Transformaciones Lineales: Conceptos y Propiedades, Guías, Proyectos, Investigaciones de Álgebra Lineal

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TEMA V

TRABAJO DE INVESTIGACION

-TRANSFORMACIONES

LINEALES-

1. TRANSFORMACIONES LINEALES

Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones, por ejemplo. Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Sean espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Una función T de V en W transforma vectores de V en vectores de W Impondremos condiciones para que preserve las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que sea equivalente sumar y multiplicar por escalar las preimágenes en V como las imágenes en W Definición: Sean dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K T : V → W es una transformación lineal de V en si Observaciones:

1. Es usual denotar con los mismos símbolos + y ⋅ (símbolo que se omite) la suma y el producto por escalar definidos sobre los espacios vectoriales V y W como se hizo en la definición, que pueden ser diferentes.
2. T también se llama aplicación lineal.
3. T es transformación lineal ⇔ ∀a,b∈ K,∀u, v∈V,T(au + bv) = aT(u)+ bT(v)
4. Transformaciones lineales preservan combinaciones lineales.

Por otro lado, para todo escalar c Como se cumplen las dos condiciones: T es lineal. Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Algunas transformaciones lineales:

1. Transformación lineal Nula.
2. fijo

En particular, si c =1: Transformación lineal Identidad.

3. Sea Entonces es transformación lineal. Transformación determinada por la matriz A (El producto matricial está definido si los vectores se colocan como vectores columnas).

No son transformaciones lineales:

1. La función determinante ya que:
2. Si V es un espacio vectorial sobre K y la función traslación por el vector Vo definida por ya que

2. KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Definición:

Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo K, con dimV = n , dimW = m Sea T :V →W una transformación lineal. Entonces:

1. T es inyectiva ⇔ = r T n
2. T es sobreyectiva ⇔ = r T m Sean V ,W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, y T :V →W una transformación lineal. Entonces: {v1,v2,..., vn } genera a V ⇒ , ,..., {T (v1), T (v2),…, T(v n )} genera a ImT. O sea: Si {v1, v2,..., vn} es una base de V entonces ImT = {T (V1), T (V2),…,T(V n) } Sean V,W espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Sean {v1, v2,..., vn} una base de V y {w1,w2,...,wn }⊂ W un conjunto de n vectores arbitrarios Entonces existe una única transformación lineal T : V → W tal que T (vi ) = wi, i = 1,2,…, n O sea: una transformación lineal queda completamente determinada por sus imágenes en una base del dominio. La composición de transformaciones lineales es transformación lineal. Esto es: Si T : U → V, S : V → W son dos transformaciones lineales Entonces S T :U →W es transformación lineal. Sea: T: V → W una transformación lineal, con V W espacios vectoriales sobre K
3. T es invertible ⇔ existe T-1 : W → V / T-1 T= Iv, TT-1 = Iw Si T es invertible se dice que es un isomorfismo
4. T V → W transformación lineal invertible ⇒ 1T-1: W → V es transformación lineal.
5. (T-1)-1 = T Si T: V → W es un isomorfismo, se dice que los dos espacios vectoriales V y W son isomorfos o que V es isomorfo a W y se anota V ≅ W Si dos espacios vectoriales son isomorfos no significa que sean iguales, pero toda propiedad relacionada con la estructura de espacio vectorial que posea uno de ellos se transfiere al otro a través del isomorfismo Se cumple que: Dos espacios vectoriales finito dimensionales son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión Esto es, V, W espacios vectoriales de dimensión finita: V ≅ W ⇔ dimV = dimW

4. Núcleo e imagen de una transformación lineal

Teorema 1 Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,... , vn en V y todos los escalares a1, a2,... , an:

1. T(0) = 0
2. T(u - v) = Tu - Tv
3. T(a1v1 + a2v2 +.. .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +.. .+ anTvn Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W. n Teorema 2 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2,... , vn}. Sean w1, w2,... , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,... , n. Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v; es decir T1 = T2. Ejemplo Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
4. El núcleo de T, denotado por un, está dado por

T es el operador de proyección de R3 en el plano xy. Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2. Definición 2 Nulidad y rango de una transformación lineal Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define. Toda matriz A de m*n da lugar a una transformación lineal T:R´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

5. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

INTRODUCCIÓN

Los conceptos de valores propios y de vectores propios de transformaciones lineales o de matrices que estudiaremos son de importancia en: a  Aplicaciones de matemáticas, como:  Diagonalización de matrices  Rotación de ejes coordenados  Soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales  Otras disciplinas, como:

• economía
• biología
• física
• mecánica En esta parte, las matrices serán cuadradas y las funciones serán operadores lineales, esto es, transformaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo

Definición:  Los valores propios también se denominan valores característicos, autovalores o eigenvalores Los vectores propios también se denominan vectores característicos, autovectores o eigenvectores.  Si λ es valor propio de una matriz A, el conjunto W λ = { v ∈ Kn / Av = λ v } es subespacio vectorial de Kn llamado espacio propio de A asociado al valor propio λ (Observar que 0, ∈W λ pero 0 no es vector propio de A) Si λ es valor propio de una transformación lineal T, el conjunto Wλ = { v ∈ Kn / Av = λ v } es subespacio vectorial de V llamado espacio propio de T asociado al valor propio λ. (Observar que 0 , ∈Wλ pero 0 no es vector propio de T)  Sea A ∈ M (K) Entonces: Los valores λ que satisfacen esta ecuación, son los valores propios de A.

7. POLINOMIO CARACTERISTICO. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

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9. MATRIZ DIAGONALIZABLE

11. Representación Matricial de una Transformación

Lineal