Matematica aplicada 1.1.1, Apuntes de Matemáticas Aplicadas

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Tema 4

Matrices

© Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

• Esquema Índice
• Ideas clave
  • 4.1. Introducción y objetivos
  • 4.2. Concepto
  • 4.3. Tipos de matrices
  • 4.4. Operaciones con matrices
  • ecuaciones lineales 4.5. Representación matricial de sistemas de
  • 4.6. Actividades resultas para practicar
  • 4.7. Referencias bibliográficas
• A fondo
• Test

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Ideas clave

4.1. Introducción y objetivos

Gracias a la entrada en escena de smartphones y otras herramientas que son capaces

de recoger gran cantidad de información sin emplear muchos recursos, el entorno

empresarial es cada vez más previsible si se analiza de forma adecuada todo ese flujo

de información.

En la actualidad, las empresas se encuentran inmersas en multitud de proyectos que

tienen como objetivo conocer mejor el entorno haciendo uso de técnicas Big Data

que aprovechen de forma eficiente los datos para tomar decisiones y realizar

movimientos estratégicos de negocio. Big data es el término que describe el gran

volumen de datos, tanto estructurados como no estructurados, que inundan los

negocios cada día.

El tratamiento de matrices, que es la base del Big Data, constituye los cimientos para

aprender a tratar datos en Estadística y Econometría, pues las matrices permiten

recoger gran cantidad de información y clasificar los datos como si estuvieran

recogidos en una tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo input-

output , que permite solucionar problemas macroeconómicos, algunos de los cuales

son:

œ Sintetizar la información de los sectores productivos.

œ Estimar las demandas de producción o los costes.

œ Analizar beneficios y costes entre los distintos sectores de producción.

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La economía se transforma en matemáticas y se realiza:

«A través del concepto de número real, que nos permite asignar un valor numérico —cuantificar— cualquier magnitud económica. Una realidad económica puede tratarse matemáticamente a partir del momento en que encontramos un medio de describirla mediante magnitudes numéricas cuyo comportamiento y relaciones mutuas podemos estudiar (precios, salarios, réditos, probabilidades, tasas de inflación, de desempleo, beneficios, costes, etc.). Es muy raro que un problema venga determinado por un único dato numérico. Lo usual es que sea necesario trabajar simultáneamente con muchos datos» (Canós, Ivorra y Liern, 2001, p. 1).

En este tema los objetivos que se pretenden conseguir son:

œ Entender las matrices y su significado.

œ Conocer los distintos tipos de matrices.

œ Aprender cómo se opera con las matrices.

œ Saber plantear un sistema de ecuaciones lineales empleando matrices.

4.2. Concepto

A semejanza de como definimos los vectores, denominamos matriz 𝑨𝑨 a un conjunto ordenado de 𝒎𝒎 × 𝒏𝒏 elementos reales 𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 que representamos en un cuadrante de 𝒎𝒎

filas por 𝒏𝒏 columnas:

A una matriz de 𝒎𝒎 × 𝒏𝒏 elementos se le denomina matriz de orden 𝒎𝒎 × 𝒏𝒏, y a los

valores 𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 que la forman se les denomina elementos de la matriz.

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En el caso que la matriz posea 𝒏𝒏 filas y 𝒏𝒏 columnas, 𝒏𝒏 × 𝒏𝒏, diremos que la matriz es

de orden 𝒏𝒏. Todos los elementos del tipo 𝒃𝒃 (^) 𝒌𝒌 𝒌𝒌 forman la diagonal principal de la

matriz: 𝒃𝒃 (^) 𝟏𝟏 𝟏𝟏, 𝒃𝒃 (^) 𝟐𝟐 𝟐𝟐, … , 𝒃𝒃 (^) 𝒏𝒏 𝒏𝒏.

Ejemplo

La matriz:

𝐴𝐴 = �^1 4 − 3

Es una matriz cuadrada, que posee dos filas y dos columnas, de orden 2. La diagonal

principal de la matriz está formada por los elementos 1, -

Matriz diagonal

Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal

principal son nulos: 𝒅𝒅𝒊𝒊 𝒋𝒋 = 𝟎𝟎, ∀𝒊𝒊 ≠ 𝒋𝒋

Ejemplo

La matriz:

𝐴𝐴 = �

Es una matriz diagonal.

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Matriz identidad

La matriz identidad, o unidad, es una matriz diagonal cuyos elementos no nulos, la

diagonal principal, tienen valor unitario: 𝒊𝒊𝒋𝒋 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, ∀𝒋𝒋 ≠ 𝒌𝒌 ∧ 𝒊𝒊𝒋𝒋 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, ∀𝒋𝒋 = 𝒌𝒌

Ejemplo

La matriz:

Es la matriz identidad de orden 3.

Matriz nula

La matriz nula, o matriz cero, es una matriz cuyos elementos son todos nulos: 𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 =

𝟎𝟎, ∀𝒊𝒊 ∧ ∀𝒋𝒋

Ejemplo

La matriz:

0 = �^0 0 0

Es la matriz nula, o matriz cero, de orden 2.

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Ejemplo

La matriz:

Es una matriz triangular inferior, todos los elementos por encima de la diagonal

principal son nulos.

Matriz simétrica

Denominaremos matriz simétrica de orden 𝒏𝒏 a una matriz cuadrada cuyos elementos

verifican 𝒔𝒔𝒊𝒊 𝒋𝒋 = 𝒔𝒔𝒋𝒋 𝒊𝒊, ∀𝒊𝒊, 𝒋𝒋 = 𝟏𝟏 … 𝒏𝒏.

Ejemplo

La matriz:

Es una matriz cuadrada de orden 3, simétrica, puesto que los elementos de la matriz

mantienen la simetría con respecto la diagonal principal.

Matriz traspuesta

La matriz transpuesta es aquella matriz que se obtiene al intercambiar los elementos

de sus filas con los elementos de sus columnas. Es decir, supongamos la matriz 𝑨𝑨 =

�𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 � (^) 𝒎𝒎×𝒏𝒏, su matriz transpuesta será la matriz 𝑨𝑨′^ = �𝒂𝒂𝒊𝒊′^ 𝒋𝒋� (^) 𝒏𝒏×𝒎𝒎 en donde 𝒂𝒂𝒊𝒊′ 𝒋𝒋=

𝒂𝒂𝒋𝒋 𝒊𝒊, ∀𝒊𝒊 = 𝟏𝟏 … 𝒏𝒏 ∧ ∀𝒋𝒋 = 𝟏𝟏 … 𝒎𝒎.

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𝐴𝐴′^ = �

La matriz transpuesta también se representa añadiendo el superíndice 𝑇𝑇: 𝑨𝑨𝑻𝑻^ = 𝑨𝑨′

Ejemplo

Dada la matriz A:

La matriz traspuesta es:

𝐴𝐴𝑇𝑇^ = �

Propiedades de la matriz transpuesta

œ (𝐴𝐴T)T^ = 𝐴𝐴

œ (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑇𝑇^ = 𝐴𝐴𝑇𝑇^ + 𝐵𝐵 T

œ (𝛼𝛼 ∙ 𝐴𝐴)T^ = 𝛼𝛼 ∙ 𝐴𝐴T

œ (𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵)T^ = 𝐵𝐵 T^ ∙ 𝐴𝐴𝑇𝑇

Adicionalmente, en el caso de las matrices simétricas se verifica 𝑨𝑨𝑻𝑻^ = 𝑨𝑨

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Suma de matrices

Para la suma de dos matrices del mismo orden se suman los elementos

correspondientes a cada posición de cada matriz. Es decir, sean dos matrices 𝑨𝑨 =

�𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 � (^) 𝒎𝒎×𝒏𝒏 y 𝑩𝑩 = �𝒃𝒃 (^) 𝒊𝒊 𝒋𝒋 � (^) 𝒎𝒎×𝒏𝒏, entonces la matriz 𝑪𝑪 = �𝒄𝒄𝒊𝒊 𝒋𝒋 � (^) 𝒎𝒎×𝒏𝒏 será suma de las

matrices 𝑨𝑨 y 𝑩𝑩, 𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩, si verifica 𝒄𝒄𝒊𝒊 𝒋𝒋 = 𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 + 𝒃𝒃 (^) 𝒊𝒊 𝒋𝒋, ∀𝒊𝒊 = 𝟏𝟏 … 𝒎𝒎 ∧ ∀𝒋𝒋 = 𝟏𝟏 … 𝒏𝒏

Ejemplo

Sean dos matrices A y B

Entonces la suma C=A+ B viene dada por:

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Propiedades de la suma de matrices

œ La suma de matrices está bien definida (es consistente). Esto significa que para

todas las matrices A y B, existe una única matriz tal que A+B=C.

œ La suma de matrices cumple la propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C.

œ El elemento neutro de la suma es la matriz nula: A + 0 = 0 + A = A, donde 0 es la

matriz nula del mismo orden que la matriz A.

œ El elemento opuesto: A + (-A) = (-A) + A = 0.

œ La suma de matrices cumple la propiedad conmutativa: A + B = B + A.

Producto de una matriz por un escalar

Para obtener el producto de una matriz por un escalar se multiplica cada elemento

de la matriz por el escalar. Es decir, sean 𝑨𝑨 = �𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 � (^) 𝒎𝒎×𝒏𝒏 y 𝜶𝜶 ∈ ℝ, entonces se tiene

que 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨 = �𝜶𝜶 ∙ 𝒂𝒂𝒊𝒊 𝒋𝒋 � (^) 𝒎𝒎×𝒏𝒏, ∀𝒊𝒊 = 𝟏𝟏 … 𝒎𝒎 ∧ ∀𝒋𝒋 = 𝟏𝟏 … 𝒏𝒏.

Ejemplo

Sean la matriz A y el escalar k dados por:

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𝒏𝒏

𝒑𝒑=𝟏𝟏

O bien para el elemento 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒍𝒍:

𝒏𝒏

𝒑𝒑=𝟏𝟏

De donde se puede generalizar que cada elemento 𝒄𝒄𝒊𝒊 𝒌𝒌 de la matriz producto 𝑪𝑪 se

expresa por:

𝒏𝒏

𝒑𝒑=𝟏𝟏

Ejemplo

Sean dos matrices A y B:

A=�

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Propiedades del producto de matrices

œ Asociativa: (𝑨𝑨 ∙ 𝑩𝑩) ∙ 𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 ∙ (𝑩𝑩 ∙ 𝑪𝑪).

œ Distributiva: (𝑨𝑨 + 𝑩𝑩) ∙ 𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 ∙ 𝑪𝑪 + 𝑩𝑩 ∙ 𝑪𝑪, 𝑪𝑪 ∙ (𝑨𝑨 + 𝑩𝑩) = 𝑪𝑪 ∙ 𝑨𝑨 + 𝑪𝑪 ∙ 𝑩𝑩.

œ Pseudo asociativa: (𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨) ∙ 𝑩𝑩 = 𝜶𝜶 ∙ (𝑨𝑨 ∙ 𝑩𝑩).

œ Elemento neutro: 𝑨𝑨 ∙ 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨.

Traza de una matriz

Definimos traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal

principal.

𝒏𝒏

𝒊𝒊=𝟏𝟏

Propiedades de la traza de una matriz

œ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑨𝑨) = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑨𝑨′).

œ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑨𝑨 + 𝑩𝑩) = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑨𝑨) + 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑩𝑩).

œ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑨𝑨 ∙ 𝑩𝑩) = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑩𝑩 ∙ 𝑨𝑨).

œ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨) = 𝜶𝜶 ∙ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑎𝑎(𝑨𝑨).

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4.5. Representación matricial de sistemas de

ecuaciones lineales

Según lo visto en este tema podemos representar el sistema de ecuaciones lineales

estudiado en el tema anterior:

Esto es posible haciendo uso de las matrices según la siguiente expresión:

𝑨𝑨 ∙ 𝒙𝒙��⃗^ = 𝒃𝒃��⃗^ , donde 𝒙𝒙��⃗^ representa el vector incógnita 𝒙𝒙��⃗^ = (𝒙𝒙 (^) 𝟏𝟏, 𝒙𝒙 (^) 𝟐𝟐, … , 𝒙𝒙 (^) 𝒏𝒏), 𝒃𝒃��⃗^ representa

el vector de los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales, 𝒃𝒃��⃗^ = (𝒃𝒃 (^) 𝟏𝟏, 𝒃𝒃 (^) 𝟐𝟐, … , 𝒃𝒃 (^) 𝒎𝒎), y 𝑨𝑨 representa la matriz de los términos dependientes de dicho

sistema.

A la matriz 𝑨𝑨 se le denomina matriz asociada a un determinado sistema de

ecuaciones lineales.

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Observar que con la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

podemos interpretar que lo hemos transformado a una ecuación con una única

incógnita:

Pero teniendo en cuenta que estamos tratando con matrices en lugar de escalares,

lo cual nos podría llevaría a pensar en una posible solución del sistema pudiera ser

del tipo:

𝐴𝐴−1^ ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝐴𝐴−1^ ∙ 𝑏𝑏�⃗

𝐼𝐼 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗ = 𝐴𝐴−1^ ∙ 𝑏𝑏�⃗

Siempre y cuando supiéramos calcular dicha matriz inversa, pero esto lo veremos más

adelante.

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones lineal:

Lo expresamos de forma matricial:

Donde: 𝐴𝐴 = �

� 𝑏𝑏�⃗^ = �