Matrices y Operaciones: Complementos de Matemática para Ingenieros (Sesión 01), Diapositivas de Matemáticas

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COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA PARA INGENIEROS

SESION 01: Matrices – Operaciones – Matrices Especiales

¿Qué tienen en común las

siguientes imágenes?

¿Por qué es importante el

orden?

¿Qué entiendes por Matriz?

SABERES PREVIOS:  Operaciones combinadas con números reales.

Al finalizar la sesión el estudiante resuelve ejercicios y problemas de contexto real, haciendo uso de la teoría de matrices de forma correcta. LOGRO DE SESIÓN

1. MATRIZ Una matriz es un arreglo rectangular de números distribuidos en filas y columnas, donde sus elementos son números reales o complejos que se encierran entre corchetes o paréntesis.

NOTA:

EJEMPLOS:

 Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas: A, B, C, etc.  Si la matriz tiene “m” filas y “n” columnas, decimos que la matriz A tiene dimensión (orden) mxn y se denota: A mxn

1.1. Representación general de una Matriz Una matriz 𝐴 de orden 𝑚 × 𝑛 (𝑚 filas y 𝑛 columnas) se representa en forma general:  Los elementos 𝑎𝑖𝑗 indican que está en la fila 𝑖 y en la columna 𝑗. Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila m Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna n

Una fábrica produce tres tipos de productos: A, B y C, que distribuye a cuatro clientes.  El primer cliente compró 8 productos de A, 4 de B y 2 de C.  El segundo cliente, compró 3 productos de A, 12 de B y ninguno de C.  El tercer cliente no compró ningún producto.  El cuarto cliente compró 6 productos de A, 7 de B y 9 de C. Construye una matriz de orden 4x3 correspondiente a estas ventas.

Solución:

La matriz 4x3, tiene 4 filas y 3 columnas 1er, cliente

A B C

2do, cliente 3er, cliente 4to, cliente

Al realizar un inventario en tres almacenes de una tienda se obtuvo la siguiente información: Almacén 1 : 12 computadoras, 8 impresoras y 5 escáneres. Almacén 2 : 20 computadoras, 18 impresoras y 9 escáneres. Almacén 3 : 2 computadoras, 3 impresoras y 15 escáneres. ¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda? Organizamos los datos en forma matricial. La fila indica el almacén y la columna el artículo. C I E Almacén 1 12 8 5 Almacén 2 20 18 9 Almacén 3 2 3 15 Total 34 29 29 En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.

Solución:

2. MATRICES ESPECIALES EJEMPLOS: 2.3. MATRIZ NULA Es una matriz que tiene todos sus elementos igual a cero. 2.4. MATRIZ TRANSPUESTA La matriz transpuesta de 𝐴, es la matriz 𝐴 𝑇 que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas. EJEMPLOS:

Sea la matriz: 𝐴 =

La matriz transpuesta de 𝐴 es: 𝐴 𝑇 =

2. MATRICES ESPECIALES EJEMPLOS: 2.5. MATRIZ CUADRADA Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. 𝐴 =

NOTA:

Una matriz cuadrada se representa en forma general de la siguiente manera: 𝐴 =

Diagonal principal

EJEMPLOS:

2.8. MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz escalar en la que todos los elementos que se encuentran en la diagonal principal son iguales a 1. 𝐴 =

2. MATRICES ESPECIALES Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son ceros. 2.9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 𝐴 =

EJEMPLOS:

2. MATRICES ESPECIALES EJEMPLOS: 2.10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son ceros. 𝐴 =

Una matriz A es simétrica si se cumple que: 𝐴 = 𝐴 𝑇 EJEMPLOS: 2.11. MATRIZ SIMÉTRICA 𝐴 =

3. OPERACIONES CON MATRICES

EJEMPLOS:

Es decir. Si A mxn y B mxn , entonces:

3. 1. ADICIÓN Y/O SUSTRACCIÓN DE MATRICES Para sumar y/o restar dos matrices, estas han de tener las mismas dimensiones y se suman o se restan elemento a elemento. 𝐴 ± 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛

𝑚×𝑛

𝑚×𝑛 Sean las matrices: y^ 𝐵^ =^

, entonces: − 2 2 1 4 − 2 − 4

Las ventas en los meses de enero y febrero de una fábrica que produce tres tipos de productos: A, B y C; distribuidas en cuatro tiendas 𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 , 𝑇 4 están dadas en forma matricial:

La matriz de ventas de enero (E) y febrero(F) es: Febrero: 9 5 2 3 8 0 0 6

Enero: A B C A B C 𝐸 + 𝐹 =

E=

F=