Matem´aticas I Grado en 07-09-2011
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1. Definir autovalor de una matriz y comprobar utilizando esta definici´on que λ= 2 es un autovalor de
A= 1 1
3−1!, indicando un autovector asociado.
2. Dado el subespacio E=<(1,1,0,1),(1,1, a, −1),(0,0,1,1) >con a∈IR:
a) Obtener su dimensi´on para a= 1 y a=−2.
b) Obtener las ecuaciones impl´ıcitas, las ecuaciones param´etricas y una base para a=−2.
3. Dada la matriz A=
5 0 0
0−1 1
3 0 −1
, estudiar si es diagonalizable.
4. Obtener, si es posible, una base de autovectores de la siguiente aplicaci´on lineal
f(x, y, z) = (3x−y+z , 2y, x −y+ 3z)
5. Determinar la expresi´on anal´ıtica de la forma cuadr´atica qde matriz A=
1−1−1
−1 1 −1
−1−1 1
y clasificarla sin restringir y restringida al subespacio vectorial F={(x, y, z)∈IR3/ x −y+z= 0}
6. Obtener los vectores gradientes de las siguientes funciones en un punto gen´erico, especificando las
condiciones que debe verificar este punto:
(a) f(x, y) = e2x2ycos(3xy2) (b) f(x, y, z) = (z2+ 1)x
7. Obtener la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto gen´erico, especificando las condi-
ciones que debe verificar este punto:
(a) f(x, y) = Ln(x+y2) (b) f(x, y, z) = xy2z3+x3yz2
8. Calcular Z3x+ 9
x2+ 6x+ 10 dx
9. Dado el recinto del plano D={(x, y)∈IR2/ x +y≤4, xy ≥3, x ≥0, y ≥0}, calcular:
a)´
Area del recinto D.
b)Z ZD
xy dx dy
10. Calcular Z ZD
Lnx dx dy siendo D={(x, y)∈IR2/ x2+y≤5, y ≥1, x ≥1}.
Puntuaci´on: Todas las preguntas valen un punto.