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TAREA 1
1.- Dada la matriz 𝑨 = [
] 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝜽 ∈ [𝟎; 𝟐𝝅] y las curvas en coordenadas
polares 𝒓 = 𝟐
. Calcule las coordenadas polares de los puntos
de intersección de ambas curvas.
Hallando el determinante de la matriz A:
|𝐴| = 𝜃( 0 ) − ( 1 )(−sen𝜃 ) = sen𝜃
Para hallar los puntos de intersección de ambas curvas, se debe cumplir que:
2 sen𝜃 = 2 − 𝜃
4 sen𝜃 = 2
sen𝜃 =
Entonces para 𝜃 =
𝜋
6
el valor que toma 𝑟 = 1
De la misma manera para 𝜃 =
5 𝜋
6
el valor que toma 𝑟 = 1
Ahora verificamos si las curvas pasan por el polo, para ello evaluamos cuando 𝑟 = 0 para
ambas ecuaciones.
0 = 2 sen𝜃
sen𝜃 = 0 → 𝜃 = ( 0 ) = 0 , entonces la curva si pasa por el polo por el punto (0;0)
0 = 2 − 2 sen𝜃
2 sen𝜃 = 2
sen𝜃 = 1 → 𝜃 = ( 1 ) =
𝜋
2
, entonces la curva si pasa por el polo por el punto ( 0 ;
𝜋
2
Por lo tanto, los puntos de intersección de ambas curvas son:
1
2
3
Tal como se aprecia en la siguiente gráfica:
2.- Analice las simetrías de las siguientes curvas:
a. 𝒓 = 𝟐 +𝒄𝒐𝒔 𝜽
Simetría con respecto al eje polar.
Reemplazando 𝜃 𝑝𝑜𝑟 − 𝜃:
Por tanto, existe simetría con respecto al eje polar.
En el caso se tenga 𝑟 ≥ 0 → 𝑟 = √
𝜋
2
Simetría con respecto al eje polar.
Reemplazando 𝜃 𝑝𝑜𝑟 − 𝜃:
𝑟 = √𝑐𝑜𝑠 ( 2 𝜃) − 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) ….. Si hay simetría.
Por tanto, existe simetría con respecto al eje polar.
Simetría con respecto al eje
Reemplazando 𝜃 𝑝𝑜𝑟 𝜋 − 𝜃:
𝑟 = √𝑐𝑜𝑠 ( 2 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) ….. No hay simetría.
Reemplazando 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟 𝑦 𝜃 𝑝𝑜𝑟 − 𝜃:
𝑟 = −√𝑐𝑜𝑠 ( 2 𝜃) − 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) ….. No hay simetría.
Por tanto, no existe simetría con respecto al eje
Simetría con respecto al polo.
Reemplazando 𝜃 𝑝𝑜𝑟 𝜋 + 𝜃:
𝜃
….. No hay simetría
Reemplazando 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟:
𝜃
….. pertenece a la solución de la ecuación
Por tanto, existe simetría con respecto al polo.
3.- En la figura adjunta se muestran las gráficas de las siguientes curvas polares:
1
2
a. Calcule los puntos de intersección de ambas curvas.
Para ello, primero hallamos las diferentes ecuaciones que tomaría 𝐶
2
𝑛
𝑛
Por lo tanto, existe simetría con el eje polar.
4.- Dada la región mostrada en la figura adjunta, está definida por la parte exterior
de la circunferencia 𝑪 𝟏
𝟐
𝟐
= 𝟏𝟔 y la parte inferior del cardioide definido
por: 𝒓 = 𝟒 + 𝟒 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ≤ 𝟎
a. Escriba la ecuación de la curva 𝑪
𝟏
forma polar.
Sea:
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 sen𝜃 → 𝑥
2
2
Entonces tenemos que:
1
2
2
− 8 𝑟 sen 𝜃 + 16 − 16 = 0
1
2
2
2
) − 8 𝑟 sen 𝜃 = 0
1
2
− 8 𝑟 sen 𝜃 = 0
1
2
− 8 𝑟 sen 𝜃 + 16
sen 𝜃
2
sen 𝜃
2
1
: (𝑟 − 4 sen 𝜃 )
2
= 16 (sen 𝜃 )
2
1
: 𝑟 − 4 sen 𝜃 = 4 sen 𝜃
1
: 𝑟 = 8 sen𝜃
b. Exprese la región algebraicamente en coordenadas polares.
Sea 𝐶
1
: 𝑟 = 8 sen𝜃 simétrica al eje
𝜋
2
entonces el área estará definida por:
1
= 2 [
1
2
𝜋
2
0
( 8 sen𝜃 )
2
𝑑𝜃]
1
𝜋
2
0
(sen 𝜃 )
2
𝜋
2
0
𝜋
2
0
𝜋
2
0
1
= 32 [𝜃]
0
𝜋
2
− 16 [sen 2 𝜃 ]
0
𝜋
2
Por lo tanto, el área correspondiente a la región de la curva 𝐶
1
es:
1
Sea 𝐶
2
: 𝑟 = 4 + 4 sen 𝜃 simétrica al eje
𝜋
2
entonces el área estará definida por:
2
= 2 [
1
2
𝜋
2
0
( 4 + 4 sen 𝜃 )
2
𝑑𝜃]=
𝜋
2
0
2
𝜋
2
0
sen 𝜃 )
2
2
𝜋
2
0
𝜋
2
0
sen 𝜃 𝑑𝜃 + 16 ∫
𝜋
2
0
(sen 𝜃 )
2
𝑑𝜃 = 16 [𝜃]
0
𝜋
2
+ 32 [− 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ]
0
𝜋
2
𝜋
2
0
1 −𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
2
2
[
]
0
𝜋
2
[
sen 2 𝜃
]
0
𝜋
2
Por lo tanto, el área correspondiente a la región de la curva 𝐶
2
es:
2
Si 𝐶
1
2
entonces: 𝐴
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎
2
1
Por lo tanto, el área de la región sombreada es de:
2
Por tanto, existe simetría con respecto al
eje
Con respecto al polo.
Reemplazando 𝜃 𝑝𝑜𝑟 𝜋 + 𝜃:
𝑟 = 4 + (𝜃) ….. no hay simetría.
Reemplazando 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟:
….. no hay simetría
Por tanto, no existe simetría con
respecto al polo.
Extensión de la curva:
Tabulando:
θ 0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
2 𝜋
3
3 𝜋
4
5 𝜋
6
𝜋
7 𝜋
6
5 𝜋
6
5 𝜋
4
2 𝜋
3
5 𝜋
3
7 𝜋
4
11 𝜋
6
2 𝜋
r 4 2 1.17157 0.53589 0 0.53589 1.17157 2 4 6 6.82842 7.46410 8 7.46410 6.82842 6 4
Gráfica:
5.- Dada la región mostrada en la figura adjunta.
a. Escriba las ecuaciones de las curvas mostradas en la figura en forma
cartesiana
Si 𝑟 = 2 → 𝑟
2
2
2
2
2
− 4 = 0 , 𝑥 ∈ [ 0 ; 2 ]
Por lo tanto, 𝑟 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃
c. 𝒚 = 𝟒
Sea:
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 sen𝜃 → 𝑥
2
2
Entonces tenemos que:
𝑟 sen𝜃 = 4
Por lo tanto, 𝑟 =
sen 𝜃
7.- Dada la matriz 𝑨 = [
] 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝜽 ∈ [𝟎; 𝟐𝝅] y las curvas en
coordenadas polares 𝒓
𝟏
𝟐
a. En un mismo plano polar grafique las curvas dadas arriba.
1
2
= 2 − 2 sen 𝜃
Hallando los puntos de intersección de ambas curvas:
1
2
2
= 1 − sen 𝜃
sen 𝜃
2
= 1 − 2 sen𝜃 +
sen 𝜃
2
sen 𝜃
2
= 1 − 2 sen𝜃 +
sen 𝜃
2
→ 5 (sen𝜃 )
2
− 2 sen𝜃 − 3 = 0 → ( 5 sen𝜃 + 3 )(sen𝜃 − 1 ) = 0
→
( 5 sen𝜃 + 3
) = 0 ⋁ (sen 𝜃 − 1 ) = 0 → 𝜃 = (−
) ó 𝜃 =
( 1
)
Por lo tanto,
ó 𝜃 =
Entonces tenemos que los puntos de intersección de ambas curvas son:
1
2
2
Gráfica:
b. Grafique la región que esta fuera de la curva polar 𝒓 𝟐
y que está dentro de la
curva polar 𝒓
𝟏
