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JUEGOS SIMPLES E ÍNDICE DE PODER
DE SHAPLEY-SHUBIK (*)
Por RAFEL AMER, FRANCESC CARRERAS ANTONIO MAGAÑA
SUMARIO
R E S U M E N. — 1. INTRODUCCIÓN.—2. JURGOS DE MAYORÍA PONDERADA.— 3. JUGA- DORES CON VETO Y DICTADORES. 4. U N FJFMI'LO DETALLADO; PRIMERA PARTE.
- E L ÍNDICF DE PODER DE S H A P L E Y - S H U B I K. — 6. C Á L C U L O PRÁCTICO: EJEMPLOS.—
- U N EJEMPLO D E T A L L A D » SEGUNDA P A R T F. — 8. JURÓOS IMPROPIOS.— 9. LECTU- RAS ADICIONALES. REFERENCIAS.
RESUMEN
Presentamos una introducción a los juegos simples. Entre otras muchas utilidades, estos juegos permiten describir y analizar los sistemas de deci- sión colectiva, muchos de los cuales son representables a menudo como juegos de mayoría ponderada —una clase especial de juegos simples—. Uno de los problemas más interesantes en este contexto es la definición de una medida de la distribución de poder entre los agentes involucrados en el sistema. Este problema recibe una solución satisfactoria mediante el índice de poder de Shapley-Shubik, que es la restricción del valor de Shapley a los juegos simples. Las aplicaciones al análisis económico y político que- dan adecuadamente ilustradas mediante una serie de ejemplos que jalonan el texto.
(*) Trabajo financiado parcialmente por el Proyecto BFM 2000-0968 del Ministerio de Ciencia y Tecnología.
107 HCVKIU ile hiiiilun 1'aHnan i Nueva Época! Núm. 121. Julio-Septiembre 20(
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- INTRODUCCIÓN
Un juego cooperativo definido en un conjunto de jugadores N = {1,2, ..., n} es una función u que asigna a cada coalición S c N u n número real u(S). Se exige solamente que u(0) = 0. Se interpreta u(S) como la utilidad mínima que pueden garantizarse los jugadores de S actuando coordinada- mente, sea cual sea la actitud de los restantes jugadores (los de N \ S). Una de las clases más interesantes de juegos cooperativos es la de los juegos simples. Con este tipo de juegos describimos la capacidad de decisión de las coaliciones en un sistema de votación y podemos analizar la importan- cia estratégica de cada agente involucrado en el sistema. Comenzaremos con un ejemplo sencillo.
Ejemplo 1 (El consorcio). Imaginemos un consorcio formado por cua- tro empresas: dos de ellas son semejantes por volumen de facturación, mien- tras que las otras dos, también semejantes entre sí, son de menor entidad. El equipo directivo del consorcio está formado por los presidentes de las cuatro empresas, a los que designaremos por 1, 2, 3 y 4. La toma de decisiones está estructurada de manera equilibrada. Para aprobar una propuesta es necesario, en principio, que tenga al menos el apo- yo de (los presidentes de) las dos empresas principales. Sin embargo, con el fin de evitar un número excesivo de situaciones de impasse y agilizar el me- canismo decisorio, para salvar una posible discrepancia entre las empresas principales se admite también la aprobación de una propuesta si están a fa- vor de la misma al menos una de las empresas principales y las dos empresas secundarias. Resumimos esta información mediante la lista de las coaliciones de (pre- sidentes de) empresas que, sin contener elementos superfluos, son capaces de asegurar la aprobación:
W"> = {{1, 2}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}}.
La lista completa de todas las coaliciones con fuerza suficiente para ga- rantizar la aprobación es el resultado de ampliar cada una de las anteriores de todas las formas posibles:
W = {{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}.
Las restantes coaliciones carecen de dicha fuerza, y son: 0 , {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} y {3, 4}. Hay una manera de definir un juego cooperativo que describa una situa- ción de este tipo: consiste en asignar una utilidad convencional de 1 a cada
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cificar una colección Wm^ de subconjuntos de N que tenga la propiedad de exclusión mutua. El lector puede ver que en el ejemplo anterior hemos definido el juego dando precisamente una colección Wm^ que satisface la condición de exclu- sión mutua. También puede comprobar en dicho ejemplo que la colección W cumple la propiedad de monotonía.
- JUEGOS DE MAYORÍA PONDERADA
El tipo de juego simple más frecuente en la práctica es el llamado juego de mayoría ponderada. En realidad, se trata de una generalización natural del ejemplo siguiente.
Ejemplo 3 (Juegos de mayoría). Supongamos que un comité formado por n personas debe tomar decisiones. Se asigna un voto a cada persona y se exige, para la aprobación de una propuesta, que ésta reciba en votación como mínimo cierta cantidad q de votos. Para evitar conflictos suele tomarse q > n/2 (y, por descontado, q < n). El juego simple u que sirve de modelo para reflejar este mecanismo de toma de decisiones queda definido por la co- lección
W = {S c N : |S| > q}
donde el símbolo |S| significa el número de elementos de la coalición S. Es inmediato comprobar que W satisface la condición de monotonía. Podría- mos recordar el origen del juego u escribiendo
u = [q; 1, 1, ..., 1].
Si q es el mínimo entero superior a n/2, se dice que este número repre- senta la condición de mayoría absoluta. Si q = n, se dice que u es el juego de unanimidad (en este caso, la única coalición ganadora es el conjunto total N). Los valores intermedios restantes de q se denominan mayorías cualifica- das. (El término mayoría simple o relativa es mejor reservarlo para situacio- nes en las que los electores tienen más de dos alternativas, es decir, no se li- mitan a elegir entre dos opciones o a decir sí o no a una propuesta única para cambiar un statu quo.) Aunque la idea de dar un voto a cada agente es la base de los sistemas democráticos (basta con recordar el eslogan «un hombre, un voto»), en la práctica se producen con frecuencia asociaciones de carácter político, eco- nómico o social, debidas a razones ideológicas o estratégicas, que según la
JUEGOS S1MPLF.S ü ÍNDICE Dü PODER DF. SHAI'LEY-SMUBIK
fuerza con que cohesionan a los jugadores pueden convertir una situación aparentemente simétrica en otra muy distinta. En realidad, la dinámica es similar a la que rige el accionariado de las empresas. Cuando una empresa emite acciones para formar su capital, ga- rantizarlo o incrementarlo, cada acción puede ser adquirida por una persona distinta (física o jurídica). En la práctica, sin embargo, ninguna empresa tie- ne sus acciones repartidas de este modo. La mayoría de los accionistas tie- nen en su poder cierto número de acciones y, a menudo, éstas se concentran en muy pocas manos. Con estos dos comentarios queremos dar a entender que es indispensable disponer de un modelo más general que el del ejemplo anterior para poder interpretar fielmente la forma de operar de la mayoría de los mecanismos de toma de decisiones por votación.
Junto a los del ámbito económico, los ejemplos de tipo político constitu- yen uno de los campos de aplicación más interesantes de la teoría de los jue- gos cooperativos. Las decisiones tomadas por los organismos políticos, ya sean a escala local (ayuntamientos), autonómica, estatal o internacional (Unión Europea, Organización de Naciones Unidas, Fondo Monetario Inter- nacional, etc.) nos afectan en mayor o menor medida como ciudadanos, por lo que el estudio de la estructura de tales organismos debería interesarnos también a fondo en el contexto en el que nos movemos.
Muchos de los mecanismos de votación empleados en tales situaciones deben describirse como juegos de mayoría ponderada, especialmente en el caso de organismos de representación en los que, más que los representan- tes individuales, son los partidos políticos los verdaderos protagonistas, debido a la disciplina de voto que imponen a sus miembros electos. Lo mismo ocurre con el funcionamiento de las juntas de accionistas, ya que el porcentaje de acciones que controla cada una de las personas que integran la junta es decisivo a la hora de fijar las condiciones de aprobación de pro- puestas.
Veremos ejemplos de carácter político y económico después de la defini- ción formal de juego de mayoría ponderada.
Definición 4. Sea N = {1, 2,..., n} un conjunto de jugadores. Suponga- mos que cada jugador i e N tiene asignado un peso w¡ > 0. El peso de una coalición arbitraria S cz N se define como la suma de los pesos de sus inte- grantes: w(S) = Z¡es WÍ. Supongamos además que se ha fijado una cuota o condición de mayoría q > 0. Entonces se define un juego cooperativo u me- diante las condiciones
- u(S) = 1 si y sólo si w(S) >q.
- u(S) = 0 en otro caso.
JUEGOS SIMi'LFS E ÍNDICE DE PODER DE SIIAI'LEY-SHUBIK
Ejemplo 6 (El consorcio). Es posible presentar este juego como un jue- go de mayoría ponderada. Basta con tomar
u = [4; 2, 2, 1, 1].
El lector debería comprobar que a partir de esta representación obtiene las mismas coaliciones ganadoras minimales que han definido el juego en el ejemplo 1. Allí no hemos usado esta representación porque nos interesaba iniciar la presentación con la idea más general de juego simple y, sólo des- pués, mencionar los juegos de mayoría ponderada como caso especialmente frecuente. De hecho, también tenemos u = [8; 4, 4, 2, 2], u = [4k; 2k, 2k, k, k] para cualquier k natural e, incluso, representaciones «asimétricas» como u = [13; 9, 8, 3, 2]. En general, todo juego simple representable como juego de mayo- ría ponderada admite infinitas representaciones.
Ejemplo 7. Sin embargo, no todos los juegos simples pueden ser pre- sentados como juegos de mayoría ponderada. Es fácil ver que es posible si n < 3. No es posible si n > 4. El ejemplo más sencillo, tanto por el número de jugadores como por el número de coaliciones ganadoras minimales, es el si- guiente. Para n = 4 tomemos
W" = {{1, 2}, {3, 4}}.
Esta colección define un juego simple u porque cumple la condición de exclusión mutua. Para demostrar que no es posible darle una representación como juego de mayoría ponderada, razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que fuera u = [q; wi, W2, W3, W4]. Puesto que las coaliciones {1,4} y {2, 3} son perdedoras, los cuatro pesos deberían satisfacer las con- diciones siguientes:
Wl + W4 < q < W3 + W4 y W2 + W3 < q < W| + W2.
Simplificando, se deducen las relaciones contradictorias
Wl < W3 y W3 < Wl
por lo que concluimos que la representación pretendida es imposible. El ejemplo siguiente nos muestra otro juego simple, mucho más compli- cado debido al número de jugadores, que tampoco es un juego de mayoría ponderada.
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Ejemplo 8 (El Congreso de los Estados Uñidos). Tres cámaras consti- tuyen la estructura del Congreso. La primera de ellas se reduce al presidente de la nación (asesorado, si se quiere, por los miembros de su gabinete), al que designaremos por p. La segunda es el Senado (S), integrado por 100 se- nadores. La tercera se denomina la Cámara de Representantes (R), de la que forman parte 435 representantes. Simbólicamente,
C = {p} u S u R.
Originariamente, las medidas legislativas quedaban aprobadas por el Congreso si votaban a favor, como mínimo: el presidente, la mitad más uno de los senadores y la mitad más uno de los representantes. Sin embargo, esta fórmula daba al presidente derecho a vetar cualquier medida, ya que su con- formidad era indispensable para aprobarla, por lo que se introdujo una en- mienda en la Constitución según la cual 2/3 del Senado y 2/3 de la Cámara de Representantes también constituían conjuntamente una mayoría suficien- te para aprobar una propuesta. Éste es el mecanismo que aún hoy en día rige la toma de decisiones en el Congreso. Podemos simbolizar los dos tipos de coaliciones ganadoras minimales del modo siguiente:
p + 51s + 218r y 67s + 290r.
Para comprobar que no es posible presentar este juego simple como un juego de mayoría ponderada, razonaremos por reducción al absurdo como en el ejemplo anterior. La demostración no es difícil, pero conviene redactar- la con toda precisión. Supongamos que existiera tal representación. Fijemos dos senadores s y s' y dos representantes r y r'. Sea ws el peso asignado al se- nador s y sea wr el peso asignado al representante r. Tomemos además un conjunto S" formado por 50 senadores distintos de s y s' y un conjunto R" formado por 217 representantes distintos de r y r'. Es obvio que las dos coa- liciones siguientes son perdedoras:
- Pi = {p} u S" u {s, s'} u R"
- P 2 = {p} u S" u R" u {r, r'} También es obvio que las dos coaliciones siguientes son ganadoras:
- Gi = {p} u S" u {s'} u R" u {r}
- G 2 = {p} u S" u {s} u R" u {r'} Al imponer que el peso de Pi (resp. P2) sea estrictamente menor que el de Gi (resp. G2), obtenemos simultáneamente, después de simplificar,
Ws < Wr y Wr < Ws,
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- La estructura del Congreso de los Diputados (o Cámara Baja del Par- lamento español) durante la legislatura 1982-1986, tras las elecciones genera- les celebradas el 28 de octubre de 1982, quedaba representada por el juego de mayoría ponderada siguiente, que indica la distribución de los 350 escaños en- tre diez partidos o coaliciones políticas que obtuvieron representación. El pri- mer coeficiente, 176, es la cuota que define la mayoría absoluta exigida en la toma de decisiones ordinaria (la mitad más uno del total de escaños):
u s [176; 201, 106, 12, 12, 8, 5, 2, 2, 1, 1].
El partido que obtuvo 201 escaños fue el PSOE (el jugador 1, por tanto, en nuestra representación). Es fácil ver que en este juego tenemos Wm^ = = {{1}}, por lo que el jugador 1 es un dictador en el sentido de la definición anterior. La situación se repitió (con distinta distribución de escaños) duran- te la legislatura 1986-1989, también con el PSOE como partido principal, y se presenta en la legislatura 2000-2004, ahora con el PP como jugador 1.
- Si en el Parlamento de Cataluña, 1999-2003 (ejemplo 5) se exige una mayoría cualificada de 2/3 del total de escaños para las decisiones tras- cendentales, la situación queda definida por el juego
u' = [90; 56, 52, 12, 12, 3].
En estas condiciones (W')m^ contiene solamente una coalición, la {1,2}, por lo que los dos partidos principales pasan a poseer veto.
Como ya hemos comentado al exponer la estructura del Congreso de los Estados Unidos (ejemplo 8), la situación anterior a la enmienda de la Constitución daba veto al presidente. Tras la aplicación de la enmienda, el presidente ha perdido tal prerrogativa.
UN EJEMPLO DETALLADO: PRIMERA PARTE
Incluimos en esta sección un ejemplo que exponemos con todo detalle para ilustrar el tipo de cuestiones que se plantean al manejar juegos simples.
Ejemplo 11 (Empresa participada). En las empresas cuyo capital está repartido entre diferentes accionistas (personas físicas) es norma que las de- cisiones sobre la marcha de la empresa se tomen en las denominadas juntas de accionistas, a las que son convocados periódicamente todos los poseedo- res de acciones. En estas juntas, las decisiones no se adoptan otorgando un voto a cada accionista, sino que cada uno dispone de tantos votos como ac- ciones controla. Para aprobar una propuesta es indispensable que esté a fa-
JUEGOS SIMI'LES F ÍNDICE UE PODF.R DE SUAI'LEY-SHUBIK
vor de la misma un conjunto de accionistas suficiente como para que reúnan, entre todos ellos, más del 50 por 100 de las acciones. En las empresas participadas, donde las acciones pueden estar en manos tanto de personas físicas como de personas jurídicas (otras empresas), se si- gue el mismo criterio para la toma de decisiones. Veamos un ejemplo numé- rico imaginario. Supongamos que, en el momento de su constitución, la empresa de co- municación Barcelona TV llevó a cabo una emisión de acciones, y que éstas están en manos de una empresa de capital público y de tres grandes empre- sas del sector, con los porcentajes que se indican a continuación:
- Empresa 1: Ayuntamiento de Barcelona, 36,25 por 100.
- Empresa 2: Televisió de Catalunya (TVC), 34,50 por 100.
- Empresa 3: Cadena SER, 15,50 por 100.
- Empresa 4: Grupo Zeta, 13,75 por 100. La regla para tomar decisiones es equivalente a la que hemos menciona- do en el caso de las juntas de accionistas (que, formalmente, es idéntico a éste): se aprueba una propuesta si está apoyada por un conjunto de empresas que controlen más del 50 por 100 de las acciones. Por tanto, el mecanismo queda descrito por el juego de mayoría ponderada
u = [50,01; 36,25, 34,50, 15,50, 13,75].
Las coaliciones ganadoras minimales son
W™ = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3, 4}}.
Conviene observar que, para ser ganadora, se le exige a cualquier coali- ción superar el 50 por 100 de las acciones: esto se impone para evitar la po- sibilidad de un empate y la correspondiente situación de impasse, y por ello hemos fijado una cuota del 50,01 por 100. Así, las coaliciones {1, 4} y {2, 3} no son ganadoras porque controlan solamente el 50 por 100 exacto de las acciones. El juego simple u que describe esta situación queda, pues, definido por
u(l, 2) = u(l, 3) = u(l, 2, 3) = u(l, 2, 4) = u(l, 3, 4) = u(2, 3, 4) = = u(l, 2, 3, 4) = 1
y u(S) = 0 para las demás coaliciones (las perdedoras). Es conveniente notar la analogía entre el tipo de conflictos de intereses con implicaciones económicas reflejado en ejemplos como El consorcio o Empresa participada y el de carácter político subyacente en situaciones
JUEGOS SIMPLliS 1: ÍNDICA. DI- POOI-R DE SHAPI.RY-SIIUB1K
- Ciertas decisiones trascendentales se toman por mayoría cualificada. Supongamos que, volviendo a la distribución inicial de acciones, dicha ma- yoría es de 3/5, es decir, un 60 por 100 del total de acciones. El juego que re- fleja esta situación es
v = [60; 36,25, 34,50, 15,50, 13,75].
Observamos que en estas condiciones el Ayuntamiento de Barcelona y la Cadena SER necesitan el apoyo del Grupo Zeta, circunstancia que no se pro- ducía con la cuota ordinaria que impone la mayoría absoluta. ¿Cómo influye esta variación de la cuota en la distribución de poder?
- Si la mayoría cualificada aumenta hasta los 2/3, las dos primeras em- presas pasan a disponer de veto y las otras dos desaparecen de la lista de coa- liciones ganadoras minimales. ¿Qué cambios experimenta la distribución de poder con respecto a la precedente? En conclusión, parece claro que, con relación a este ejemplo (y, de he- cho, con vistas a una aplicación generalizada a muchas otras situaciones), la primera pregunta a formular sería: ¿cómo describir de forma razonable una «distribución de poder» entre las cuatro empresas, a la vista del porcentaje de acciones que controla cada una y de la condición de mayoría exigida? Desearíamos utilizar una hipotética medida de poder para contrastar los valores que nos proporcione con los porcentajes de acciones. ¿Es importante la ventaja del 1,75 por 100 de acciones que posee el Ayuntamiento de Barce- lona frente a TVC? ¿Y la diferencia del 19 por 100 entre esta segunda em- presa y la SER? ¿Tiene algún poder de decisión el Grupo Zeta pese a ser el socio minoritario? A continuación, quisiéramos aplicar la misma medida para responder a las cuestiones planteadas en los casos en que se producen variaciones en la distribución de acciones (por compraventa entre las empresas participantes) y/o en la mayoría exigida para tomar decisiones. Antes de afrontar cuestiones de este tipo y otras similares, en éste y en los restantes ejemplos propuestos hasta aquí, conviene plantear las caracte- rísticas que debería tener una medida de poder que pudiera ser aplicable a cualquier juego simple. Nos ocuparemos de todo ello en la sección siguiente al estudiar el denominado índice de poder de Shapley-Shubik, que no es sino la restricción del valor de Shapley al dominio de los juegos simples. Supon- dremos al lector ya familiarizado con el concepto de valor de Shapley para juegos cooperativos.
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- EL ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK
En la sección anterior hemos planteado, como objetivo principal del estu- dio de los juegos simples, el análisis de la «distribución de poder». Los juegos simples (y, en particular, los juegos de mayoría ponderada) representan meca- nismos de decisión colectiva por votación. Aunque la descripción de las coali- ciones ganadoras minimales ya proporciona alguna información sobre la im- portancia relativa de cada agente decisor dentro del sistema, desearíamos pre- cisar de forma numérica la fuerza real de cada uno de dichos agentes. No entraremos en disquisiciones filosóficas ni trataremos de dar una de- finición del concepto mismo de poder. Creemos que la intuición del lector le habrá permitido captar perfectamente nuestras intenciones a través de los ejemplos que hemos venido proponiendo. Hablaremos, pues, solamente de una «medida de poder».
Para fijar ideas, pensemos que en un mecanismo decisorio el «poder» viene a ser como una unidad de beneficio (un pastel, si se quiere) que hay que repartir entre los agentes de forma que refleje la importancia estratégica de cada uno. En este sentido, el problema no es muy diferente del que nos ocuparía en los juegos cooperativos en general. Por tanto, una medida de la distribución de poder vendrá dada, en térmi- nos muy generales, por una asignación (ai, a2, ..., an) tal que
- o.¡ > 0 para cada i e N
siendo N = {1, 2, ..., n} el conjunto de agentes decisores. Ésta es una idea general de medida de la que también son casos particu- lares, entre otrasj las distribuciones de frecuencia relativa o las de probabili- dad. El hecho de que la medida esté normalizada, como expresa la condición 2, permitirá establecer comparaciones entre situaciones distintas. Traduciremos estas ideas al lenguaje de los juegos simples. Sea N = {1, 2, ..., n} un conjunto de jugadores. Denotaremos por SN el conjunto de todos los juegos simples no nulos en N (excluimos el juego nulo u = 0 por razones obvias).
Definición 12. Una medida de poder en N será una función
O : SN -> [0, 1]"
que asignará a cada juego simple no nulo u un vector de reparto entre los ju- gadores
O[u] = (Oi[u], RAFEL AMER, FRANCESC CARRERAS Y ANTONIO MAGAÑA
- Los jugadores nulos tienen poder 0 y pueden ser suprimidos del jue- go para calcular el poder de los demás jugadores. (Además, como regla prác- tica, es fácil ver que un jugador es nulo en un juego simple si y sólo si no in- terviene en ninguna coalición ganadora minimal.)
- Todos los jugadores equivalentes entre sí tienen el mismo poder; por tanto, basta con calcular el de cualquiera de ellos. (Aquí la regla práctica es que dos jugadores son equivalentes en un juego simple si y sólo si aparecen de manera simétrica en la lista de las coaliciones ganadoras minimales.)
- La suma de los poderes de todos los jugadores debe dar 1: esta pro- piedad puede servir para ahorrarnos el último cálculo directo o bien como comprobación final.
Observación 15. La cuarta propiedad del valor, la aditiva, no tiene apli- cación en el dominio de los juegos simples no nulos, ya que la suma de dos juegos de este tipo no es nunca un juego simple. En 1975, P. Dubey estableció una caracterización axiomática del índice de poder de Shapley-Shubik (es decir, como función sobre el conjunto de los juegos simples no nulos) análoga a la del valor de Shapley. Para ello utilizó los axiomas de eficiencia, jugador nulo y jugadores equivalentes y una pro- piedad, la de transferencia, que es consecuencia de la aditiva y la sustituye como axioma en este contexto. Omitimos los detalles pero queremos dejar constancia de este hecho.
- CÁLCULO PRÁCTICO: EJEMPLOS
Iniciamos el cálculo práctico del índice de poder de Shapley-Shubik. En el primer ejemplo aplicamos directamente la fórmula del valor de Shapley adaptándola al contexto de los juegos simples. En el segundo, los axiomas nos dan la distribución de poder sin necesidad de efectuar apenas ninguna operación.
Ejemplo 16 (El consorcio). En este juego tenemos (véase ejemplo 1)
W- = {{1, 2}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}}.
No hay dictador, ni jugadores con veto ni jugadores nulos, pero por una parte las empresas 1 y 2 son equivalentes entre sí y por otra lo son también las empresas 3 y 4. Por tanto, podemos limitarnos a calcular de forma directa el poder de la empresa 1. La fórmula del valor de Shapley nos da
> ] = £Yn (s)[u(S)-u(S{l})],
ScN:leS
JUHGOS SIMPLtS K ÍNDICE DE PODER DF. SHAPLEY-SHUB1K
(s-l)!(n - s )! donde s = |S| es el cardinal de la coalición variable S y yn(s) = — -. n! Teniendo en cuenta que la contribución marginal escrita entre corchetes vale 1 solamente si S € W pero S \ {1} g W, y 0 en los demás casos, nos queda
S E W : I E S. S \ ¡ 1! « W Dado que W = {{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}, las coaliciones S que satisfacen las condiciones indicadas son solamen- te {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4} y {1, 3, 4}. Sabiendo además que 74(2) = 74(3) = 1/12 obtenemos
d>i[u] = 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12 = 1/3.
Por tanto, aplicando el axioma de jugadores equivalentes, O2M = Oi[u] = = 1/3. Por el axioma de eficiencia, el poder a repartir entre las empresas 3 y 4 es 1 - 2/3 = 1/3 y, de nuevo por el axioma de jugadores equivalentes, <&z[\] = = ct>4[u] = 1/6. En resumen, la distribución de poder en este consorcio viene dada por
JUEGOS SIMPLES H ÍNDICE DE PODER DE SHAPI.KY-SHUBIK
Decimos entonces que Ok es el jugador crucial o pivote de la permuta- ción a. Contemos ahora el número de veces que cada jugador i e N es pivote en el total de las n! permutaciones posibles. Convirtamos este número en fre- cuencia relativa dividiéndolo por n! y sea VJ/I[U] dicha frecuencia.
Teorema 18 (Cálculo del poder por pivotes). Para cada juego simple no nulo u en N y cada jugador i e N se verifica la igualdad
DEMOSTRACIÓN. Recordemos la expresión del poder del jugador i que ya hemos utilizado en el ejemplo 16:
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mos complacerán al lector que, más o menos intuitivamente, ya había conje- turado en su momento algunas evidencias.
Ejemplo 19 (El Parlamento de Cataluña, 1999-2003). Recordemos que en este juego (ejemplo 5) el número de jugadores es n = 5 y la colección de coaliciones ganadoras minimales es
W™ = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3, 4}}.
De esta lista se deduce, en primer lugar, que el jugador 5 es nulo, por lo que su poder es Os[u] = 0 y podemos olvidarnos de él. Esto es interesante porque reduce de 5! = 120 a 4! = 24 el número de permutaciones que hay que escribir. Por otra parte, los jugadores 2, 3 y 4 son equivalentes. Por tan- to, solamente será necesario calcular de forma directa el poder del jugador
- Escribimos las 24 permutaciones de los jugadores 1, 2, 3 y 4 y mar- camos con un asterisco aquéllas en las que el jugador 1 interviene como pivote:
(1,2,3,4) (1,2,4,3) (1,3,2,4) (1,3,4,2) (1,4,2,3) (1,4,3,2)
(2,1,3,4)
(2,1,4,3)
(2,3,1,4) (2,3,4,1)
(2,4,1,3) (2,4,3,1)
(3,1,2,4)
(3,1,4,2)
(3,2,1,4) (3,2,4,1)
(3,4,1,2) (3,4,2,1)
(4,1,2,3)
(4,1,3,2)
(4,2,1,3) (4,2,3,1)
(4,3,1,2) (4,3,2,1)
Esto nos indica que Oi[u] = 12/24 = 1/2. Por tanto, los jugadores 2, 3 y 4 deben repartirse equitativamente el poder restante, 1/2, y resulta O¡[u] = 1/ para i = 2, 3, 4. (También podríamos haber determinado este valor, una vez que teníamos escritas todas las permutaciones, localizando aquéllas en las que es pivote un jugador concreto de estos tres.) En definitiva, la distribu- ción de poder en el Parlamento de Cataluña, 1999-2003 viene dada según el índice de Shapley-Shubik por los porcentajes de la tercera fila de la tabla si- guiente. La segunda fila indica el porcentaje de escaños que ocupa cada par- tido.
Partido
Escaños. Poder..
CiU % 41, 50,
PSC % 38, 16,
PP % 8, 16,
ERC % 8, 16,
IC-V % 2, 0,
