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2. Transforme las tasas indicadas:
n. Tasa vencida Tasa nominal Tasa efectiva
A 10.50% a.c.s a.c.m bimestre
B 4.5% bimestral a.c.c semestral
C 10,20% a.c.t a.c.t Cuatrimestral
D 30 % anual a.c.b Trimestral
a.-
𝑚 1
𝑚 2
2
12
2 / 12
j = 0.105/
j = 0.0525 semestral
𝑝 1
𝑝 2
2
6
2 / 6
b.-
i = 4,5% bimestral - a.c.c.
j = im
j = 0,045 *
j = 0,27a.c.b
𝑚 1
𝑚 2
6
3
6 / 3
i = 4,5% bimestral - semestral
𝑝 1
𝑝 2
6
2
6 / 2
c.- 10.20% a.c.t – a.c.t
i = 0,1020/
i = 0,0255 trimestral
𝑝 1
𝑝 2
4
3
4 / 3
d.- 30 % anual – a.c.b
𝑚
6
6
1
6
30 % anual – trimestral
𝑝 1
𝑝 2
1
4
1 / 4
3. Katherine Villacis necesita reunir $120.000 en 4 años y con este propósito realiza depósitos
iguales cada fin de año en un banco que abona el 6% de intereses. Transcurridos 2 años, el
banco eleva la tasa al 8%. Hallar el valor de los depósitos anuales, antes y después de que el
banco elevara la tasa de interés.
n = 12 meses
R = 400 mensuales
A.C.S.V
𝑆 = 𝑅 [
𝑛
]
𝑆 = 400 [
12
]
12
5. Un padre de familia desea reunir para dentro de diez años la suma de $X para garantizar los
estudios universitarios de su hijo, por lo cual deposita en una institución financiera que reconoce
un interés del 24% a.c.m, $ 5 0 00 cada año, y en los años 3 y 6 deposita adicionalmente $ 6.000 y
$ 8.000 respectivamente.
A.C.G.V.
i = 0,24/12 = 0,02 mensual
𝑝 1
𝑝 2
12
1
12
R = 5000 anual
n = 10 años
𝑆 = 𝑅 [
𝑛
]
𝑆 = 5000 [
10
]
7
4
6. Juan solicita un préstamo bancario para un proyecto inmobiliario a 4 años plazo, pagando
cuotas bimestrales a una tasa de interés del 14%. Para seguridad del crédito el banco le
entregara $150.000 ahora y $100.000 después de 1 año y medio. Determine la cuota mensual a
cancelar.
N = 24 bimestres
i = 0.14 anual
A.C.G.V
𝑝 1
𝑝 2
1
6
1 / 6
− 9
− 9
𝐴 = 𝑅 [
−𝑛
]
232. 156 , 82 = 𝑅 [
− 24
]
7. Una empresa necesitará reponer una máquina dentro de 6 años, la cual, en ese momento
tendrá un valor de mercado de $ 250.000. De acuerdo a estudios de mercado realizados, se
espera que la máquina cueste alrededor de $ 850.000 y se decide hacer un fondo para cubrir el
costo. Si se puede obtener una tasa de interés del 14% a.c.s, ¿Cuánto se tiene que depositar cada
semestre para tener el dinero para reponer la máquina al final de su vida útil?
S = 850.000 – 25 0.
S = 600.
N = 6*2 = 12 semestres
i = 0.14/2 = 0,07 semestral
A.C.S.V.
R
R
R
R
R
X
𝑋 = 𝐶𝑈𝑂𝑁𝑇𝐴 𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴 + 𝑅 [
−𝑛
]
𝑋 = 20. 000 + 1. 700 [
− 36
]
C. tercera opción
R = 2000 mensual
N = 42 meses
A.C.S.V
0
1 3
42
R
...
...
41
R
R
R
2
R
X
𝑋 = 𝑅 [
−𝑛
]
𝑋 = 2000 [
− 42
]
La oferta más ventajosa en la PRIMERA
10. Pedro Fernández se ganó $ 500.000 en una lotería. Piensa depositar este dinero en una
inversión en una institución financiera que le da el 28 % a.c.s e ir retirando $ 5000 mensuales,
con el fin de pasar un tiempo sin trabajar, hasta que el dinero se le agote. ¿Cuántos retiros
podrá efectuar?
A = 500. 000
i = 0,28/2 =0,14 semestral
𝑝 1
𝑝 2
2
12
2 / 12
R = 500 mensuales
20000
A.C.G.V
𝐴 = 𝑅 [
−𝑛
]
log ( 1 −
log
log ( 1 − 500. 000 ∗
log( 1 + 0. 022078 )
log
log
No existen logaritmos de números negativos, por lo que retirando 5000 mensuales el dinero no se
agota ya que los intereses son más altos de la cuota retirada cada mes.
11. Cada trimestre el señor García deposita $ 320 en su cuenta de ahorros, la cual gana un
interés del 3,8% trimestral. Después de tres años, el señor García suspende los depósitos
trimestrales y el monto obtenido en ese momento pasa a un fondo de inversión que da el 22%
a.c.m. Si el dinero permaneció 2 años en el fondo de inversión, obtenga el monto final y el interés
total ganado.
R = 320 trimestral
i = 3,8% trimestral
n = 3*4 = 12 trimestres
j = 22% a.c.m
i = 0,22/12 = 0.
t = 2 años
A.C.G.V
R
R
R
R R
S
3 AÑOS
5 AÑOS
S
𝑆 = 𝑅 [
𝑛
]
𝑆 = 320 [
12
]
𝑛
24
Interés total = 7.351,88 – 320*
Interés total = 3.511,
i = 0,102/6 = 0.017 bimestral
0
1 3
R
...
...
13
R
R
R
2
R
X
R
25000 35.
A.C.G.V
𝐴 = 𝑅 [
−𝑛
]
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑟𝑒𝑑𝑖𝑡𝑜 = 4000 [
− 14
] + 25. 000
− 3
− 4
14. Un documento ofrece pagos trimestrales de $ 30.000, iniciando el primer pago el 20 de abril de 1995
y terminando el 20 de abril de 2006. Si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos
trimestrales de $X comenzando el 20 de abril de 1997 y terminando el 20 de octubre de 2001. Hallar el
valor de la cuota, suponga una tasa del 24% a.c.t.
30
20-04-
1 2 3
30 30 30...........
...........
43 44
30 30
0
20-04-
A
20 - abril – 1995 al 20 abril 2006
R = 30.
n = 11 años *4 = 44 trimestres
i = 0.24/4 = 0.06 trimestral
𝐴 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 𝑖
)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 = 30. 000 [
1 − ( 1 + 0. 06 )
− 44
- 06
] + 30. 000
𝐴 = 461. 495 , 46 + 30. 000
𝐴 = 491. 495 , 46
Valor de la deuda 20-abril- 1997
t = 2*4 = 8 trimestres
𝑀 = 𝐶( 1 + 𝑖)
𝑡
𝐴 1 = 491. 495 , 46 ( 1 + 0. 06 )
8
𝐴 1 = 793. 369 , 09
20 - abril – 1997 al 20 oct 2001
A = 793.369,
n = 4.5 años *4 = 18 trimestres
i = 0.24/4 = 0.06 trimestral
R
20-04-
1 2 3
R R R...........
...........
17 18
R R
0
20-10-
763.369,
𝐴 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 𝑖
)
−𝑛
𝑖
]
- 369 , 09 = 𝑅 [
1 − ( 1 + 0. 06 )
− 18
- 06
] + 𝑅
- 369 , 09 = 11. 8276 𝑅
𝑅 = 72. 349 , 26
15. Los dineros de un contrato de arrendamiento por un año, que empieza hoy, con canon de $ 300
mensuales anticipados, los depósitos en una corporación que ofrece el 2,5% mensual. A) Hallar el
acumulado obtenido, seis meses después de vencido el contrato. B) Si el arrendatario quisiera pagar hoy
el total de dicho contrato, y se le reconociera el 2,2% mensual por pronto pago. ¿Cuánto debe cancelar
hoy?
R = 300 mensuales anticipados
i = 2,5% mensual
i = 2,2% pronto pago
n = 12 meses
𝑆 = 𝑅( 1 + 𝑖) [
𝑛
]
[
12
]
Monto después de 6 meses
6
- 722 , 10 = 44. 730 , 26 [
1 − ( 1 + 0. 025 )
−𝑛
- 025
]
log ( 1 −
log( 1 + 𝑖)
log ( 1 −
log
17. Tengo una deuda de $ 10.000 adquirida al 6% bimestral y la cual debo pagar con 24 cuotas
trimestrales iguales y vencidas, pero poseo dos bienes A y B que puedo arrendar desde hoy. Si espero
que el arriendo del bien A me dé el 60% del valor de la cuota y el bien B lo restante, ¿cuál debe ser el
valor del arriendo mensual anticipado de cada bien, de tal manera que se paguen las cuotas, si los dineros
obtenidos los deposito en una corporación que reconoce el 1,5% mensual?
A = 10.
i = 6% bimestral
n = 24 trimestres
𝑝 1
𝑝 2
6
4
6 / 4
- 000 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 0. 09133
)
− 24
- 09133
]
𝑅 = $1041, 105 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
Calculo arriendo al 1,5% mensual
𝑆 = 𝑅( 1 + 𝑖) [
𝑛
]
[
3
]
Arriendo A = 0,60*336.83 = $202,
Arriendo B = 0.40*336,83 = $134,
18. Al comprar un artículo se quedan debiendo $ 3.000.000, para cancelar en 5 años con cuotas
mensuales iguales en el primer año; cuotas bimestrales iguales durante los 2 años siguientes y con
cuotas trimestrales iguales para los dos últimos años. Si las cuotas bimestrales son el 10% más que
las cuotas mensuales y las cuotas trimestrales son $ 700 más que las cuotas bimestrales, halle el valor
de las cuotas a pagar para un interés de financiación del 9,52% tetra mensual?
0
1
12 39
R
R
R
36
R
A
R
A
R
.
. 14
A
A = 300.
i = 9,52% tetramensual
N1 = 12 cuotas mensuales
R1 = R
( 1 + 𝑖 1
)
𝑝 1
=
( 1 + 𝑖 2
)
𝑝 2
( 1 + 0 , 0952
)
3
=
( 1 + 𝑖
)
12
𝑖 = ( 1 + 0 , 0952 )
3 / 12
− 1
𝑖 = 0. 02299 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
𝐴 = 𝑅 [
1 − ( 1 + 𝑖)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 1 = 𝑅 [
1 − ( 1 + 0. 02299 )
− 12
- 02299
]
𝐴 1 = 𝑅
[
- 38
]
N2 = 12 cuotas bimestrales
R 2 = 1,10R
( 1 + 𝑖 1
)
𝑝 1
=
( 1 + 𝑖 2
)
𝑝 2
( 1 + 0 , 0952
)
3
=
( 1 + 𝑖
)
6
𝑖 = ( 1 + 0 , 0952 )
3 / 6
− 1
𝑖 = 0. 04652 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
𝐴 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 𝑖
)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 2 = 1. 10 𝑅 [
1 − ( 1 + 0. 04652 )
− 12
- 04652
]
𝐴 2 = 𝑅
[
- 9438
]
N3 = 8 cuotas trimestrales
R3 = 1,10R + 700
( 1 + 𝑖 1
)
𝑝 1
=
( 1 + 𝑖 2
)
𝑝 2
( 1 + 0 , 0952
)
3
=
( 1 + 𝑖
)
4
15. 000 = 𝑅[ 74 , 4518 ] + 3640 , 74 + 131 , 82 𝑅
20. Al comprar mercancías se quedan debiendo $ 12.000.000, para cancelarlas en 3 años, por cuotas
mensuales iguales el primes año, cuotas bimestrales iguales durante el segundo año y con cuotas
trimestrales iguales en el tercer año. Si las cuotas bimestrales son el doble de las cuotas mensuales,
y las cuotas trimestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales, calcular el valor de las cuotas,
sí la tasa de financiación es del 2% mensual.
0
1
12 27
R
R
R
24
R
A
R
A
R
.
. 14
A
A = 12.000.
i = 2% mensual
N1 = 12 cuotas mensuales
R1 = R
𝐴 = 𝑅 [
1 − ( 1 + 𝑖)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 1 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 0. 02
)
− 12
- 02
]
𝐴 1 = 𝑅[ 10. 5753 ]
N2 = 6 cuotas bimestrales
R 2 = 2R
( 1 + 𝑖 1 )
𝑝 1
= ( 1 + 𝑖 2 )
𝑝 2
( 1 + 0 , 02 )
12
= ( 1 + 𝑖)
6
𝑖 =
( 1 + 0 , 02
)
12 / 6
− 1
𝑖 = 0. 0404 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
𝐴 = 𝑅 [
1 − ( 1 + 𝑖)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 2 = 2 𝑅 [
1 −
( 1 + 0. 0404
)
− 6
- 0404
]
𝐴 2 = 𝑅[ 10. 4706 ]
N3 = 4 cuotas trimestrales
R3 = R/
( 1 + 𝑖 1 )
𝑝 1
= ( 1 + 𝑖 2 )
𝑝 2
( 1 + 0 , 02 )
12
= ( 1 + 𝑖)
4
𝑖 =
( 1 + 0 , 02
)
12 / 4
− 1
𝑖 = 0. 061208 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝐴 = 𝑅 [
1 − ( 1 + 𝑖)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 3 = (
𝑅
3
) [
1 −
( 1 + 0. 061208
)
− 4
- 061208
]
𝐴 3 = 1. 15184 𝑅
- 000 = 𝐴 1 + 𝐴 2 ( 1 + 0. 02 )
− 12
− 24
- 000 = 10. 5753 𝑅 + 10. 4706 𝑅( 1 + 0. 02 )
− 12
− 24
- 000 = 10. 5753 𝑅 + 8. 25599 𝑅 + 1. 09186 𝑅
- 000 = 19. 9231 𝑅
𝑅 = 60. 231 , 59 𝑀𝐸𝑁𝑆𝑈𝐴𝐿
𝑅 2 = 2 ∗ 60. 231 , 59 = 120. 463 , 18 𝐵𝐼𝑀𝐸𝑁𝑆𝑈𝐴𝐿
𝑅 3 = 60. 231 , 59 / 3 = 20. 077 , 19 𝑇𝑅𝐼𝑀𝐸𝑆𝑇𝑅𝐴𝐿
21.- Una ley de incentivos para la agricultura permite a un campesino adquirir equipos por
valor de $80.000, para pagarlos dentro de 2 años, con 8 cuotas semestrales. Si la ley fija el 6%
de interés para estos préstamos, hallar el valor de las cuotas semestrales.
Préstamo = 80.
N = 8 cuotas semestrales
i = 6% anual
( 1 + 0 , 06 )
1
= ( 1 + 𝑖)
2
𝑖 = ( 1 + 0 , 06 )
1
2 − 1
𝑖 = 0. 029563 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝐴 = 80. 000 ( 1 + 0. 029563 )
3
0
A
5
R
4
500000
10
R
500000
( 1 + 𝑖 1 )
𝑝 1
= ( 1 + 𝑖 2 )
𝑝 2
( 1 + 0. 04
)
5
=
( 1 + 𝑖
)
1
𝑖 = 0. 21665 𝑐𝑎𝑑𝑎 5 𝑎ñ𝑜𝑠
- 869 , 84
0 , 21665
- 000
A
A
i
R
A
24. Financiar $ 10.000 a tres años en cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de 8
meses y dos pagos adicionales por valor de $1.500 cada uno en los meses 15 y 26, sabiendo que la tasa de
interés es del 30% anual durante el primer año y del 35% anual de ahí en adelante.
10000
8 15
26 43
R
R R R
1500 1500
12
R
30% 35%
A
7
A
Para una tasa del 3% anual, se tienen 32 cuotas, se calculara el valor actual:
( 1 + 𝑖 1
)
𝑝 1
=
( 1 + 𝑖 2
)
𝑝 2
( 1 + 0 , 35 )
1
= ( 1 + 𝑖)
12
𝑖 = ( 1 + 0 , 35 )
1 / 12
− 1
𝑖 = 0. 02532 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
𝐴 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 𝑖
)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 1 = 𝑅 [
1 − ( 1 + 0. 02532 )
− 31
- 02532
] + 1500 ( 1 + 0. 02532 )
− 3
− 14
𝐴 1 = 𝑅[ 21. 3019 ] + 2. 448 , 56
( 1 + 𝑖 1
)
𝑝 1
=
( 1 + 𝑖 2
)
𝑝 2
( 1 + 0 , 30
)
1
=
( 1 + 𝑖
)
12
𝑖 = ( 1 + 0 , 30 )
1 / 12
− 1
𝑖 = 0. 0221 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
𝐴 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 𝑖
)
−𝑛
𝑖
]
𝐴 2 = 𝑅 [
1 −
( 1 + 0. 0221
)
− 5
- 0221
]
𝐴 2 = 4. 6849 𝑅
- 000 = 𝐴 1 ( 1 + 0. 0221 )
− 12
− 7
- 000 = (𝑅[ 21. 3019 ] + 2. 448 , 56 )( 1 + 0. 0221 )
− 12
− 7
- 000 = 16. 3869 𝑅 + 1883 , 61 + 4. 02 𝑅
8116 , 39 = 20. 4069 𝑅
𝑅 = 397. 72
25. Patricio tiene una deuda de $45.000 a cancelarse mediante pagos mensuales durante 3 años con una
tasa del 12,5% a.c.t. Al finalizar el primer año hace un pago adicional de $5.500. A continuación acorta
el periodo de pago en 1 año y renegocia el préstamo, sin modificar la tasa de interés.
a) Calcule el valor de las cuotas R1 y R2.
Situación inicial
A =45.
n = 36 meses
i = 0,125/4 = 0,03125 trimestral
( 1 + 𝑖 1
)
𝑝 1
=
( 1 + 𝑖 2
)
𝑝 2
( 1 + 0. 03125 )
4
= ( 1 + 𝑖)
12
𝑖 = 0. 01031 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
A= 45000
R R R
R R
1502 , 65
1 ( 1 0 , 01013 )
- 000 * 0 , 01031
1 ( 1 )
1 ( 1 )
1
36
R
R
i
Ai
R
i
i
A R
n
n
