MATEMATICA DISCRETA (Ejercicios y problemas), Tesis de Matemática Discreta

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NOTAS DEL CURSO

MATEM ´ATICA DISCRETA

(Ejercicios y problemas)

Pascual Jara Mart´ınez

Departamento de ´Algebra. Universidad de Granada

Granada, 2005

Indice general

Cap´ıtulo I

Nociones b´asicas

1. Introducci´on intuitiva a la teor´ıa de conjuntos.................. 1
2. Algebra de proposiciones´.............................. 7
3. Aplicaciones...................................... 9
4. Relaciones de equivalencia y de orden....................... 13
5. Cuantificadores.................................... 16
6. M´etodos de demostraci´on.............................. 17

1. Introducci´on intuitiva a la teor´ıa de conjuntos

Ejercicio. 1.1.

Preparaci´on para probar la f´ormula del binomio de Newton:

Se define el n ´umero combinatorio

(n i

n(n− 1 )···(n−i+ 1 ) i(i− 1 )··· 2 · 1 =^

n! i! (n−i)! , para^1 ≤^ i^ ≤^ n^ y^

(n 0

Probar que se verifica la igualdad siguiente:

n

i

n

i + 1

n + 1

i + 1

2 CAP. I. NOCIONES B ASICAS´

SOLUCI ON´. (

n i

( (^) n i+ 1

= (^) i! (nn−!i)! + (^) (i+ 1 )! (nn−!(i+ 1 ))!

n!(i+ 1 ) (i+ 1 )! (n−i)! +^

n!(n−i) (i+ 1 )! (n−i))!

n!(i+ 1 )+n!(n−i) (i+ 1 )! (n−i)!

n!(n+ 1 ) (i+ 1 )! (n−i)!

(n+ 1 )! (i+ 1 )! ((n+ 1 )−(i+ 1 ))!

(n+ 1 i+ 1

Ejercicio. 1.2.

¿Cu´antos elementos tiene el conjunto { 1 , 2 , { 1 , 2 }}.

SOLUCI ON´. Tiene tres elementos; estos son: 1, 2 y { 1 , 2 }. 

Ejercicio. 1.3.

Dada la figura siguiente:

describir mediante una f´ormula, cada una de las regiones del dibujo. Por ejemplo la parte

coloreada es A ∩ B ∩ C.

SOLUCI ON´. Veamos diferentes regiones:

14 de enero de 2007 Curso 2006–

4 CAP. I. NOCIONES B ASICAS´

es B ∩ C \ A = A ∩ B ∩ C.

es C \ (A ∪ B) = A ∩ B ∩ C.

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SEC. 1. INTRODUCCI ON INTUITIVA A LA TEOR´ ´IA DE CONJUNTOS 5

es B \ (A ∪ C) = A ∩ B ∩ C.

es A \ (B ∪ C) = A ∩ B ∩ C.

Matem´atica Discreta P. Jara

SEC. 2. ´ALGEBRA DE PROPOSICIONES 7

2. Algebra de proposiciones´

Ejercicio. 2.1.

Probar que las proposiciones ( A ∧ B ) ∨ C y ( A ∨ C ) ∧ ( B ∨ C ) son equivalentes, y que como

consecuencia para tres subconjuntos X 1 , X 2 y X 3 de un conjunto dado se tiene la igualdad:

(X 1 ∩ X 2 ) ∪ X 3 = (X 1 ∪ X 3 ) ∩ (X 2 ∪ X 3 ).

SOLUCI ON´.

( A ∧ B ) ∨ C ⇔ ( A ∨ C ) ∧ ( B ∨ C )

V V V V V V V V V V V V V

F F V V V V F V V V V V V

V F F V V V V V V V F V V

F F F V V V F V V V F V V

V V V V F V V V F V V V F

F F V F F V F F F F V V F

V F F F F V V V F F F F F

F F F F F V F F F F F F F

Dado x ∈ (X 1 ∩ X 2 ) ∪ X 3 , tenemos:

x ∈ (X 1 ∩ X 2 ) ∪ X 3 ⇔(x ∈ X 1 ∩ X 2 ) ∨ (x ∈ X 3 ) ⇔[(x ∈ X 1 ) ∧ (x ∈ X 2 )] ∨ (x ∈ X 3 ) ⇔[(x ∈ X 1 ) ∨ (x ∈ X 3 )] ∧ [(x ∈ X 2 ) ∨ (x ∈ X 3 )] ⇔(x ∈ X 1 ∪ X 3 ) ∧ (x ∈ X 2 ∪ X 3 ) ⇔x ∈ (X 1 ∪ X 3 ) ∩ (X 2 ∪ X 3 )



Ejercicio. 2.2.

Probar que para dos subconjuntos X 1 y X 2 de un conjunto dado X se verifica:

(X 1 ∩ X 2 ) ∪ X 1 = X 1.

SOLUCI ON´. Podemos proceder probando la equivalencia (A ∧ B) ∨ A ⇔ A, y a partir de aqu´ı,

el resultado se sigue f´acilmente.

(A ∧ B) ∨ A ⇔ A V V V V V V V F F V F F V F V F F V V V V F F F F F V F 1 2 1 3 1 = 1



Matem´atica Discreta P. Jara

8 CAP. I. NOCIONES B ASICAS´

Ejercicio. 2.3.

Probar que para dos subconjuntos X 1 y X 2 de un conjunto dado X se verifica:

(X 1 ∪ X 2 ) ∩ X 1 = X 1.

SOLUCI ON´. Procedemos como sigue:

(X 1 ∪ X 2 ) ∩ X 1 = (X 1 ∩ X 1 ) ∪ (X 2 ∩ X 1 )

= X 1 ∪ (X 2 ∩ X 1

= X 1.

Observar que hemos utilizado el resultado contenido en el (Ejercicio 2.2.). 

Ejercicio. 2.4.

Si A, B y C son proposiciones, ¿son equivalentes las siguientes proposiciones?:

(1) A ⇒ B y B ⇒ A,

(2) (A ⇒ B) ⇒ C y A ⇒ (B ⇒ C),

(3) ¬(A ⇒ B) y B ⇒ A,

(4) 6 = A ⇒6= B y B ⇒ A,

(5) 6 = (A ⇒ B) y 6 = A ⇒6= B.

SOLUCI ON´. Hacer 

Ejercicio. 2.5.

Si A, B y C son proposiciones, ¿son tautolog´ıas las siguientes proposiciones?:

(1) A ∧ B ⇒ A ∨ C,

(2) A ∨ B ⇒ A ∧ C.

SOLUCI ON´. Hacer 

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10 CAP. I. NOCIONES B ASICAS´

las cuales las pod´eis probar mediante el uso de tablas de verdad.

Primera igualdad. Hacer una representaci´on gr´aficas para esta igualdad.

Para una demostraci´on por elementos podemos proceder como sigue:

(x, y) ∈ X 1 × Y ∩ X 2 × Y ⇔ ((x, y) ∈ X 1 × Y ) ∧ ((x, y) ∈ X 2 × Y ) ⇔ ((x ∈ X 1 ) ∧ (y ∈ Y )) ∧ ((x ∈ X 2 ) ∧ (y ∈ Y )) ⇔ (x ∈ X 1 ) ∧ (x ∈ X 2 ) ∧ (y ∈ Y ) ⇔ ((x ∈ X 1 ) ∧ (x ∈ X 2 )) ∧ (y ∈ Y ) ⇔ (x ∈ X 1 ∩ X 2 ) ∧ (y ∈ Y ) ⇔ (x, y) ∈ (X 1 ∩ X 2 ) × Y.

Ejercicio. 3.2.

Sean X e Y dos conjuntos y X ′, Y ′^ subconjuntos de X e Y respectivamente. Demostrar que se

verifica X ′^ × Y ′^ = (X ′^ × Y ) ∪ (X × Y ′)

Nota: hacer previamente una representaci´on gr´afica.

SOLUCI ON´. La representaci´on gr´afica es la siguiente:

Y

X

X ′

Y ′





 



 







 





HH

HH HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH

HH H HH

H HH

H HH

H HH

H

HH

HH HH

HH

HH

HH

HH HH

Hemos representado en color azul el subconjunto X ′×Y ′^ y su complemento lo hemos pintado

en rojo. Es claro que esta regi´on es la uni´on (X ′^ × Y ) ∪ (X × Y ′).

Una demostraci´on por elementos es la siguiente, en la que recordemos, que si (x, y) ∈ X ′^ ×Y ′,

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SEC. 3. APLICACIONES 11

entonces (x, y) ∈ X × Y.

(x, y) ∈ X ′^ × Y ′ ⇔ (x, y) ∈/ X ′^ × Y ′ ⇔ ¬((x, y) ∈ X ′^ × Y ′) ⇔ ¬((x ∈ X ′) ∧ (y ∈ Y ′)) ⇔ (¬(x ∈ X ′)) ∨ (¬(y ∈ Y ′)) ⇔ (x ∈/ X ′) ∨ (y ∈/ Y ′) ⇔ (x ∈ X ′) ∨ (y ∈ Y ′) ⇔ ((x ∈ X ′) ∧ (y ∈ Y )) ∨ ((x ∈ X ) ∧ (y ∈ Y ′)) ⇔ ((x, y) ∈ X ′^ × Y ) ∨ ((x, y) ∈ X × Y ′) ⇔ (x, y) ∈ (X ′^ × Y ) ∪ (X × Y ′)

Ejercicio. 3.3.

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on y sean A, B ⊆ X subconjuntos de X.

(1). Probar que f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).

(2). ¿Qu´e relaci´on existe entre f (A ∩ B) y f (A) ∩ f (B)?

SOLUCI ON´. Parte 1. Tenemos las siguientes equivalencias:

y ∈ f (A ∪ B) ⇔ ∃x ∈ A ∪ B, f (x) = y ⇔ (∃x ∈ A, f (x) = y) ∨ (∃x ∈ B, f (x) = y) ⇔ (y ∈ f (A)) ∨ (y ∈ f (B)) ⇔ y ∈ f (A) ∪ f (B).

Parte 2. Es claro que se puede probar la inclusi´on f (A∩B) ⊆ f (A) ∩ f (B) siguiendo las siguien-

tes implicaciones:

y ∈ f (A ∩ B) ⇔ ∃x ∈ A ∩ B, f (x) = y ⇐ (∃x ∈ A, f (x) = y) ∧ (∃x ∈ B, f (x) = y) ⇔ (y ∈ f (A)) ∧ (y ∈ f (B)) ⇔ y ∈ f (A) ∩ f (B).

En cambio la otra inclusi´on no es cierta; basta considerar el siguiente ejemplo:

X = {a, b}, Y = { 1 }, f : X −→ Y , f (a) = 1 = f (b)

Es claro que si A = {a} y B = {b}, entonces se verifica:

f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ 6 = { 1 } = f (A) ∩ f (B).

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SEC. 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y DE ORDEN 13

4. Relaciones de equivalencia y de orden

Ejercicio. 4.1.

Se considera el conjunto N \ { 0 } y la relaci´on aRb si blog(a)c = blog(b)c.

(1) Demuestra que R es una relaci´on de equivalencia en N \ { 0 }.

(2) Describe el conjunto cociente.

SOLUCI ON´. Tenemos que blog(a)c es la parte entera del n ´umero log(a), utilizando la base de-

cimal.

(1) Es claro.

(2) Cada clase est´a determinada por un n ´umero natural, as´ı la clase determinada por 0 es: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }, la determinada por 1 es: { 10 , 11 ,... , 98 , 99 }, etc.

Ejercicio. 4.2.

Se considera el conjunto N \ { 0 } y la relaci´on aRb si blog 2 (a)c = blog 2 (b)c.

(1) Demuestra que R es una relaci´on de equivalencia en N \ { 0 }.

(2) Describe el conjunto cociente.

SOLUCI ON´. Tenemos que blog(a)c es la parte entera del n ´umero log(a), utilizando la base de-

cimal.

(1) Es claro.

(2) Cada clase est´a determinada por un n ´umero natural, as´ı la clase determinada por 0 es: { 1 }, la determinada por 1 es: { 2 , 3 }, la determinad por 2 es: { 4 , 5 , 6 , 7 }, etc.

Ejercicio. 4.3.

Se considera el conjunto N \ { 0 } y la relaci´on aRb si blog(a)c ≤ blog(b)c. Demuestra que R no

es una relaci´on de orden al no verifica la propiedad antisim´etrica.

SOLUCI ON´. Es claro que blog( 1 )c = blog( 2 )c, luego 1R2 y 2R1, pero como 1 6 = 2, resulta que R

no verifica la propiedad antisim´etrica. 

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14 CAP. I. NOCIONES B ASICAS´

Ejercicio. 4.4.

Dada una relaci´on R en un conjunto X decimos que R verifica la propiedad circular si

si aRb y bRc, entonces cRa, para cada a, b, c ∈ X.

Demuestra que R es una relaci´on de equivalencia en X si y solo si R verifica las propiedades

reflexiva y circular.

SOLUCI ON´. Hacer. 

Ejercicio. 4.5.

Dado un conjunto X y un subconjunto A ⊆ X , se define una relaci´on en P(X ) mediante:

BRC si B ∩ A = C ∩ A, para cada B, C ∈ P(X ).

(1) Demuestra que R es una relaci´on de equivalencia en P(X );

(2) Demuestra que existe una biyecci´on entre P(X )/R y P(A).

SOLUCI ON´. Hacer 

Ejercicio. 4.6.

En el conjunto Z se define la relaci´on

aRb si a^2 − b^2 = a − b, para cada a, b ∈ Z.

(1) Demuestra que R es una relaci´on de equivalencia,

(2) Determina la clase de equivalencia de cada elemento a ∈ Z,

(3) Describe el conjunto cociente.

SOLUCI ON´. Hacer 

Ejercicio. 4.7.

Dado un conjunto X y dos relaciones R y S en X , se define una nueva relaci´on en X mediante:

a(R ◦ S)b si existe x ∈ X tal que aRx y xSb.

(1) Demuestra que una relaci´on R verifica la propiedad transitiva si y solo si R ◦ R ⊆ R,

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