MATEMÁTICA FINANCIERA MATERIAL DIDÁCTICO, Apuntes de Administración de Empresas

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MATES FINANCIERA (UB)

MATES FINANCIERAS TODO EL CURSO

PROF. CURSO 13- 14

MATEMÁTICA FINANCIERA

MATERIAL DIDÁCTICO

González-Vila Puchades, Laura Ortí Celma, Francesc J. Sáez Madrid, José B.

Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial Universitat de Barcelona

iii

PRESENTACIÓN

El Espacio Europeo de Educación Superior, y con él la implantación de los nuevos grados universitarios, pretende impulsar un cambio en las metodologías docentes que deben centrar su objetivo en el proceso de aprendizaje del estudiante, y no en la mera transmisión de conocimientos por parte del docente.

Ello requiere, siempre que sea posible, el abandono de las tradicionales sesiones magistrales con el fin de dinamizar las clases, hacer participar en ellas a los alumnos, fomentar un aprendizaje activo de los mismos y promover su trabajo autónomo.

El material didáctico que presentamos para la asignatura Matemática Financiera del Grado de Administración y Dirección de Empresas de la Universidad de Barcelona persigue lograr estos fines. Desde la implantación de este grado han transcurrido ya tres cursos académicos, tiempo suficiente para que haya podido concretarse el Plan Docente de la asignatura y se tengan claramente definidos los contenidos que deben conocer los alumnos.

Siguiendo la estructura del Plan Docente, el material se divide en dos bloques temáticos:

• El primero de ellos, Fundamentos del equilibrio financiero , recoge los fundamentos matemáticos necesarios para el estudio de una operación financiera de financiación. Así se definen los conceptos de capital financiero y operación financiera y, tras describir qué se entiende por equivalencia financiera, se analizan los distintos regímenes financieros que más habitualmente se dan en el mercado financiero. Ello permite proceder a la valoración de conjuntos de capitales financieros y, en particular, de las rentas financieras.
• El segundo, Operaciones Financieras , utiliza los instrumentos de valoración financiera, descritos en el bloque anterior, para el estudio y análisis de los préstamos financieros y de los empréstitos.

En cada uno de los bloques temáticos presentamos un resumen-guía de los conceptos más importantes recogidos en el Plan Docente de la citada asignatura. El material recoge de forma detallada los contenidos que se desarrollan en las sesiones presenciales de la misma. Esto permitirá al alumno poder preparar con antelación las clases y disponer de forma bien estructurada de toda la información vista en las mismas.

Cada definición, cada ejemplo aclaratorio y cada ejercicio serán presentados en clase, paso a paso. Hemos pretendido que nuestro material plasme en papel lo esencial del contenido de las sesiones presenciales y que, además, sirva para ejercitarse en la resolución de ejercicios y casos reales extraídos del mercado financiero. Con tal fin, los ejercicios planteados van seguidos de un espacio en blanco, con algunas orientaciones para su resolución, para permitir que el alumno los trabaje sobre el propio manual.

iv

Queremos indicar al lector que resulta conveniente que el presente manual se complemente con libros y otros materiales de consulta. A tal fin recogemos, al final de nuestro trabajo, la bibliografía que, en nuestra opinión, mejor puede ayudar al alumno a completar su formación.

Por último queremos agradecer a nuestros alumnos el seguimiento de este material. Ellos son el impulso para realizar con ilusión nuestro trabajo diario.

LOS AUTORES Diciembre de 2013

NOTA: Dado el carácter no lucrativo y la finalidad docente del contenido de este material, los autores se acogen al artículo 32 de la Ley de Propiedad Intelectual vigente, respecto al uso parcial de obras ajenas como imágenes, gráficos, textos, etc.

Bloque temático 1.

Fundamentos del equilibrio financiero

1. Operación financiera. Regímenes financieros

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

2. Valoración financiera

1. Operación financiera: definición,

elementos y clasificación

2. Equilibrio de la operación financiera

3. Definición y clasificación de los

regímenes financieros

4. Regímenes financieros simples

5. Regímenes financieros compuestos

1. Operación financiera: Definición, elementos y clasificación

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

Aunque habitualmente se habla de capital haciendo referencia únicamente a una cantidad de dinero, financieramente hablando es necesario considerar que la valoración de un capital depende del momento en el tiempo que se considere. Así, resulta evidente que, 1.000€ de hace 5 años no tienen el mismo valor que 1.000€ actuales Es decir, cualquier cantidad de dinero tiene un valor intrínseco derivado del número de unidades monetarias que representa, y otro valor como consecuencia del momento del tiempo en que esté situado Este segundo valor es el que se conoce como valor temporal del dinero

1.1 Capital financiero

Se define capital financiero como cualquier cantidad monetaria disponible en un instante temporal

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

( C T ,^^ ) C^ ≥^ 0,^ T ≥^0

C se denomina CUANTÍA y representa cualquier cantidad

monetaria expresada en euros, dólares, libras, etc. Por defecto la expresaremos en euros

T se denomina DIFERIMIENTO y representa el instante

temporal en que se sitúa la cuantía, expresado en años, meses, días, etc. respecto a un determinado origen. Por defecto lo expresaremos en años Ejemplo :

( 6.000,^123 ) Representandentro de 3 meses^ 6.000€^ disponibles

1.1 Capital financiero

1. Operación financiera: definición, elementos y clasificación.

Ejercicio : ¿Qué representan los siguientes capitales financieros?

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

( 15.000,^34 )

( 827,^142365 )

Gráficamente, fijando un origen y la unidad de tiempo, representaremos los capitales financieros en un eje horizontal, situando las cuantías en la parte superior del eje y los instantes en la parte inferior del eje: En esta zona representaremos las cuantías En esta zona representaremos los instantes

1.1 Capital financiero

1. Operación financiera: Definición, elementos y clasificación

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

Ejercicio : Representar gráficamente los capitales financieros de las siguientes operaciones financieras: a) Una empresa compra hoy por 31.246€ un activo financiero de nominal 32.000€ que vence de aquí a 183 días

0

1.2 Definición de operación financiera

1. Operación financiera: Definición, elementos y clasificación

b) Una cuenta se abrió hace 2 años con una imposición inicial de 4.000€. A los 5 meses de su apertura se realizó un ingreso de 800€, hace 8 meses se realizó una nueva imposición de 2.000€ y dentro 3 meses se ingresarán 600€

0

2) Elemento objetivo, material o real:

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

Toda operación financiera tiene tres elementos:

3) Elemento convencional o formal:

Son las capitales financieros que se intercambian. Los capitales que cede el sujeto activo se denominan PRESTACIÓN, mientras que los que retorna el sujeto pasivo se denominan CONTRAPRESTACIÓN

1) Elemento personal: Son las personas físicas o jurídicas que intervienen en la operación SUJETO ACTIVO: Persona que posee los capitales financieros y decide cederlos durante un plazo a cambio del cobro de una retribución SUJETO PASIVO: Persona que recibe los capitales financieros y se compromete a su devolución futura y al pago de una retribución

Es el conjunto de acuerdos o pactos que realizan los sujetos para llevar a cabo el intercambio. Habitualmente se refleja en un contrato mercantil

1.3 Elementos de una operación financiera

1. Operación financiera: Definición, elementos y clasificación

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

1. Operación financiera: Definición, elementos y clasificación 1.3 Elementos de una operación financiera

Ejemplo : Juan invierte hoy en un Plan de Pensiones del Banco Z la cantidad de 8.000€. A cambio, en el momento de su jubilación, dentro de 15 años, el Banco pagará a Juan la cantidad de 13.402,80€. Indicar los distintos elementos de la operación: Elemento personal Sujeto activo: Sujeto pasivo: Elemento objetivo, material o real Prestación: Contraprestación: Elemento convencional o formal

Juan Banco Z

8.000€ hoy 13.402,80€ dentro de 15 años

Plan de Pensiones, firmado por ambas partes, en el que se establecen las condiciones de la operación financiera

o (8.000, 0 ) o (13.402,80 , 15)

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

1. Operación financiera: Definición, elementos y clasificación 1.4 Clasificación de las operaciones financieras Según el número de capitales financieros existentes, una operación financiera se puede clasificar en: 1) Operación elemental: Aquella en que tanto la prestación como la contraprestación tienen un único capital financiero 2) Operación parcialmente compleja: Aquellas en que la prestación o la contraprestación tienen un único capital financiero, estando la otra formada por un conjunto de capitales financieros 3) Operación totalmente compleja: Aquella en que tanto la prestación como la contraprestación están formadas por un conjunto de capitales financieros

2.2 Representación de la equivalencia financiera

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

2. Equilibrio de la operación financiera.

La equivalencia financiera entre los capitales financieros puede, habitualmente, representarse de las siguientes maneras: 1) Operación elemental:

2) Operación parcialmente compleja:

( C T , ) ≈( C T ', ')

Prestación: ( C T , ) Contraprestación: ( C ', T ')

Prestación: ( C T , ) Contraprestación: { (^ C T 1 '^ ,^1^ ' ), (^ C 2^ '^ ,^ T 2^ '^ ),^ …, (^ Cn^ '^ ,^ Tn ')} ( C T , ) ≈ (^) { ( C T 1 '^ , 1 ' ),( C 2 '^ , T 2 '^ ), …,( Cn '^ , Tn ')}

C T T’

C’

C T

C^ ' 1 T 1 '

C^ ' 2 T 2 '

C^ 'n T n^ '

⋯ ⋯

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

2. Equilibrio de la operación financiera

3) Operación totalmente compleja:

2.2 Representación de la equivalencia financiera O bien: Prestación: Contraprestación: ( C ', T ')

{ (^ C 1^ ,^ T 1^ ), (^ C 2^ ,^ T 2^ ),^ …, (^ Cn^ ,^ Tn )}

{( C 1^ ,^ T 1^ ),(^ C 2^ ,^ T 2^ ),^ …,(^ Cn^ ,^ Tn^ )}^ ≈(^ C T ',^ ')

Prestación: (^) { ( C 1 (^) , T 1 (^) ), ( C 2 (^) , T 2 ), …, ( Cn , Tn )} Contraprestación: (^) { (^ C T 1 '^ ,^1^ ' ), (^ C 2^ '^ ,^ T 2^ '^ ),^ …, (^ C ' n^^ ,^ Tm ')} { (^ C 1^ ,^ T 1^ ), (^ C 2^ ,^ T 2^ ),^ …, (^ Cn^ ,^ Tn^ )}^ ≈{ (^ C T 1 '^ ,^1^ ' ), ( C^2^ '^ ,^ T 2^ '^ ),^ …, (^ Cn^ '^ ,^ Tm ')}

C 1 T 1

C 2 T 2

C n T n

⋯ ⋯

C’ T’

C 1 T 1

C 2 T 2

C n T n

⋯ ⋯

C^ ' 1 T 1 '

C^ ' 2 T 2 '

C^ 'n T n^ '

⋯ ⋯

Por ejemplo:

2.3 Precios financieros de interés

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

Dada la operación financiera elemental

se definen los tres precios financieros de interés siguientes:

( C T ,^^ ) ≈( C^ ',^ T ')

Precio (interés) total: Es el beneficio total de la operación en términos monetarios ∆ C = C '− C Ejemplo: Dada la operación financiera elemental ( 1.000, 0^ ) ≈( 1.120, 2) calcular el precio total:

∆ C = 1.120 −1.000 =120€

con T ' > T

Esto significa que por los 1.000€ iniciales, el sujeto activo recibe al final de los 2 años una retribución de 120€

2. Equilibrio de la operación financiera

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

Precio unitario o Interés efectivo: Es el beneficio de la operación por cada unidad monetaria I C^ C^^ ' C C C

= ∆^ = −

calcular el precio unitario:

I C^ C^ C

C C

= ∆^ = −^ = − = = ≡

2.3 Precios financieros de interés

Esto significa que por cada euro inicial, el sujeto activo recibe al final de los 2 años una remuneración de 0,12 € (o bien, que por cada 100€ iniciales, se perciben 12€. Por ello se habla del 12% bienal)

2. Equilibrio de la operación financiera

Ejemplo: Dada la operación financiera elemental (1.000, 0 ) ≈(1.120, 2 )

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

2.3 Precios financieros de interés

2. Equilibrio de la operación financiera

Criterio o Base Significado Numerador: Todos los meses tienen 30 díasDenominador: Siempre 360 Numerador: Días reales de la operación Denominador: Siempre 360 Numerador: Días reales de la operación Denominador: Siempre 365 Numerador: Días reales de la operación Denominador: 365 o 366 (si es bisiesto)

IMPORTANTE : Cuando el plazo temporal de una operación financiera se expresa en días o en fechas de calendario, el valor de t (en años) dependerá del criterio o base que se utilice. En general hay 4 Bases:

Base 30 360 Act Base 360 Act Base 365

• Si el plazo es inferior a 1 año:
• Si el plazo es superior a 1 año, al número de años enteros se le añade lafracción de año restante calculada según alguna de las bases anteriores

Base Act Act

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

2.3 Precios financieros de interés

2. Equilibrio de la operación financiera

18-ene-A 18-abr-A T '− T = t Criterio o Base (^) Valor de t Base 30 360 Act Base 360 Act Base 365

(^12 30 30 18 90 1) 0, 25 t (^) 360 360 4 = +^ +^ + = = = (^13 29 31 18 91) 0, 2527 t (^) 360 360 = +^ +^ + = = ⌢ (^13 29 31 18 91) 0, 249315 t (^) 365 365 = +^ +^ + = = Base Act Act t = 13 +^29366 +^31 +^18 = 36691 =0, 248634

Ejemplo: ¿Qué plazo temporal t existe entre el 18 de enero y el 18 de abril de un año bisiesto?

Régimen financiero es la expresión formal del conjunto de características, pactos o acuerdos, que establecen los sujetos de una operación financiera

Clasificación de los regímenes financieros

1. Según el cálculo del precio:

• R.F. SIMPLES : Son aquéllos en que el plazo de la operación se considera como un único periodo, y por ello, el precio se calcula una sola vez. Se acostumbran a utilizar en operaciones a corto plazo
• R.F. COMPUESTOS : Son aquéllos en que el plazo de la operación se subdivide en periodos, y por ello, el precio se calcula para cada uno de ellos

3.1 Definición

3. Definición y clasificación de los regímenes financieros

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

3.2 Clasificación

2. Según el sujeto económico:

• R.F. de INTERÉS o CAPITALIZACIÓN : Son aquéllos que aparecen cuando se estudia la operación financiera desde el punto de vista del sujeto activo
• R.F. de DESCUENTO o ACTUALIZACIÓN : Son aquéllos que aparecen cuando se estudia la operación financiera Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáezdesde el punto de vista del sujeto pasivo

3.2 Clasificación

3. Definición y clasificación de los regímenes financieros

Como consecuencia de estas clasificaciones desarrollaremos los siguientes regímenes financieros: R.F. INTERÉS O CAPITALIZACIÓN

R.F. DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN R.F. SIMPLES (^) SIMPLE VENCIDOR.F. INTERÉS R.F. DESCUENTO SIMPLEO COMERCIAL R.F. COMPUESTOS R.F. INTERÉS COMPUESTO A TANTO CONSTANTE R.F. INTERÉS COMPUESTO A TANTO VARIABLE

Ejemplo: En la cuenta corriente de un Banco, un cliente ha tenido la cantidad de 5.000€ durante 3 meses. Si esta cuenta ha liquidado los intereses en régimen financiero de interés simple vencido a un interés del 2% anual. Calcular: a) Los intereses que habrá obtenido dicho cliente b) El capital final que tendrá en la cuenta corriente Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáezc) Los precios financieros

a) Los intereses (precio total) en R.F. de interés simple vencido son: 5.000 0, 02 3 25€ ∆ C = Intereses = C i t ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 12 =

0

5.000 C'

(^312)

4. Regímenes financieros simples

4.1 R.F. interés simple vencido

NOTA : En el mercado real estos intereses son brutos porque se les aplica una retención fiscal (actualmente del 21%), por lo que, realmente, lo que ingresa elcliente es menos. Este aspecto fiscal NO lo tendremos en cuenta en los ejercicios

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez c) Los precios financieros son:

∆ C = C ' − C = 5.025 − 5.000 =25€

b) El capital final que tendrá el cliente en la cuenta corriente será:

^ + ∆^ =^ +^ =

 ⋅^ + ⋅^ =^ ⋅^ ^ +^ ⋅^ =

C C

C (^) C i t

4. Regímenes financieros simples 4.1 R.F. interés simple vencido

I C

C

i I

= t = = ≡

trimestral

Ejercicio: Calcular el capital final y los precios financieros que se obtienen al colocar 6.000€ en un plazo fijo con vencimiento dentro de 91 días (Base Act/365) a un interés simple vencido del 1,75% anual

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez

El capital final es:

6.000 C'

(^91365)

4. Regímenes financieros simples 4.1 R.F. interés simple vencido

Los precios financieros son:

Ejercicio: En un anuncio de prensa le ofrecen una inversión en R.F. de interés simple vencido según la cual, colocando hoy un capital de 50.000€ recibirá al cabo de 9 meses 51.687,50€. Calcular el tipo de interés nominal al que resulta dicha inversión.

Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez Vamos a sustituir todos los datos que conocemos en la expresión formal del R.F. de interés simple vencido:

Despejamos i :

C ' = C ⋅ (^) ( 1 + ⋅ i t )

4. Regímenes financieros simples 4.1 R.F. interés simple vencido