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DIRECCIÓN GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓN
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE
INSTITUTO SUPERIOR FUNDACIÓN SUZUKI
DIPREGEP 3882
“FUNCIONES MATEMÁTICAS… ¿PARA QUÉ SE UTILIZAN?”
La realidad de la función de las funciones lineales.
TESINA PARA OPTAR AL TÍTULO DE PROFESOR DE
MATEMÁTICA
PROFESOR CONSULTOR DE LA CÁTEDRA:
LIC. HÉCTOR CLAUDIO OGLIETTI
PROFESOR CONSULTOR DE LA CÁTEDRA:
DRA. ELIZABETH CALVO DE SUZUKI
VERÓNICA MANFREDI
SAN MIGUEL, BUENOS AIRES
10 DE MAYO DE
AGRADECIMIENTOS
Para mucho de nosotros, agradecer a todas las personas que colaboraron en forma directa e indirectamente en la realización de un proyecto personal es una grata tarea. La dificultad se presenta a la hora de no olvidar a ninguna de ellas. El orden de las menciones no es por grado de importancia, todas ellas tienen un reconocimiento y cariño particular. En primer lugar, agradecer a los profesores consultores: Dr. Elizabeth Calvo de Suzuki y el Lic. Héctor Claudio Oglietti, que con su dedicación, conocimientos, calidez y experiencia han sido una fuerte base de este trabajo. En segundo lugar, a una amiga, Verónica Valdez, que con sus consejos logró enriquecer la labor y no permitirme flaquear en algunos momentos. Y por último, a mí amada familia, Luis y Lourdes, que son mi motor principal en cualquier emprendimiento que realice.
ÍNDICE
- Resumen
- Abstract
- Descriptores
- Introducción
- Fundamentación
- Supuestos y limitaciones
- Marco histórico
- Análisis teórico
- Análisis de actividades
- Conclusiones
- Bibliografía
- Anexos
RESUMEN
En el transcurso de nuestra vida escolar, directa o indirectamente, hemos observado como docentes de todos los niveles nos han dado ejercitación en la cual la teoría de conjuntos era la base de toda la enseñanza matemática ya que poseían un valor preponderante en la educación argentina. De más esta decir, que cuando más alto era el nivel de educación, más alto era el nivel de abstracción. La realidad de la función de las funciones no es más que buscar la relación que existe entre el concepto de función, en general, y el de lineal en particular con los hechos cotidianos que nos rodean.
ABSTRACT
In the course of our school, direct life or indirectly, we have observed as teachers of all the levels they have given us practice in which the theory of sets was the base of the whole mathematical education since they were possessing a preponderant value in the Argentine education. Of more saying this one, that when more high place was the level of education, more high place was the level of abstraction. The reality of the function of the functions is not any more that to look for the relation that exists between(among) the concept of function, in general, and of linearly especially with the daily facts that surround us.
DESCRIPTORES
MATEMÁTICA.
FUNCIONES LINEALES
LEYES DE EDUCACIÓN (1996 Y 2006)
ANÁLISIS DE ACTIVIDADES.
Hacer matemática es producir actividades matemáticas que involucren conceptos ya estudiados y debería ser posible para todos y no sólo para un grupo selecto. “Hacer matemática es un trabajo del pensamiento, que construye conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.”^3 “En una casa en construcción o en el molde que dibuja una modista hay mucha matemática; se la puede identificar pero no es necesario conocerla. El albañil no sabe que está usando el teorema de Pitágoras para lograr que la esquina de la casa le quede en ángulo recto; tiene recursos prácticos, como la famosa escuadra de lados 3, 4 y 5. Y no está nada claro que construiría mejores casas si supiera demostrar el teorema de Pitágoras. Está claro que si el objetivo fuera lograr que los alumnos aprendan solamente esa matemática, es demasiado el tiempo asignado a su aprendizaje en la escuela. No se está afirmando que no sea necesario que esos aprendizajes se realicen en la escuela: se afirma que la escuela y la enseñanza de la matemática en ella no se puede justificar únicamente por esos aprendizajes. La matemática provee una manera particular de pensar y producir conocimiento; es un sistema teórico que permite conocer la realidad de una cierta manera y eso tiene un valor formativo si se piensa a la escuela como distribuidora de cultura.”^4 Es notable con que frecuencia distintos autores cuestionan o analizan el significado de estudiar matemática. En las distintas escuelas y en los distintos tiempos en los que transcurre el análisis de la importancia y la significación del estudio de la matemática, se destaca el papel fundamental del educador en un proceso de enseñanza- aprendizaje de vital importancia. (^3) http://aportes.educ.ar/matematica/nucleo-teorico/recorrido-historico/matematica-en-la-escuela-en- busca-del-sentido/tipos_de_actividades_matematic.php?page= (^4) http://aportes.educ.ar/matematica/nucleo-teorico/recorrido-historico/matematica-en-la-escuela-en-busca- del-sentido/matematica_en_la_escuela_en_bu.php?page=
FUNDAMENTACIÓN Las funciones matemáticas son utilizadas en la vida cotidiana mucho más de lo que pensamos, analizaremos esta realidad. Luego de realizar una búsqueda de los distintos temas matemáticos, se observó que uno de los más recurrentes son las funciones matemáticas. También, en la misma medida, de acuerdo con lo observado en varios textos de uso escolar, se dedujo que muchos de los ejercicios en ellos sugeridos no presentan una significación relevante para los alumnos. Esta situación, en nuestra realidad educativa, es la que lleva a que la utilización y la correcta comprensión de las funciones matemáticas en el ámbito escolar requieran de la implementación de estrategias y significación para comprender su verdadero concepto y utilización. Teniendo en cuenta que últimamente, la ley educativa tuvo grandes cambios comparemos esta situación. Como se observa en el siguiente cuadro, la educación polimodal posee fines bien marcados e interrelacionados. FINES DE LA EDUCACIÓN POLIMODAL Proporcionar una base cultural común que permita una participación conciente, crítica y transformadora en la sociedad Preparar para la continuación de los estudios Favorecer la empleabilidad 5 En el documento base de la educación polimodal se analizan una serie de fines que son importantes mencionar. A fines del siglo XX y principios del siglo XXI la información y la comunicación son claves, la globalización cumple un doble papel. Por un lado, nos integra y comunica y por el otro, hace más marcados las desigualdades sociales imperantes en el mundo. (^5) http://www.fmmeducacion.com.ar/Sisteduc/Buenosaires/Documentos/2003/Res6247/Contenidos/02Fin es.doc
Fortalecer la formación de ciudadanos y ciudadanas La ley busca fomentar el reconocimiento de “[…]distintas prácticas juveniles y transformarlas en parte constitutiva de las experiencias pedagógicas de la escolaridad para fortalecer la identidad, la ciudadanía y la preparación para el mundo adulto, entendiendo que su inclusión en la escuela hace posible la formación de sujetos libres para expresarse, actuar y transformar la sociedad[…].”^9 Vincular la escuela con el mundo del trabajo Muchos de los adolescentes de la Provincia trabajan o trabajaron gracias a la situación económica de sus propias familias y son víctimas de empleadores sin escrúpulos que se aprovechan de su edad y necesidad. La escuela de incluir el trabajo como objeto de conocimiento para que los alumnos puedan analizar situaciones problemáticas. A continuación están detallados, a modo de ejemplo, los contenidos de Introducción al álgebra y al estudio de funciones de 1º y 2º año de la Escuela Secundaria para reconocer la importancia de este tema en los comienzos de la educación secundaria y base de los próximos a lo largo de la educación formal dentro de esta área. Introducción al Álgebra y al estudio de las Funciones 1º 2º Lectura, interpretación y construcción de gráficos y tablas. Proporcionalidad. Introducción al trabajo algebraico. En este eje se trabajará con el pasaje de la aritmética al álgebra permitiendo generalizar propiedades de los números, expresar dependencia de variables en fórmulas y organizar información a través del lenguaje de las funciones. Estimar, anticipar y generalizar soluciones de problemas relacionadas con nociones de la función lineal. Realizar un uso dinámico de la proporcionalidad y sus propiedades superador de construcciones tales como “a más...” o la regla de tres simple. Representar, mediante tablas, gráficos o fórmulas, regularidades o relaciones observadas entre valores. Usar propiedades de la proporcionalidad para realizar estimaciones, anticipaciones y generalizaciones. Modelizar situaciones matemáticas y extra matemáticas mediante ecuaciones para obtener resultados que posibiliten resolverlas. Representar funciones usando, cuando sea posible, software como Graphmatica, Winplot o Geogebra. Contrastar los resultados obtenidos en el marco de los modelos matemáticos de las situaciones planteadas evaluando la pertinencia de los mismos. (^9) Dirección General de Cultura y Educación. Gobierno de la Provincia de Buenos Aires. Diseño Curricular para la Educación Secundaria.
“Es curioso, pero es tal la “desconexión” entre la sociedad y la matemática que la mayoría de la gente piensa (con razón, porque esos son los elementos con los que cuenta) que la matemática “está toda inventada” o que es algo “cuadrado” que uno va, estudia y no aplica, salvo en contadísimas ocasiones (suma, resta, división y multiplicación incluidas). Sin embargo, no sólo no es así, sino que la matemática anda por la vida como la mayoría de las ciencias: sabiendo algunas cosas, pocas, e ignorando otras, muchísimas.”^10 Esta breve cita describe una situación actual y porque no histórica de la matemática. En el cociente popular, la matemática, es muy útil pero a la hora de conectarla con la realidad suele ser muy complicada de lograrlo. Generalmente, las personas sostienen: “Yo no entiendo la matemática moderna” o “Es muy útil saber sumar, restar, multiplicar y dividir.” Con esas dos expresiones, muy común en las entrevistas con los padres de los chicos, podríamos resumir la poca conexión que le estamos brindando a una materia que sostenemos es una construcción humana. “¿Quién dijo que se sabía “todo”? El solo hecho de que “aceptemos” esto como posible demuestra qué lejos estamos del contacto con la “matemática real”, la que investiga y no sabe, la que es curiosa y atractiva, la que es seductora y útil. La que hay que mostrar, la que hay que sugerir. Y creo que ya es hora de empezar.”^11 “[…] Todo el mundo percibe de alguna manera la relación estrecha entre la matemática y la ingeniería pero hay muchos otros ejemplos simples donde imaginar la aplicación de la matemática parece más difícil. […]Uno de los avances más notables de los últimos tiempos de la aplicación de la matemática computacional es la medicina. No sospechamos en nuestra práctica diaria la cantidad de teoría matemática que está involucrada en los modernos aparatos de diagnóstico, en el diseño de cirugía ocular u otras técnicas. […]Podemos citar también sin abundar en detalles, muchos otros ejemplos: El análisis y optimización del tráfico de las redes de comunicación e Internet. La compresión y tratamiento de imágenes. Identificación de patrones en grandes masas de datos. La encriptación de datos para las transacciones seguras de bancos, tarjetas de crédito, etc. […]La matemática no es una mera especulación intelectual, sino que estudia problemas concretos cuyos resultados representan un significativo aporte al acervo cultural y tecnológico de la humanidad y revelan el papel cada vez más importante que juega esta ciencia en el mundo actual. (^10) http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-82790-2007-04-05.html (^11) http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-82790-2007-04-05.html
Nicole Oresme Apolonio de Perge "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola.” 13 La famosa obra consta de 8 libros, del 1 al 4 introduce propiedades básicas sobre las cónicas ya conocidas por Euclídes, Aristóteles y otros. Los libros 5 al 7 sí son originales, en ellos discute y muestra como muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. Proporciona proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución. Muchos de sus otros libros están perdidos y otros sólo existen en traducción arábiga. También obtuvo una aproximación de pi entre 22/7<pi<223/71 conocido por Arquímedes. Obtuvo, también, una curva fundamental llamada parábola. Sus logros en la astronomía matemática griega fueron importantes por usar modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. El trabajo de Apolonio “[…] sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII. Nicole Oresme (siglo XIV d. C.) había representado gráficamente las funciones usando las coordenadas. Oresme fue un matemático Francés nacido en el año 1325 y fallecido en el año 1382. Obispo de Lisieux, su obra teológica es poco conocida, pero en cambio dejó una extensa obra científica sobre matemáticas y astronomía y llevó a cabo numerosas traducciones críticas de las obras de Aristóteles. Aplicó el cálculo de proporciones y la geometría al estudio del movimiento y, en cosmología, rebatió los argumentos aristotélicos en contra de la posibilidad de rotación de la Tierra sobre su eje. Por último RENE DESCARTES nacido el 31 de Marzo de 1596 en La Haye, Touraine, Francia y fallecido el 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, Suecia, unificó ambas consideraciones, las mejoró y las amplió y a partir de entonces tenemos las representaciones gráficas y los ejes (^13) www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Rodriguez_Patricia/proyecto%20final/historia.htm
Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz cartesianos. Usó las coordenadas para representar los puntos. En realidad cabe destacar que el nombre de ejes cartesianos no se debe a Descartes, sino a un matemático posterior llamado: Maurice, FRÉCHET quién las llamó así en su honor. Fréchet nacido en Maligny en el año 1878 y fallecido en París, 1973. En sus estudios sobre los espacios abstractos describió el llamado espacio de Fréchet, que es un espacio localmente convexo y metrizable completo. Reviste especial importancia su desarrollo axiomático del cálculo de probabilidades. Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y figuras tridimensionales en una gráfica. Dibujaba la gráfica marcando unidades en una línea horizontal (eje x) y una línea vertical (eje y); así, cualquier punto de la gráfica podía describirse con dos números. El primer número representaba una distancia en el eje x y el otro número representaba una distancia en el eje y. Aunque conservaba las reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geometría analítica. El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometría analítica como un apéndice” 14 En distintas publicaciones, el término función, aparece utilizado o introducido en la historia de distintas maneras y por distintos exponentes pero todas coinciden en destacar la importancia de Descartes en este tema. “[ …] Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune- Dirichlet (1805-1859), quien escribió: (^14) www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Rodriguez_Patricia/proyecto%20final/historia.htm
Observaciones: En una función f: A→ B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B. Un Elemento y E B puede: No ser imagen de ningún elemento x E A. Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1^ de una función f puede no ser una función. Formas de expresión de una función Mediante el uso de tablas: Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A” 16 Recordemos entonces: Las funciones se utilizan para describir distintos tipos de fenómenos y, en el caso de la matemática, para expresar relaciones. Se representan en ejes cartesianos ortogonales. Encontramos dos variables, una dependiente (Y) y otra independiente (X). Para que esta relación determinada sea considerada función debe cumplirse que a cada valor de “X” le corresponde un único valor de “Y”. Generalmente se designan con la letra f pero pueden utilizarse otras letras (g, h, etc.) Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente aumenta la dependiente y decreciente cuando al aumentar la variable independiente disminuye la dependiente. Podemos encontrar funciones con tramos crecientes y decrecientes. La función tiene máximos y mínimos, pueden ser relativos o absolutos. Las funciones pueden ser continuas o discontinuas. Una función es continua cuando: 17 (^16) http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml (^17) http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/id381.htm
X Y
Una función es discontinua cuando alguno de los puntos anteriores no se cumple. Se llama discontinuidad esencial cuando no existe el límite. Se llama discontinuidad evitable cuando f (x) ≠ f (a) Se llama dominio de una función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se llama imagen de una función al conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. El conjunto de ceros o raíces es el compuesto por todos los valores que cumplen f (x) = 0 El conjunto de positividad es aquel en donde f (x) > 0 El conjunto de negatividad es aquel en donde f (x) < 0 Las funciones se pueden clasificar en: inyectivas, suryectivas o sobreyectivas y biyectivas. Una función es inyectiva cuando a distintos elementos del dominio tienen distinta imagen. Una función es sobreyectiva o suryectiva cuando todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva. Función lineal “Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Definición f: R —> R / f(x) = a. x + b donde a y b son números reales, es una función lineal Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5, g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4” 18 Llamamos función lineal a una ecuación del tipo y = mx +b (^18) http://www.x.edu.uy/lineal.htm
“ […] Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero. Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta. Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5, g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11 Si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13 Si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x) , se incrementa en 2 unidades. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7 Si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x) , disminuye en 3 unidades. h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4 Si x= 98, entonces h(98) = 4 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x) , NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.
Veamos otro ejemplo: […]Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón. Dominio x Codominio y 4 1 7 2 13 4 16 9 Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1 Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto. […] RESUMEN : Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresión analítica es f: R —> R / f(x) = a .x+ b con a y b números reales. La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b .”^20 “ […] Las funciones se denominan también transformaciones o aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas. Si el conjunto Y 1 es un subconjunto propio de Y (esto es, al menos una y pertenece a Y pero no a Y 1 ), entonces F es una función, transformación o aplicación del dominio X 1 en Y ; si Y 1 = Y, F es una función, transformación o aplicación de X 1 sobre Y.”^21 “[…] Aplicaciones de las funciones reales Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. (^20) http://www.x.edu.uy/lineal.htm (^21) es.encarta.msn.com/encyclopedia_761575032/ Función _( matemáticas ).html –
