Espacios y Subespacios Vectoriales: Conceptos y Aplicaciones, Resúmenes de Matemáticas

¡Descarga Espacios y Subespacios Vectoriales: Conceptos y Aplicaciones y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

Definición de espacios y subespacios vectoriales, Propiedades.

Vuelo espacial y sistema de control

En el esquema se muestra un sistema con retroalimentación en ciclo cerrado que controla el

ángulo de inclinación de un transbordador durante el vuelo. Los símbolos de

empalme ⊗ muestran dónde se añaden las señales de diversos sensores a las señales de la

computadora que fluyen por la parte superior. Matemáticamente, las señales de entrada y salida

de un sistema de control son funciones, que puedan sumarse, como en el esquema, y

multiplicarse por escalares. Por esta razón, al conjunto de todas las posibles entradas

(funciones) se le denomina espacio vectorial.

LOGRO

Al finalizar la sesión, el

estudiante identifica y

diferencia un espacio

vectorial de un sub espacio

vectorial, utilizando los

axiomas y propiedades de

espacio vectorial de forma

correcta.

Temario

ESPACIOS Y SUBESPACIOS

VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES

1.1. AXIOMAS

1.2. OBSERVACIONES

1.3. EJERCICIOS RESUELTOS

2. SUBESPACIOS

VECTORIALES

2.1. EJERCICIOS

RESUELTOS

3. APLICACIONES

4.CONCLUSIONES

5. METACOGNICIÓN
   6. REFERENCIAS

BIBLIOGRAFICAS

1. ESPACIO VECTORIAL

DEFINICIÓN: Un espacio vectorial V , es un conjunto de objetos llamados vectores ,

junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar.

Sea el conjunto 𝑽 ≠ ∅ al cual se le asocia dos operaciones (una interna y otra externa) y

𝒙 ∈ 𝑽 , 𝒚 ∈ 𝑽 𝑦 𝜶 ∈ ℝ tal que:

• 𝑺𝑼𝑴𝑨(+): 𝑉𝑥𝑉 → 𝑉; entonces: 𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑽
• 𝑴𝑼𝑳𝑻𝑰𝑷𝑳𝑰𝑪𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑷𝑶𝑹 𝑼𝑵 𝑬𝑺𝑪𝑨𝑳𝑨𝑹 • : ℝ𝑥𝑉 → 𝑉 ;

entonces: 𝜶𝒙 ∈ 𝑽

1.1. AXIOMAS

Y que satisfacen los diez axiomas enumerados en el siguiente recuadro:

𝑨

𝟏

: Cerradura bajo la suma: 𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑽

𝑨

𝟐

: Ley asociativa de la suma de vectores:

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝒙 + (𝒚 + 𝒛)

𝑨

𝟑

: Ley conmutativa de la suma de vectores:

𝒙 + 𝒚 = 𝒚 + 𝒙

𝑨

𝟒

: Ley del elemento neutro aditivo:

𝒙 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒙 = 𝒙

𝑨

𝟓

: Ley del elemento inverso aditivo:

𝒙 + −𝒙 = 𝟎

𝑴

𝟏

: Cerradura bajo la multiplicación: 𝛂𝒙 ∈ 𝑽

𝑴

𝟐

: Primer ley distributiva de multiplicación:

𝜶 𝒙 + 𝒚 = 𝜶𝒙 + 𝜶𝒚

𝑴

𝟑

: Segunda ley distributiva de la multiplicación:

𝜶 + 𝜷. 𝒙 = 𝜶𝒙 + 𝜷𝒙

𝑴

𝟒

: Ley asociativa de la multiplicación:

𝜶. 𝜷. 𝒙 = 𝜶. (𝜷. 𝒙)

𝑴

𝟓

: Ley del elemento neutro multiplicativo:

𝒙. 𝟏 = 𝟏. 𝒙 = 𝒙

1.3. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Demostrar que el siguiente conjunto es un espacio vectorial:

𝒏

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

Resolución:

2. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial:

𝒏

𝒏

𝒏

𝒏−𝟏

𝒏−𝟏

𝒏−𝟐

𝒏−𝟐

𝟏

𝟎

𝒏

1.3. EJERCICIOS RESUELTOS

Resolución:

2. SUBESPACIO VECTORIAL

DEFINICIÓN: Se dice que 𝑯 es un subespacio vectorial 𝑽 si 𝑯 es un subconjunto no vacío

de 𝑽 y 𝑯 es un espacio vectorial junto a las operaciones de suma entre vectores y

Multiplicación por un escalar definidas para 𝑽.

Un subconjunto 𝑯 ≠ ∅ de un espacio vectorial 𝑽 , es un subespacio de 𝑽 si se cumplen las

dos reglas de cerradura: 𝑦 𝜶 ∈ ℝ tal que:

• 𝑺𝑼𝑴𝑨 + : 𝑺𝒊 𝒙 ∈ 𝑯 , 𝒚 ∈ 𝑯; entonces: 𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑯
• 𝑴𝑼𝑳𝑻𝑰𝑷𝑳𝑰𝑪𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑷𝑶𝑹 𝑼𝑵 𝑬𝑺𝑪𝑨𝑳𝑨𝑹 • : 𝑺𝒊 𝒙 ∈ 𝑯 y α ∈ ℝ; entonces: 𝜶𝒙 ∈ 𝑯

❖ Todo subespacio de un espacio vectorial 𝑽 contiene al 𝟎

❖ Un subespacio propio de un espacio vectorial 𝑽 es un subespacio

vectorial 𝑽 diferente de 𝟎 𝒚 𝑽

1. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de ℝ

2

2

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟎; ∀𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℝ , siendo a y b no ambos cero.

2.1. EJERCICIOS RESUELTOS

Resolución:

Sean los vectores: 𝑚, 𝑛 𝑦 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐿 𝑦 𝛼 ∈ ℝ

Por la definición de subespacio vectorial:

ℝ

ℝ

➢ Ordenando:

=𝟎

=𝟎

2

• 𝛼. 𝑚, 𝑛 = 𝛼ถ. 𝑚

ℝ

ℝ

➢ Factorizando 𝜶:

=𝟎

3. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de 𝑀

2𝑥

𝟏𝟏

𝟏𝟐

𝟐𝟏

𝟐𝟐

2𝑥

2.1. EJERCICIOS RESUELTOS

Resolución:

Sean los vectores: 𝑨 =

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

Por la definición de subespacio vectorial:

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

2𝑥

𝟏

𝟏

3. Aplicaciones

En una clase de matemática básica, el profesor Max, escribe los siguientes conjuntos en la

pizarra:

3

𝟏𝟏

𝟏𝟐

𝟐𝟏

𝟐𝟐

2𝑥

y les dice a sus estudiantes que aquel que determine cuál de los conjuntos es un subespacio

vectorial, tendrá un punto adicional en su examen T1. Juan afirma que 𝑃 es un subespacio

vectorial mientras que Lucas indica que el espacio vectorial es Q.

¿Quién obtendrá el punto adicional?

Resolución:

5. METACOGNICIÓN

6. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS