¡Descarga Limitas y continuidad de funciones en el espacio euclidiano - Capítulo 2 y más Apuntes en PDF de Derecho solo en Docsity!
March 25, 2010 CAP´ITULO 2: L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCL´IDEO
- Producto Escalar en Rn
Definici´on 1.1. Dado x = (x 1 ,... , xn), y = (y 1 ,... , yn) ∈ Rn, su producto escalar est´a definido como
x · y = 〈x, y〉 =
∑^ n
i=
xiyi
Ejemplo 1.2. (2, 1 , 3) · (− 1 , 0 , 2) = −2 + 6 = 4
Observaci´on 1.3. x · y = y · x.
Definici´on 1.4. Dado x = (x 1 , · · · , xn) ∈ Rn^ definimos su norma por
‖x‖ =
x · x =
x^21 + · · · + x^2 n
Ejemplo 1.5. Ejemplo: ‖(− 1 , 0 , 3)‖ =
Observaci´on 1.6. La siguiente es la interpretaci´on de la norma:
- La magnitud ‖x‖ es la distancia desde x al origen.
- Tambi´en podemos interpretar ‖x‖ como la longitud del vector x.
- La magnitud ‖x − y‖ es la distancia entre x e y.
Observaci´on 1.7. Sea θ el ´angulo entre u y v. Entonces
cos θ =
u · v ‖u‖‖v‖
- El Espacio Eucl´ıdeo Rn
Definici´on 2.1. Sea p ∈ Rn^ y r > 0, se define la bola abierta con centro p y radio r como el conjunto
B(p, r) = {y ∈ Rn^ : ‖p − y‖ < r}
y la bola cerrada con centro p y radio r como el conjunto
B(p, r) = {y ∈ Rn^ : ‖p − y‖ ≤ r}
Observaci´on 2.2.
- Recordemos que ‖p − y‖ es la distancia de p a y.
- Para n = 1, se tiene que B(p, r) = (p − r, p + r) y B(p, r) = [p − r, p + r]. 1
[ ] ( )
p - r p^ p + r^ p - r p^ p + r B(p,r) B(p,r)
- Para n = 2, 3 las bolas cerradas son
n = 2 (^) n = 3
- Para n = 2, 3 las bolas abiertas son
n = 2 (^) n = 3
Definici´on 2.3. Sea S ⊂ Rn. Se dice que p ∈ Rn^ es un punto interior de S si existe r > 0 tal que B(p, r) ⊂ S.
Notaci´on:
◦ S es el conjunto de puntos interiores de^ S.
Observaci´on 2.4. Observemos que
◦ S⊂^ S^ porque^ p^ ∈^ B(p, r) para todo^ r >^ 0.
Ejemplo 2.5. Consideremos S ⊂ R^2 , S = [1, 2] × [1, 2]. Entonces
◦ S= (1,^ 2)^ ×^ (1,^ 2).
Comp´arese este ejemplo con el ejemplo anterior.
Ejemplo 2.10. La bola abierta B(p, r) es un conjunto abierto.
Ejemplo 2.11. La bola cerrada B(p, r) no es un conjunto abierto, puesto que ◦ B(p, r)= B(p, r) 6 = B(p, r).
B(p,r) (^) B(p,r)^ º = B(p,r)
Ejemplo 2.12. Consideremos el conjunto S = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x 6 = y}.
Entonces
◦ S=^ {(x, y)^ ∈^ R^2 :^ x^2 +^ y^2 <^1 , x^6 =^ y}. Por lo que,^ S^ no es abierto.
S (^) Sº
Proposici´on 2.13.
◦ S es el conjunto abierto mas grande contenido en^ S. (Es decir, ◦ S es un conjunto abierto,^
◦ S⊂^ S^ y si^ A^ ⊂^ S^ es otro conjunto abierto, entonces
A ⊂
◦ S).
Definici´on 2.14. Sea S ⊂ Rn. Un punto p ∈ Rn^ es un punto de clausura de S si para cada r > 0 se tiene que B(p, r) ∩ S 6 = ∅.
Notaci´on: S¯ es el conjunto de puntos de clausura de S.
Ejemplo 2.15. Consideremos el conjunto S = [1, 2) ⊂ R. Entonces, los puntos 1 , 2 ∈ S¯. Pero, 3 ∈/ S¯.
(^1 )
[
S
Ejemplo 2.16. Consideremos el conjunto S = B ((0, 0), 1) ⊂ R^2. Entonces, el punto (1, 0) ∈ S¯. Pero, el punto (1, 1) ∈/ S¯.
(1,0)
S
(1,1)
Ejemplo 2.17. Sea S = [0, 1], T = (0, 1). Entonces S¯ = T¯ = [0, 1].
Ejemplo 2.18. Sea S = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x 6 = y}. Entonces, S¯ = B ((0, 0), 1).
S (^) S
Ejemplo 2.19. B(p, r) es la clausura de la bola abierta B(p, r).
Observaci´on 2.20. S ⊂ S¯.
Definici´on 2.21. Un conjunto F ⊂ Rn^ es cerrado si F = F¯.
Proposici´on 2.22. Un conjunto F ⊂ Rn^ es cerrado si y s´olo si Rn^ \ F es abierto.
Ejemplo 2.23. El conjunto [1, 2] ⊂ R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂ R no lo es.
Ejemplo 2.24. El conjunto B(p, r) es cerrado. Pero, el conjunto B(p, r) no lo es.
Ejemplo 2.25. El conjunto S = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x 6 = y} no es cerrado.
Proposici´on 2.26. La clausura S¯ de S es el conjunto cerrado mas peque˜no que contiene a S. (Es decir S¯ es cerrado, S ⊂ S¯ y si F es otro conjunto cerrado que contiene a S, entonces S¯ ⊂ F ).
Definici´on 2.27. Sea S ⊂ Rn, se dice que p ∈ Rn^ es un punto frontera de S si para cada r > 0, se tiene que,
(1) B(p, r) ∩ S 6 = ∅. (2) B(p, r) ∩ (Rn^ \ S) 6 = ∅.
(1) La intersecci´on finita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto (cerrado). (2) La uni´on finita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto (cerrado).
Definici´on 2.34. Un conjunto S ⊂ Rn^ es acotado si existe alg´un n´umero real R > 0 y un punto p ∈ Rn^ tales que S ⊂ B(p, R).
Ejemplo 2.35. La recta V = {(x, y, z) ∈ R^3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado.
Ejemplo 2.36. La bola B(p, M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado.
Definici´on 2.37. Un subconjunto S ⊂ Rn^ es compacto S si es cerrado y acotado.
Ejemplo 2.38. S = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x 6 = y} no es compacto (es acotado pero no cerrado).
Ejemplo 2.39. B(p, R) no es compacto (es acotado pero no cerrado).
Ejemplo 2.40. B(p, R) es compacto.
Ejemplo 2.41. (0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
Ejemplo 2.42. [0, 1] × [0, 1] es compacto.
Definici´on 2.43. Un subconjunto S ⊂ Rn^ es convexo si para cualquier x, y ∈ S y λ ∈ [0, 1] se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S.
Ejemplo 2.44. Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rm^ definimos
S = {x ∈ Rn^ : Ax = b}
como el conjunto de soluciones del sistema lineal Ax = b. Supongamos que tenemos dos soluciones del sistema x, y ∈ S, entonces se verifica que Ax = Ay = b. Si ahora tomamos 0 ≤ t ≤ 1 (en realidad el razonamiento que sigue es v´alido para cualquier t ∈ R) entonces
A(tx + (1 − t)y) = tAx + (1 − t)Ay = tb + (1 − t)b = b
es decir tx + (1 − t)y ∈ S por lo que el conjunto de soluciones de un sistema lineal es un conjunto convexo.
Ejemplo 2.45. El conjunto S = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x 6 = y} no es convexo.
S
x
y
- Funciones de Varias Variables Vamos a estudiar funciones f : Rn^ → R.
Ejemplo 3.1.
- f : R^2 → R definida por f (x, y) = x + y − 1 o por f (x, y) = x sen y
- f : R^3 → R definida por
f (x, y, z) = x^2 + y^2 +
1 + z^2 o por f (x, y, z) = zex
(^2) +y 2
- f : R^4 → R definida por f (x, y, z, t) = sen x + y + zet. A veces consideraremos funciones f : Rn^ → Rm^ como por ejemplo, f : R^3 → R^2 definida por f (x, y, z) = (xey^ + sen z, x^2 + y^2 − z^2 )
Pero si se define f (x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z)) con
f 1 (x, y, z) = xey^ + sen z, f 2 (x, y, z) = x^2 + y^2 − z^2
entonces f (x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z)) por lo que nos centraremos s´olo en funciones f : Rn^ → R.
Observaci´on 3.2. Cuando se define
f (x, y, z) =
x + y + 1 x − 1
se debe entender que x 6 = 1. Es decir, la expresi´on de f define impl´ıcitamente el dominio de la funci´on. Por ejemplo, para la funci´on anterior es necesario que x + y + 1 ≥ 0 y x 6 = 1. Por tanto, consideramos impl´ıcitamente que la funci´on f (x, y, z) =
√x+y+ x− 1 est´a definida en el dominio D = {(x, y) ∈ R^2 : x + y ≥ − 1 , x 6 = 1} Usualmente, se define f : D ⊂ Rn^ → R cuando se quiere poner de manera expl´ıcita el dominio de f.
- Conjuntos y Curvas de Nivel
Definici´on 4.1. Dada f : D ⊂ Rn^ → R y k ∈ R se define el conjunto de nivel de f como el conjunto
Ck = {x ∈ D : f (x) = k}.
Si n = 2, el conjunto de nivel se llama curva de nivel.
Ejemplo 4.2. Las curvas de nivel de f (x, y) = x^2 + y^2 son
Las flechas indican la direcci´on en la que f crece.
Ejemplo 4.3. Las curvas de nivel de f (x, y) = x^2 − y^2 son
Las flechas indican la direcci´on en la que f crece.
Ejemplo 4.4. Las curvas de nivel f (x, y) = 2x + 3y son
Las flechas indican la direcci´on en la que f crece.
- L´ımites y Continuidad
Definici´on 5.1. Sea f : D ⊂ Rn^ → R y L ∈ R, p ∈ Rn. Se dice que
lim x→p f (x) = L
si dado ε > 0 existe alg´un δ > 0 tal que
|f (x) − L| < ε
siempre que 0 < ‖x − p‖ < δ.
Esto es una generalizaci´on del concepto de l´ımite de funciones de una variable a funciones de varias variables, una vez se reemplace la distancia | | en R por la distancia ‖ ‖ en Rn). Se observa que la interpretaci´on es la misma, e.j., |x − y| es la distancia de x a y en R y ‖x − y‖ es la distancia de x a y en Rn.
Proposici´on 5.2. Sea f : Rn^ → R y supongamos que existen dos n´umeros, L 1 y L 2 que satisfacen la anterior definici´on de l´ımite. Es decir, L 1 = limx→p f (x) y L 2 = limx→p f (x). Entonces L 1 = L 2
Observaci´on 5.3. El c´alculo de l´ımites de funciones de varias variables es m´as complicado que el c´alculo de l´ımites de funciones con una sola variable.
Ejemplo 5.7. σ(t) = (2t, t + 1), t ∈ R.
1
2
3
4
Ejemplo 5.8. σ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ R.
Ejemplo 5.9. σ(t) = (cos(t), sen(t),
t), σ : R → R^3.
- 1.0 (^) - 0.5 (^) 0.0 (^) 0.
- 1.0^ - 0.
0.0^ 0.
0
1
2
3
4
Proposici´on 5.10. Sea p ∈ D ⊂ Rn^ y f : D ⊂ Rn^ → R. Consideremos una curva σ : [−ε, ε] → D tal que σ(t) 6 = p si t 6 = 0 y limt→ 0 σ(t) = p. Supongamos que limx→p f (x) = L. Entonces, lim t→ 0 f (σ(t)) = L
Observaci´on 5.11. La anterior proposici´on es ´util para demostrar que un l´ımite no existe o para calcular el valor del l´ımite si se conoce que el l´ımite existe. Pero, no puede ser utilizada para probar que un l´ımite existe, puesto que una de las hip´otesis de la proposici´on es que el l´ımite existe.
Observaci´on 5.12. Sea f : D ⊂ R^2 → R. Sea p = (a, b) consideremos las siguientes curvas σ 1 (t) = (a + t, b) σ 2 (t) = (a, b + t)
Observemos que
lim t→ 0 σi(t) = (a, b) i = 1, 2
Entonces, si
lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = L
se tiene que, lim x→a f (x, b) = lim y→b
f (a, y) = L
Observaci´on 5.13. L´ımites Iterados Supongamos que lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = L y que los siguientes l´ımites unidimen- sionales
lim x→a f (x, y) lim y→b
f (x, y)
existen para (x, y) en una bola B((a, b), R). Definimos las funciones
g 1 (y) = lim x→a f (x, y)
g 2 (x) = lim y→b f (x, y)
Entonces,
xlim→a
lim y→b f (x, y)
= lim x→a g 2 (x) = L
lim y→b
lim x→a f (x, y)
= lim y→b
g 1 (y) = L
Observamos de nuevo que, es posible aplicar esta proposici´on para calcular el l´ımite si se sabe de antemano que ´este existe. Tambi´en, si para alguna funci´on f (x, y) podemos probar que
lim x→a lim y→b f (x, y) 6 = lim y→b lim x→a f (x, y)
entonces lim(x,y)→(a,b) f (x, y) no existe. Sin embargo, las relaciones anteriores no pueden ser utilizadas para demostrar que el lim(x,y)→(a,b) f (x, y) existe.
Ejemplo 5.14. Consideremos la funci´on,
f (x, y) =
{ (^) x (^2) −y 2 x^2 +y^2 si (x, y)^6 = (0,^ 0), 0 si (x, y) = (0, 0).
Observemos que
lim x→ 0 lim y→ 0 f (x, y) = lim x→ 0 f (x, 0) = lim x→ 0
x^2 x^2
pero,
lim y→ 0 lim x→ 0 f (x, y) = lim y→ 0 f (0, y) = lim y→ 0
−y^2 y^2
Vamos a demostrar que lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0. Dado ε > 0 tomamos δ = ε.
Si 0 < ||(x, y)|| =
x^2 + y^2 < δ. Entonces,
|f (x, y) − 0 | = |y| =
y^2 ≤
x^2 + y^2 < δ = ε
por lo que,
lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = 0
Pero, limx→ 0 f (x, y) no existe para y 6 = 0 porque si y 6 = 0 los l´ımites por la derecha y por la izquierda,
lim x→ 0 +
f (x, y) = y
lim x→ 0 −^
f (x, y) = −y
no coinciden. Por tanto, el l´ımite limx→ 0 f (x, y) no existe para y 6 = 0.
Ejemplo 5.17. Consideremos la funci´on,
f (x, y) =
x^2 y x^4 +y^2 if (x, y)^6 = (0,^ 0), 0 if (x, y) = (0, 0).
cuyo gr´afico es el siguiente
Notemos que
lim x→ 0 lim y→ 0 f (x, y) = lim x→ 0 f (x, 0) = lim x→ 0
x^4
pero,
lim y→ 0 lim x→ 0 f (x, y) = lim y→ 0 f (0, y) = lim y→ 0
y^2
Adem´as, si consideramos la curva σ(t) = (t, t) y calculamos
lim t→ 0
f (t, t) = lim t→ 0
f (t, t) = lim t→ 0
t^3 t^4 + t^2
vemos que este l´ımite coincide con el valor de los l´ımites iterados.
As´ı, que algunas personas podr´ıan concluir de manera err´onea que el l´ımite siguiente existe
lim (x,y)→(0,0)
x^2 y x^4 + y^2
Pero esto no es cierto...porque, si tomamos la curva σ(t) = (t, t^2 ) y calculamos
lim t→ 0 f (t, t^2 ) = lim x→ 0 f (t, t^2 ) = lim t→ 0
t^4 t^4 + t^4
concluimos que el l´ımite
lim (x,y)→(0,0)
x^2 y x^4 + y^2 no existe.
Teorema 5.18 ( Algebra de l´´ ımites). Consideremos dos funciones f, g : D ⊂ Rn^ → R y supongamos lim x→p f (x) = L 1 , lim x→p g(x) = L 2
Entonces,
(1) limx→p (f (x) + g(x)) = L 1 + L 2.
- Continuidad de funciones y conjuntos abiertos/cerrados
Teorema 8.1. Sea D ⊂ Rn^ y sea f : D → Rm. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes.
(1) f es continua en D. (2) Si {xn}∞ n=1 es una sucesi´on en D que converge al punto p ∈ D, entonces la sucesi´on {f (xn)}∞ n=1 converge al punto f (p). (3) Dado un conjunto abierto U de Rm, el conjunto f −^1 (U ) es de la forma f −^1 (U ) = G ∩ D, para alg´un conjunto abierto G ⊂ Rn. (4) Para cada conjunto cerrado V de Rm, el conjunto f −^1 (V ) es de la forma f −^1 (V ) = F ∩ D, para alg´un conjunto cerrado F ⊂ Rn.
Teorema 8.2. Sea f : Rn^ → Rm. Entonces, las siguientes condiciones son equiva- lentes.
(1) f es continua en Rn. (2) Dado un conjunto abierto U de Rm, el conjunto f −^1 (U ) es abierto en Rn. (3) Para cada conjunto cerrado V de Rm, el conjunto f −^1 (V ) es cerrado en Rn.
Teorema 8.3. Supongamos que f 1 ,... , fk : Rn^ → R son funciones continuas. Consideremos −∞ ≤ ai ≤ bi ≤ +∞, i = 1,... , k. Entonces,
(1) El conjunto {x ∈ Rn^ : ai < fi(x) < bi, i = 1,... , k} es abierto. (2) El conjunto {x ∈ Rn^ : ai ≤ fi(x) ≤ bi, i = 1,... , k} es cerrado.
- Puntos extremos y fijos
Definici´on 9.1. Sea f : D ⊂ Rn^ → R. Se dice que un punto p ∈ D es un
(1) m´aximo global de f en D, si f (x) ≤ f (p) para cualquier otro punto x ∈ D. (2) m´ınimo global de f en D, si f (x) ≥ f (p) para cualquier otro punto x ∈ D. (3) m´aximo local de f en D, si existe alg´un δ > 0 tal que f (x) ≤ f (p) para todo punto x ∈ D ∩ B(p, δ). (4) m´ınimo local de f en D, si existe alg´un δ > 0 tal que f (x) ≥ f (p) para todo punto x ∈ D ∩ B(p, δ).
Ejemplo 9.2. En el dibujo siguiente el punto A es un m´aximo local pero no global, mientras que el punto B es un m´aximo local y global.
A B
Teorema 9.3 (Teorema de Weiestrass). Sea D ⊂ Rn^ un subconjunto compacto de Rn^ y sea f : D → R continua. Entonces, existen x 0 , x 1 ∈ D tal que para cualquier x ∈ D
f (x 0 ) ≤ f (x) ≤ f (x 1 )
Es decir, x 0 es un m´ınimo global de f en D y x 1 es un m´aximo global de f en D.
Teorema 9.4 (Teorema de Brouwer). Sea D ⊂ Rn^ un subconjunto compacto, convexo y no vac´ıo de Rn. Sea una funci´on f : D → D continua, entonces existe un punto p ∈ D tal que f (p) = p.
Observaci´on 9.5. Si f (p) = p, entonces p se denomina un punto fijo de f.
Observaci´on 9.6. Observemos que
(1) Un subconjunto de R es convexo si y s´olo si es un intervalo. (2) Un subconjunto de R es convexo y cerrado si y s´olo si es un intervalo cerrado. (3) Un subconjunto X de R es convexo, cerrado y acotado si y s´olo si X = [a, b].
Ejemplo 9.7. Cualquier funci´on continua f : [a, b] → [a, b] tiene un punto fijo. Gr´aficamente,
a b
a
b
- Aplicaciones
Ejemplo 10.1. Consideremos el conjunto A = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 2 }. Como la funci´on f (x, y) = x^2 + y^2 es continua, el conjunto A es cerrado. Como tambi´en est´a acotado, el conjunto A es compacto. Consideremos ahora la funci´on
f (x, y) =
x + y
cuya gr´afica es la siguiente
