´on f : Rn^ → Rm^ cuyas derivadas parciales (primeras) existen y son continuas en todos los puntos de un abierto U se dice que f es de clase C^1 en U , o que f ∈ C^1 (U ) (a veces se dice que f es de clase 1, simplemente). De la misma forma, si todas las
Las derivadas ∂
(^2) f ∂xj ∂xi^ y^
∂^2 f ∂xj ∂xi^ se llaman^ derivadas parciales cruzadas, y el lema de Scwharz asegura la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. De hecho, para que se cumpla la igualdad de las derivadas parciales cruzadas es suficiente con que las derivadas segundas existan en todos los puntos de una bola B(p, r) y que al menos una de ellas sea continua en p. Hemos enunciado as´ı el lema de Shwarz porque a menudo lo m´as sencillo es comprobar que f es de clase C^2. Pero es importante comprender que no se puede prescindir completamente de la continuidad de las parciales, como muestra este ejemplo.
Ejemplo 5. Sea f : R^2 → R dada por:
f (x, y) =
xy
x^2 − y^2 x^2 + y^2 (x, y)^6 = (0,^ 0) 0 (x, y) = (0, 0)
Sugerimos al lector que compruebe que:
∂f ∂x (0, y) =^ −y ∂f ∂y (x,^ 0) =^ x
sean cuales sean x e y. (El c´alculo en (0, 0) de ambas derivadas parciales debe hacerse directa- mente como un l´ımite.) Por lo tanto es:
∂^2 f ∂x∂y (0,^ 0) = l´ xım→ 0
∂f ∂y (x,^ 0)^ −^
∂f ∂y (0,^ 0) x − 0 = l´ xım→ 0
−x x =^ −^1
Por un razonamiento similar se llega a
∂^2 f ∂y∂x
Es decir, que: ∂^2 f ∂x∂y
(^2) f ∂y∂x
Es muy conveniente que el lector calcule
∂^2 f ∂x∂y en un punto gen´erico^ (x, y)^6 = (0,^ 0)^ (en ese punto, por supuesto, el orden de derivaci´on es indiferente) y a continuaci´on estudie la continuidad en el origen de la funci´on obtenida (por ejemplo mediante las rectas que pasan por el origen).
1.1.1. Derivadas cruzadas de orden superior
Por supuesto, si f es de clase Ck, entonces da igual el orden de derivaci´on en las parciales de cualquier orden hasta k, siempre que derivemos el mismo n´umero de veces con respecto a cada variable. Es decir, que si (i 1 ,... , ik) es una lista de k n´umeros del 1 al n, y (j 1 ,... , jk) es otra ordenaci´on (permutaci´on) de la lista (i 1 ,... , ik), se tiene:
∂kf ∂xj 1 · · · ∂xjk
kf ∂xi 1 · · · ∂xik
en cualquier punto p de U.
2. Polinomios de Taylor.
2.1. El caso de las funciones de dos variables
La idea que queremos desarrollar es una generalizaci´on natural de lo que hemos hecho en el caso de las funciones de una variable. En esta secci´on, para hacer gradualmente ese proceso de generalizaci´on, empezamos por considerar el caso de una funci´on de dos variables, pongamos z = f (x, y), que queremos aproximar cerca de un punto p = (x 0 , y 0 ) mediante polinomios.
2.1.1. Polinomios de primer y segundo orden
Por lo que hemos aprendido, sabemos que la estrategia para obtener aproximaciones m´as y m´as precisas consiste en considerar polinomios de grado cada vez m´as alto. El polinomio de grado uno de una funci´on z = f (x, y) es, obviamente, el polinomio que define a su plano tangente. De manera que, si llamamos T 1 ,pf (x, y) a ese polinomio de grado 1 en el punto p, se tiene:
T 1 ,pf (x, y) = f (x 0 , y 0 ) +
∂f ∂x
p
· (x − x 0 ) +
∂f ∂y
p
· (y − y 0 )
Como hemos se˜nalado, un plano es un objeto lineal, que no puede detectar fen´omenos como la curvatura. Si queremos obtener una aproximaci´on m´as precisa y con m´as informaci´on, debemos considerar un polinomio de grado superior. Si la funci´on f es suficientemente regular en p (por ejemplo si es de clase C^2 o m´as en una bola centrada en p), la expresi´on que se obtiene para el polinomio de Taylor de grado dos en p es la que reflejamos en la siguiente definici´on:
Definici´ on 6 (Polinomio de Taylor de grado dos).
Si z = f (x, y) es de clase C^2 en el punto p, entonces su polinomio de Taylor de grado dos en ese punto es
T 2 ,pf (x, y) = f (x 0 , y 0 ) +
∂f ∂x
p
· (x − x 0 ) +
∂f ∂y
p
· (y − y 0 )+
+^1
[(
∂^2 f ∂x^2
p
· (x − x 0 )^2 + 2
∂^2 f ∂y∂x
p
· (x − x 0 ) · (y − y 0 ) +
∂^2 f ∂y^2
p
· (y − y 0 )^2
]
En la segunda l´ınea de esta f´ormula aparecen los t´erminos de grado dos, que involucran a las derivadas segundas de f en p. Como puede verse, los t´erminos de grado menor coinciden con los del polinomio de Taylor de orden uno. Esta es una propiedad general de los polinomios de Taylor, y que ya conocemos en el caso de funciones de una variable: al aumentar el grado del polinomio se a˜naden nuevos t´erminos a los ya conocidos. El siguiente teorema nos confirma que este polinomio es la aproximaci´on que busc´abamos. Recordemos de la primera parte del curso que, para usar el polinomio de Taylor de grado dos, hemos pedido que la funci´on sea derivable tres veces.
Teorema 7.
Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (x 0 , y 0 ), en la que f es de clase C^3. Entonces, si (x, y) es cualquier punto de esa bola, se tiene
f (x, y) = T 2 ,pf (x, y) + o (‖(x − x 0 , y − y 0 )‖) , donde (^) (x,yl´ım)→p
o (‖(x − x 0 , y − y 0 )‖) ‖(x − x 0 , y − y 0 )‖^2 = 0
Ejemplo 9. Si usamos x¯ = (x 1 , x 2 ) es un vector cualquiera de R^2 , entonces la forma cuadr´atica asociada a la matriz
A =
se obtiene calculando:
q(x 1 , x 2 ) =
x 1 x 2
) (^1
x 1 x 2
) (^ x 1 + 3x 2 5 x 1 − x 2
= x^21 + 3x 1 x 2 + 5x 2 x 1 − x^22 = x^21 + 8x 1 x 2 − x^22
Como puede verse, el resultado es un polinomio de grado dos en las coordenadas (x 1 , x 2 ). Adem´as, todos los t´erminos del polinomio son de grado dos, no hay t´erminos de grado uno o cero (el polinomio es homog´eneo). Rec´ıprocamente, dado cualquier otro polinomio homog´eneo de grado dos en (x 1 , x 2 ) (sin t´erminos de grado uno o cero), como, por ejemplo,
q ˜(x 1 , x 2 ) = 2x^21 + 8x 1 x 2 + 6x^22
podemos encontrar una matriz A que permite expresar ˜q(x 1 , x 2 ) como la forma cuadr´atica aso- ciada a esa matriz. Por ejemplo, poniendo
q ˜(x 1 , x 2 ) = 2x^21 + 8x 1 x 2 + 6x^22 = 2x^21 + 5x 1 x 2 + 3x 2 x 1 + 6x^22
se observa que podemos usar la matriz
A =
Y si escribimos el mismo polinomio ˜q(x 1 , x 2 ) de esta otra forma
q ˜(x 1 , x 2 ) = 2x^21 + 8x 1 x 2 + 6x^22 = 2x^21 + 10x 1 x 2 − 2 x 2 x 1 + 6x^22
vemos que podemos usar tambi´en esta otra matriz
A =
Como se ve, hay una cierta arbitrariedad en la elecci´on de la matriz, asociada a los t´erminos cruzados x 1 x 2. Podemos eliminar esa arbitrariedad pidiendo que la matriz A sea sim´etrica. En ese caso, s´olo hay una matriz posible:
q ˜(x 1 , x 2 ) = 2x^21 + 8x 1 x 2 + 6x^22 = 2x^21 + 4x 1 x 2 + 4x 2 x 1 + 6x^22 =
x 1 x 2
) (^2
x 1 x 2
Resumimos las anteriores observaciones en una definici´on:
Definici´on 10 (Forma cuadr´atica).
Dada una matriz cuadrada de orden n A = (aij ) y sim´etrica (es decir, con aij = aji), la forma cuadr´atica asociada a la matriz A es la aplicaci´on q : Rn^ → R definida mediante:
q(x 1 ,... , xn) =
x 1 x 2 · · · xn
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n
... an 1 an 2 · · · ann
x 1 x 2 .. . xn
= ¯x · A · x¯T
donde el vector x¯ se interpreta como una matriz fila (1, n), y x¯T^ es su matriz traspuesta (una matriz columna).
2.1.3. Matriz Hessiana Ahora que disponemos de este lenguaje de formas cuadr´aticas, podemos volver a los poli- nomios de Taylor. Si nos fijamos en los t´erminos de grado dos del polinomio de Taylor, que son
1 2!
[(
∂^2 f ∂x^2
p
· (x − x 0 )^2 + 2
∂^2 f ∂y∂x
p
· (x − x 0 ) · (y − y 0 ) +
∂^2 f ∂y^2
p
· (y − y 0 )^2
]
observaremos que estos t´erminos son homog´eneos en x − x 0 e y − y 0. Por lo tanto, podemos usar la notaci´on matricial para representarlos como una forma cuadr´atica:
x − x 0 y − y 0
∂^2 f ∂x^2
∂^2 f ∂y∂x ∂^2 f ∂x∂y
∂^2 f ∂y^2
p
x − x 0 y − y 0
La matriz que aparece en esta expresi´on se merece un nombre: Definici´on 11 (Matriz Hessiana).
Si f es dos veces derivable en el punto p = (x 0 , y 0 ), entonces su matriz hessiana en p es la matriz 2 × 2 :
Hf (p) =
∂^2 f ∂x^2
∂^2 f ∂y∂x ∂^2 f ∂x∂y
∂^2 f ∂y^2
p Obs´ervese que si f es de clase C^2 en p entonces la matriz hessiana es sim´etrica (Lema de Schwarz).
Como veremos en el pr´oximo cap´ıtulo, el an´alisis de la forma cuadr´atica que define el hessiano es esencial para caracterizar los extremos locales de una funci´on de varias variables.
Pero si f es de clase C^7 , se puede intercambiar las posiciones de las x y las y, sin que cambie el resultado. Es decir, que en general tenemos ( ∂ ∂??
∂f ∂??
y tenemos a nuestra disposici´on cinco letras x y dos letras y para colocarlas en lugar de las interrogaciones. ¿De cu´antas formas distintas podemos hacerlo? Es f´acil darse cuenta de que se trata simplemente de decidir en qu´e dos posiciones colocamos las dos y, y luego rellenar el resto con x. Se trata de elegir las dos posiciones de las y entre siete posibles; en combinatoria
se aprende que la respuesta es
2
= 21. Es decir, que hay 21 ´ordenes distintos
de derivaci´on que producen el mismo valor de la derivada parcial.
Generalizando el ejemplo anterior es f´acil ver que, dada una derivada parcial de orden k, de la forma ∂kf ∂xi∂yj
(donde, naturalmente, se debe cumplir i + j = k), se pueden encontrar ( k i
k j
= k! i!j!
derivadas cruzadas iguales. Con estos resultados, es f´acil entender que los t´erminos de grado k del polinomio de Taylor son (aqu´ı se usa que j = k − i):
tk,p(f )(x) =^1 k!
∑^ k
i=
k i
∂kf ∂xi∂yk−i
p
(x − x 0 )i(y − y 0 )k−i
Y por tanto el polinomio de grado k completo es:
Tk,p(f )(x) =
∑^ k
s=
s!
∑^ s
i=
s i
∂sf ∂xi∂ys−i
p
(x − x 0 )i(y − y 0 )s−i
(por convenio, la derivada de orden 0 de f es la propia f ).
Teorema de Taylor en orden k La generalizaci´on del teorema (7), de la p´agina 5, es ahora evidente:
Teorema 13.
Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (x 0 , y 0 ), en la que f es de clase Ck+1. Entonces, si (x, y) es cualquier punto de esa bola, se tiene
f (x, y) = Tk,pf (x, y) + o (‖(x − x 0 , y − y 0 )‖) , donde (^) (x,yl´ım)→p
o (‖(x − x 0 , y − y 0 )‖) ‖(x − x 0 , y − y 0 )‖k^ = 0
2.2. Polinomios de Taylor en general
La extensi´on de todas estas ideas a funciones de n variables es una mera cuesti´on de notaci´on y formalismo. Vamos a describir el polinomio de orden k de una funci´on de n variables, pongamos z = f (x 1 ,... , xn). Para escribir este polinomio necesitamos referirnos a todas las derivadas parciales de un cierto orden s de f. Cada una de estas derivadas es de la forma:
∂sf ∂xi 11 ∂xi 22 · · · ∂xi nn
donde i 1 , i 2 ,... , in son n´umeros naturales que cumplen i 1 + · · · + in = s. Es necesario hacer de nuevo un an´alisis combinatorio para establecer cu´antas derivadas cruzadas iguales hay. El resultado es que el s´ımbolo anterior representa a: ( k i 1 , i 2 ,... , in
= k! i 1 !i 2! · · · in! La definici´on del polinomio de Taylor y el correspondiente teorema quedan as´ı:
Definici´on 14 (Polinomio de Taylor general).
Si z = f (x 1 ,... , xn) es de clase Ck^ en el punto p = (a 1... , an), entonces su polinomio de Taylor de grado k en ese punto es
Tk,p(f )(x) =
∑^ k
s=
s!
∑^ s
i 1 +···+in=s
k i 1 , i 2 ,... , in
∂sf ∂xi 11 ∂xi 22 · · · ∂xi nn
p
(x 1 − a 1 )i^ · · · (xn − an)s−i
Teorema 15.
Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (a 1 ,... , an), en la que f es de clase Ck+1. Entonces, si x = (x 1 ,... , xn) es cualquier punto de esa bola, se tiene
f (x) = Tk,pf (x) + o (‖(x 1 − a 1 ,... , xn − an)‖) , donde (^) xl´ım→p
o (‖(x 1 − a 1 ,... , xn − an)‖) ‖(x 1 − a 1 ,... , xn − an)‖k^ = 0
