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MATEMÁTICA III
INGENIERIA INDUSTRIAL
Regla de la Cadena
LOGROS DE
SESIÓN
Al terminar la clase el
alumno será capaz de
aplica la regla de la cadena
en la resolución de
situaciones de contexto real
sin dificultad.
REGLA DE LA CADENA (CASO I)
Sea w=f(x,y) , donde f es una función derivable de x y y. Si
x=g(t) y y=h(t), donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y:
..
dw w x w y
dt x t y t
Sabemos que:^ dw^ w^. x^ w^. y
dt x t y t
2 2 (cos ) ( 2 ) t xy t x y e
2 2( )( )(cos ) ( 2 ) t t t sent e t sen t e e
2 2 2 cos 2
t t t e sent t e sen t e
Cuando t=0, se sigue que: 2
dw dt
Nota: Se puede expresar w en función a t y luego
derivar como una función de una sola variable.
Ejemplo(1). Sea Halle dw/dt cuando t=0. Solución:
2 2
t
w x y y donde x sent y y e
Sabemos que:^ dz^ z^. x^ z^. y dt x t y t
2 2 x 2 t x (1) 2(1) 2 2 2 y 5 t 6 t y (1) 5(1) 6(1) 1
Luego se sigue que:
2 3 3
1
3(2) ( 1) (2) 4( 1) 48 48 0 t
dz
dt (^)
2 3 3 (3 x y )(4 ) t ( x 4 y )(10 t 6)
Evaluando en t=1, se tiene:
Calcule dz/dt cuando t=1. Solución:
Ejemplo (2): 3 4 2 2 Si z x y y ; x 2 t ; y 5 t 6 t
Ejemplo (3): Si donde x=sen2t,
y=cost. Determine dz/dt cuando t=0.
Solución:
2 4
z = x y + 3xy ,
dz 4 2 3 = (2xy + 3y )(2cos2t) +(x +12xy )(-sent) dt
Luego evaluando en t=0, se tiene:
Usando la regla de la cadena:..
dz z x z y
dt x t y t
x sen t 2 x (0) sen 0 0
y cos t y (0) cos0 1
Por lo tanto:
0
0 3 0 0) 6 t
dz sen dt (^)
Ejemplo ( 4 ): La presión P, en kilopascales, el volumen V, en litros y la temperatura T, en kelvin, de un mol de un
gas ideal, están relacionados mediante la ecuación PV= 8 , 31 T. Determine la razón a la cual la presión cambia cuando la temperatura es de 300 K y se incrementa a razón de 0 , 1 K/s y el volumen es de 100 L y se incrementa a razón de 0 , 2 L/s. Solución:
Si t representa el tiempo que transcurre
en segundos, entonces en el instante
dado T= 300 k; V= 100 l,
dT
dt
dV
dt
2
8,31 8,31(300) (0,1) (0,2) 0, 100 100
Lo que significa que la presión disminuye a razón de casi 0 , 042 kPa/s.
Dado que
T P por la regla de la cadena V
2
dP P T P V 8,31 dT 8,31 T dV
dt T t V t V dt V dt
REGLA DE LA CADENA (CASO II)
Sea w=f(x,y), donde f es una función derivable de x y y. Si x=g(s,t) y y=h(s,t), son tales que las derivadas parciales de primer orden donde
existen, entonces: existen y están dadas por:
x x y y y s t s t
w w y s t
....
dw w x w y dw w x w y y ds x s y s dt x t y t
Ejemplo (5): Si.
Use la regla de la cadena para encontrar
Solución:
2 2 s W = 2xy; x = s + t y y = t
W W
y
s t
dw w x w y
ds x s y s
Manteniendo a “t” como constante, calculamos:
1 2 (2 ) 2 ( )
dw y s x ds t
Reemplazando x=s 2 +t 2 , y y=(s/t) se tiene:
2 2 1 2( )(2 ) 2( )( )
dw s s s t ds t t
2 2 2 4 s 2 s 2 t t t
6s +2t
t
..
dw w x w y
dt x t y t
De manera similar manteniendo a “s” como constante, calculamos:
2 (2 ) 2 ( 2 )
dw s y t x ds t
Reemplazando x=s 2 +t 2 , y y=(s/t) se tiene:
2 2 2( )(2 ) 2( )( 2 )
dw s s t s t dt t t
3 2 2
2 2 4
s st s t
2 3
2
2st 2s
t
2 3 2
2
4 st 2 s 2 st
t
Ejemplo (11):
Solución:
a) Encuentre dy/dx si x^2 - 4xy-3y^2 = b) Encuentre ∂z/ ∂ y si x^2 y-5xy^2 =2yz-4z^3
a) Sea F(x;y)=x^2 - 4 xy- 3 y^2 - 10. Entonces definimos y como una función de x por medio de F(x;y)= 0. En este
caso Fx= 2 x- 4 y y Fy=- 4 x- 6 y
( ; ) 2 4 2
( ; ) 4 6 2 3
x
y
dy F x y x y x y
dx F x y x y x y
b) Sea F(x;y;z)=x^2 y- 5 xy^2 - 2 yz+ 4 z^3. Entonces definimos z como una función de x y y mediante F(x;y;z)= 0. Puesto que Fy=x^2 - 10 xy- 2 z y Fz=- 2 y+ 12 z^2
( ; ; )
( ; ; )
y
z
z^ F^ x y z
y F x y z
2
2
10 2
2 12
x xy z
y z
2
2
10 2
2 12
x xy z
y z
Ejemplo (12):
Encontrar , dada la ecuación:
Solución:
z / x y z / y 2 2 2 3 3 x z x y 2 z 3 yz 5 0
De aquí se calcula:
Por lo tanto:
Definimos:
2 2 2 3 F x y z ( ; ; ) 3 x z x y 2 z 3 yz 5 0
2 Fx ( ; x y z ; ) 6 xz 2 xy
2 Fy ( ; x y z ; ) 2 x y 3 z 2 2 Fz ( ; x y z ; ) 3 x 6 z 3 y
( ; ; )
( ; ; )
x
z
z F x y z
x F x y z
2
2 2
xy xz
x z y
y
z
z^ F^ x y z
x F x y z
2
2 2
2 3
3 6 3
xy z
x z y
MUCHAS GRACIAS
POR TU ATENCIÓN…….
