Matematica aplicada 2.1, Apuntes de Matemáticas

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Tema 2

Las ecuaciones

© Universidad Internacional de La Rioja (UNIR)

Índice

Esquema 3 Ideas clave 4 2.1. Introducción y objetivos 4 2.2. Utilidad de esta herramienta dentro de las asignaturas del Grado 5 2.3. Concepto 5 2.4. Tipos de ecuaciones 7 2.5. Inecuaciones 15 2.6. Sistemas de ecuaciones 16 A fondo 21

Ideas clave

2.1. Introducción y objetivos

Confundir las ecuaciones con las expresiones algebraicas puede llevarnos a mezclar conceptos; en ambas aparecen letras y números, pero no son lo mismo.

Con las expresiones algebraicas podemos realizar operaciones como si se tratase de números (recordemos el ejemplo del tipo de interés); mientras que, con las ecuaciones, aunque se emplea el lenguaje algebraico, se trata de obtener la solución de las letras involucradas en la ecuación llamadas incógnitas.

Así, la letra involucrada, principalmente denominada 𝑋𝑋, será nuestra incógnita, el valor a descubrir y por tanto el valor que dará la resolución del problema.

Te mostramos en este material la herramienta de análisis denominada ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Es muy posible que en cualquiera de las asignaturas cuantitativas que vayas a estudiar en el Grado encuentres problemas y que, para resolverlos, y así hallar su solución, necesites plantear una ecuación o un sistema de ecuaciones.

Los objetivos de esta herramienta son:

œ Dominar la resolución de ecuaciones de cualquier tipo. œ Saber resolver sistemas de ecuaciones mediante el álgebra. œ Interpretar las soluciones de una inecuación.

2.2. Utilidad de esta herramienta dentro de las

asignaturas del Grado

Una vez que descubrimos las ecuaciones parece que casi cualquier problema es posible resolverlo planteando una ecuación. Son tantas las aplicaciones que tienen las ecuaciones que hacen que esta herramienta sea fundamental.

Debemos tener muy claro cómo se resuelven las ecuaciones, y por tanto cómo se llega a despejar la incógnita^1 (y así obtener su valor) en cada tipo de ecuación. En todo el procedimiento es importante no confundirnos con los signos y la forma de despejar que en muchas ocasiones puede dar lugar a errores que en este caso nos llevan a un valor de la incógnita incorrecto.

2.3. Concepto

Una ecuación está formada por dos expresiones conectadas mediante una igualdad, donde a un lado y otro de dicha igualdad aparecen números y letras relacionadas mediante operaciones matemáticas:

Figura 1. Las ecuaciones.

(^1) Cuando hablamos de «despejar» nos referimos a aislar la incógnita a un lado de la ecuación dejando al otro lado de esta, y por tanto de la igualdad, el valor alcanzado y que será el que tomará la incógnita siendo este el resultado de la ecuación.

Tenemos algunos «trucos» para construir ecuaciones equivalentes:

1. Sumando o restando una expresión algebraica en los dos miembros de la ecuación.
2. Multiplicando o dividiendo los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

œ Hay ecuaciones que no tienen solución, y se llaman ecuaciones imposibles o incompatibles.

Seguro que has oído muchas veces la siguiente expresión: «lo que está sumando pasa restando y lo que está multiplicando pasa dividiendo». No te dejes llevar por estas expresiones. En matemáticas, por muy abstractas que las cosas sean, «los números no vuelan».

2.4. Tipos de ecuaciones

En este apartado se realiza un repaso por los principales tipos de ecuaciones que podrás encontrar. La clasificación de las ecuaciones se realiza en función del grado de la ecuación.

Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado se denominan así ya que todos los términos que la forman tienen grado uno o menor. Son del tipo 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0, con 𝑎𝑎 ≠ 0.

Ejemplo 3. 3(𝑎𝑎 − 2) − 1 = 5 3 𝑎𝑎 − 6 − 1 = 5 3 𝑎𝑎 = 5 + 6 + 1 3 𝑎𝑎 = 12 𝑎𝑎 =^123 𝑎𝑎 = 4

Otro ejemplo: 3 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 2 + 5 3 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 2 +^102 3 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎^ + 10 2 6 𝑎𝑎 2 =^

𝑎𝑎 =^105

Ecuaciones de segundo grado

Son ecuaciones cuyos términos tienen grado dos o menor. Son del tipo:

𝑎𝑎𝑎𝑎^2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 0

Para resolver este tipo de ecuaciones se recurre a la fórmula:

𝑎𝑎 = −𝑏𝑏^ ±^ √𝑏𝑏^

Puede ocurrir que tengamos ecuaciones de segundo grado incompletas:

𝑎𝑎𝑎𝑎^2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 = 0; 𝑎𝑎𝑎𝑎^2 + 𝑐𝑐 = 0.

Una ecuación de grado n tiene la siguiente forma:

𝑎𝑎 (^) 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛^ + 𝑎𝑎 (^) 𝑛𝑛−1𝑎𝑎𝑛𝑛−1^ + ⋯ + 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎^1 + 𝑎𝑎 0 = 0

El objetivo es encontrar valores (a) que verifiquen la ecuación. El método parte de dividir la expresión 𝑎𝑎 (^) 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛^ + 𝑎𝑎 (^) 𝑛𝑛−1𝑎𝑎𝑛𝑛−1^ + ⋯ + 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎^1 + 𝑎𝑎 0 por el binomio (x-a) para ver si el resto es o no es cero. Cuando el resto sea cero, «𝑎𝑎» será una solución de la ecuación.

El posible valor de «𝑎𝑎» deber ser divisor del término independiente a 0.

Veamos algunos ejemplos en los que sí podemos emplear el método de Rufinni para determinar la solución de las ecuaciones.

Ejemplo 5.

Queremos encontrar las soluciones de la ecuación de grado 4:

𝑎𝑎^4 + 6𝑎𝑎^3 + 𝑎𝑎^2 − 24 𝑎𝑎 + 16 = 0

Buscamos posibles soluciones de la ecuación en los divisores del término independiente de la ecuación, 16, y aplicamos Ruffinni como se ve en «Herramienta de análisis 3».

Entonces tenemos que:

𝑎𝑎^4 + 6𝑎𝑎^3 + 𝑎𝑎^2 − 24 𝑎𝑎 + 16 = (𝑎𝑎 − 1) · (𝑎𝑎^3 + 7𝑎𝑎^2 + 8𝑎𝑎 − 16)

Seguimos buscando las raíces de 𝑎𝑎^3 + 7𝑎𝑎^2 + 8𝑎𝑎 − 16 = 0:

Entonces tenemos:

𝑎𝑎^4 + 6𝑎𝑎^3 + 𝑎𝑎^2 − 24 𝑎𝑎 + 16 = (𝑎𝑎 − 1) · (𝑎𝑎 − 1) · (𝑎𝑎^2 + 8𝑎𝑎 + 16)

Ahora, como tenemos que buscar las raíces de una ecuación de segundo grado 𝑎𝑎^2 + 8 𝑎𝑎 + 16 = 0, podemos emplear la fórmula para las ecuaciones de segundo grado o seguir empleando Ruffinni:

𝑎𝑎^2 + 8𝑎𝑎 + 16 = 0; 𝑎𝑎 = −8 ±^ √ 264 −^64 = −4; 𝑎𝑎^2 + 8𝑎𝑎 + 16 = (𝑎𝑎 + 4)^2

Por tanto:

𝑎𝑎^4 + 6𝑎𝑎^3 + 𝑎𝑎^2 − 24 𝑎𝑎 + 16 = (𝑎𝑎 − 1)^2 (𝑎𝑎 + 4)^2

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado cuya expresión general es 𝑎𝑎𝑎𝑎^4 + 𝑏𝑏𝑎𝑎^2 + 𝑐𝑐 = 0; nos recuerda mucho a las ecuaciones de grado dos y de ahí que su forma de resolverlas sea muy similar.

Se resuelven sustituyendo la x^2 por la letra t, de tal forma que quedaría la ecuación 𝑎𝑎𝑡𝑡 2 + 𝑏𝑏𝑡𝑡 + 𝑐𝑐 = 0 hallándola como una ecuación de 2.º grado. Al llegar a las soluciones solamente hay que extraer la raíz cuadrada de la t, para conseguir los valores de x. Esta técnica se denomina cambio de variable , y lo que pretende es pasar de un problema complejo a otro más sencillo equivalente. Tras la resolución de este, hemos de deshacer el cambio para obtener las soluciones del problema inicial. Esta metodología también la aplicaremos para la resolución de integrales en «Herramienta de análisis 8».

Ejemplo 7. 30 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 2;

Hacemos el m.c.m de los denominadores; en este caso solo aparece el denominador x: 30 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 =

Una vez que tenemos el denominador igual en ambos miembros podemos quitarlo:

30 − 𝑎𝑎 = 2𝑎𝑎;

Resolvemos la ecuación como si se tratara de una ecuación de primer grado:

30 = 2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎; 30 = 3𝑎𝑎; 30 3 =^ 𝑎𝑎; 10 =^ 𝑎𝑎

Otro ejemplo: 2 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 2 +^

Hacemos el m.c.m de los denominadores (x+2) y 2x:

2 𝑎𝑎 · 2𝑎𝑎 (𝑎𝑎 + 2) · 2𝑎𝑎 +

Una vez que tenemos el mismo denominador en ambos lados de la igualdad, quitamos los denominadores:

4 𝑎𝑎^2 + (𝑎𝑎 + 2)^2 = 4𝑎𝑎 · (𝑎𝑎 + 2);

Operamos y resolvemos la ecuación, que en este caso es de segundo grado:

4 𝑎𝑎^2 + 𝑎𝑎^2 + 4𝑎𝑎 + 4 = 4𝑎𝑎^2 + 8𝑎𝑎; 5 𝑎𝑎^2 + 4𝑎𝑎 + 4 − 4 𝑎𝑎^2 − 8 𝑎𝑎 = 0; 𝑎𝑎^2 − 4 𝑎𝑎 + 4 = 0; 𝑎𝑎 = 4 ±^ √^4

Otro ejemplo: 5 𝑎𝑎 + 2 +^

Calculamos el m.c.m de los denominadores: (x+2), (x+3) y 2

2 · 5 · (𝑎𝑎 + 3) 2(𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 + 3) +^

Una vez que tenemos el mismo denominador en ambos lados de la igualdad quitamos los denominadores:

10(𝑎𝑎 + 3) + 2𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 2) = 3(𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 + 3);

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

10 𝑎𝑎 + 30 + 2𝑎𝑎^2 + 4𝑎𝑎 = 3(𝑎𝑎^2 + 3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 + 6); 2 𝑎𝑎^2 + 14𝑎𝑎 + 30 = 3𝑎𝑎^2 + 15𝑎𝑎 + 18; −𝑎𝑎^2 − 𝑎𝑎 + 12 = 0;

𝑎𝑎 = 1 ±^ �^1

− 2 =^ �

− 2 =^ −^4

Ecuaciones irracionales

Son aquellas ecuaciones en las que alguna de las incógnitas se encuentra dentro del signo de la raíz.

Se resuelven aislando una por una todas las raíces en el término en el que queden en positivo y elevando al cuadrado los dos términos, para así poder eliminarlas (aislar, operar y elevar). Se repite este proceso todas las veces necesarias hasta que no quede ninguna raíz. Posteriormente se resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo 8. 𝑎𝑎 + √ 5 𝑎𝑎 + 10 = 8; √ 5 𝑎𝑎 + 10 = 8 − 𝑎𝑎; √ 5 𝑎𝑎 + 10^2 = (8 − 𝑎𝑎)^2 ;

Dividir o multiplicar por un número menor que cero (negativo) provoca un cambio de sentido en la desigualdad. Veamos algunos ejemplos concretos.

Ejemplo 9. 3 − 2 𝑎𝑎 ≥ 8 − 7 𝑎𝑎; 3 − 8 ≥ 2 𝑎𝑎 − 7 𝑎𝑎; − 5 ≥ − 5 𝑎𝑎;

Tenemos que ambos lados de la desigualdad son negativos. Si cambiamos el signo de ambos coeficientes tenemos que cambiar el signo de la desigualdad:

5 ≤ 5 𝑎𝑎; 1 ≤ 𝑎𝑎

La solución de la inecuación es que se cumple para todos los valores mayores que 1, incluido el 1.

En el recurso 2 (Inecuaciones) de la sección Recursos de interés encontrarás ejercicios de inecuaciones resueltos y podrás ver que hay más tipos de inecuaciones (en este tema solo hemos visto un ejemplo de inecuación de primer grado).

2.6. Sistemas de ecuaciones

Nos servirán para representar situaciones en una relación de igualdad y buscar soluciones que requieren de números reales. Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema de ecuaciones.

Las ecuaciones que son del tipo ax + by = c se llaman ecuaciones lineales.

œ a y b reciben el nombre de coeficientes. œ x e y son las incógnitas. œ c es el término independiente.

Ejemplo 10.

Una ecuación como x + y = 4 tiene infinitas soluciones.

Si damos a x el valor 1, podemos sustituir:

x + y = 4 1 + y = 4 → y = 4 – 1 = 3 Solución: x = 1, y = 3

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones que deben verificarse simultáneamente.

Las soluciones de un sistema son las soluciones comunes a todas las ecuaciones que lo componen.

Veamos a continuación un repaso de los distintos métodos de resolución.

Método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución seguiremos los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo 12. �^32 𝑎𝑎𝑎𝑎^ −+ 4^4 𝑦𝑦𝑦𝑦^ == 16^ −^6

Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones:

𝑎𝑎 =^16 − 2 4 𝑦𝑦

Igualamos ambas expresiones:

−6 + 4𝑦𝑦 3 =

2 ⇒^

6 ⇒ −12 + 8𝑦𝑦^ = 48^ −^12 𝑦𝑦

Sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones donde tenemos sustituida la incógnita x, obtenemos su valor:

𝑎𝑎 = −6 + 4 3 𝑦𝑦⇒ 𝑎𝑎 = −6 + 12 3 =^63 = 2

Método de reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción seguiremos los siguientes pasos:

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. Restamos ambas ecuaciones, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo 13. �^32 𝑎𝑎𝑎𝑎^ −+ 4^4 𝑦𝑦𝑦𝑦^ == 16^ −^6

Vamos a suprimir la y, ya que los coeficientes de esta incógnita en ambas ecuaciones

es el mismo y de signo contrario. Así, sumamos las dos ecuaciones:

+^32 𝑎𝑎𝑎𝑎^ −+ 4^4 𝑦𝑦𝑦𝑦^ == 16^ −^6 5 𝑎𝑎 + 0𝑦𝑦 = 10 ⇒^5 𝑎𝑎^ = 10^ ⇒^ 𝑎𝑎^ = 2

Sustituimos el valor x=2 en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos el valor de

y:

Como hemos podido observar, da igual el método escogido para resolver el sistema de ecuaciones ya que llegamos a la misma solución.

En el recurso 3 (Sistemas de ecuaciones) de la sección final Recursos de interés encontrarás ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos para practicar.