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MATEMÁTICAS ll.-EXAMEN PROBLEMAS.-MAYO 2013 Los alumno/as del grupo A, entregan el examen todo junto. Los alumnos/as de los grupos B, C o D entregan cada problema por separado No hagan el examen a lápiz. Usen boligrafo azul o negro. Problema 4 (3 puntos) Sea f:R> R?, definida por A («+y,y+2,x+2) y B,=((2,1,1),(1,0,1).(0,0,1)), B, =((=1,0, 0),(0,-1,1),(1,0,—1)) . Considera B* la base canónica de R* a 1. Comprueba que .f es una aplicación lineal ¿Son B, y B, bases de R??, Demuéstralo Calcula la matriz de cambio de base M (8, 82) y M(B,, B ) Calcula la matriz asociada a f en la base canónica de R?, M ( LA B?) O Y Calcula M (f, B,, B,), la matriz asociada a f enlas bases B, y B,. Calcularlo como aplicación de la relación que existe entre las matrices asociadas a una aplicación lineal en distintas bases considerando las bases B,, B, dadas y la base canónica del espacio R*. Problema 2 (3.5 puntos) Sean los planos 7 =x+2y+2=1; 7,=ax+y+a2=1; 71, =ax+y+22=1 donde a es un parámetro real. 1. Estudia de forma detallada la posición de los tres planos en el espacio según el valor de a. Si forman un triedro calcula el punto de corte, si constituyen un haz de planos calcula su eje común y si son paralelos especifica si son paralelos los tres o si hay dos paralelos y otro que los corta. 2. Considera el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas formado por los tres planos para el valor a=1. Calcula la matriz de Jacobi. Estudia si el sistema es de matriz estrictamente dominante por filas o por columnás. Estudia la convergencia del método de Jacobi utilizando la norma 1 y la norma infinito. Escribe la primera iteración del método de Jacobi partiendo del 1 vector inicial x” =[ 0 |. 1 Problema 3 (3.5 puntos) 000 ño e Dada la cuádrica: (2,y,2) 4 y +2(-1,0,3) y |+5=0,siendo A=|0 0 = za Z o 2 1. Escribe su ecuación analítica o explicita 2. Calcula autovalores, autovectores y subespacios invariantes de la matriz A 3. ¿Cuál es la multiplicidad algebraica y geométrica de cada uno de los autovalores? 4. Estudia'si A es diagonalizable. Calcula su matriz de paso P para la diagonalización y calcula su inversa a E El A 5. Escribe la matriz diagonal! D y la fórmula que relaciona la matriz A con su diagonal 6. Calcula la ecuación reducida de la cuádrica señalando el cambio de variable que corresponde al giro de la superficie y el cambio de variable que corresponde a su translación al origen de coordenadas 7. ¿De que cuádrica se trata? MATEMÁTICAS l1.- EXAME PROBLEMAS.- MAJO 2013 Os alumnos/as, do grupo A, entregan o exame todo xunto. Os alumnos/as dos grupos B, C ou D entreguen cada problema por separado Non fagan o exame a lapis. Usen bolígrafo azul o negro. Problema 1 (3 puntos) Sexa f:R* > R?, definida por Flo y,2)=(2+y,y+2,x+2) e 3, =((2.11),(1,0,1),(0,0,1)),. 8, =((-1.0,0),(0,-1,1).(1,0,-1)). Considera B? a base canónica de R*? 1. Comproba que f é unha aplicación linear Son B, e B, bases de R*?, Demóstrao 2 3. Calcula a matriz de cambio de base M(B,,B:) e M(B,.B:) 4. Calcula a matriz asociada a f na base canónica de R', Ms, B:,B2) 5 Calcula MS, B,.B,). a matriz asociada a f' nas bases B, e B,. Calcúlao como aplicación da relación que existe entre as matrices asociadas a unha aplicación linear en distíntas bases considerando as bases B,, B, dadas, e a base canónica do espacio R?, Problema 2 (3.5 puntos) Sexan os planos 71 =x+2y+2=1;7,=0x+y+a2=1; 7, =0x+y+2z=1 onde a é un parámetro real. 1. Estuda de forma detallada a posición dos tres planos no espazo según o valor de a. Se forman un triedro calcula o punto de corte, se constitúen un feixe de planos calcula o seu eixo común e se son paralelos especifica se son paralelos os tres ou se hai dous paralelos e outro que os corta. 2. Considera o sistema de tres ecuacións e tres incógnitas formado polos tres planos para o valor a=1. Calcula a matriz de Jacobi. Estuda se o sistema é de matriz estritamente dominante por filas ou por columnas. Estuda a converxencia do método de Jacobi utilizando a norma 1 e a norma infinito. Escribe a primeira iteración do método de Jacobi partindo do vector 1 inicial x =| 0 |. 1 Problema 3 (3.5 puntos) 110100 x ba 4 Dada a cuádrica: (x, y,z) 4] y [+2(-1,0,3) y |+5=0,sendo A=|0 0 a z de 1 2 1. Escribe a súa ecuación analítica ou explícita 2. Calcula autovalores, autovectores e subespacios invariantes da matriz A 3. Cáléa multiplicidade alxébrica e xeométrica de cada un dos autovalores? 4. Estuda se A é diagonalizable. Calcula a súa matriz de paso P para a diagonalización e calcula a súa inversa 5. Escribe a matriz diagonal D e a fórmula que relaciona a matriz A coa súa diagonal 6. Calcula a ecuación reducida da cuádrica señalando o cambio de variable que corresponde ao xiro da superficie e o cambio de variable que corresponde á súa translación a orixe de coordenadas 7. ¿De que cuádrica se trata? 
