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MATEMÁTICAS I
EXAMEN CUESTIONES
JULIO 2012
Cuestión 1 (1 punto)
Enunciado del teorema de Rolle
Solución
Sea f : a b , . Si f es continua en el intervalo cerrado a b , y derivable en
el abierto a b , y si f a f b , entonces existe al menos un punto x 0 a b , tal que
f ^ x 0 0
Cuestión 2 (1 punto)
Si la función f x es derivable en y presenta un mínimo relativo en x 2 (no
presenta más extremos en ) y construimos una nueva función
2 h x 3 f x , ¿en qué
puntos la función h tendrá tangente horizontal?
Solución
En x 2 y en aquellos puntos que anulen f x
2 h x 3 f x es derivable en y la función tiene tangente horizontal en aquellos puntos
en los que su derivada se anula. h ' x 6 f ' x f x luego tiene tangente horizontal en
x 2 y en aquellos puntos que anulen f x
Cuestión 3 (1 punto)
Calcula los límites reiterados en el punto 0, 0, de la función:
x y si y x f x y x y
si y x
Solución:
0 0 0 0
lim lim lim lim1 1 x y x x
x y x
(^) x y (^) x
^ ^
0 0 0 0
lim lim lim lim 1 1 y x y x
x y y
(^) x y (^) y
Cuestión 4 (1 punto)
Calcula los límites direccionales según las rectas y mx , en el punto 0, 0, de la
función de la cuestión 3
Solución:
, 0,
, 0,0 0
lim
lim lim 1
x y
x mx x
x y
x y
x y x mx m
x y x mx m
Cuestión 5 (1 punto)
¿Es la función F x tg x x una primitiva de la función
2 f x tg x?
(justifica la respuesta)
Solución
Si, pues se verifica F ' x f x
cos
senx F x x x
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos 1 1 cos ' 1 1 cos cos cos cos
x sen x x sen x F x tg x x x x x
Cuestión 6 (1 punto)
Dada la función f : a b , , escribe la fórmula de Simpson simple (para dos
intervalos) que nos permite aproximar
b
a
f x dx
Solución
( )^4 (^ )^ ( )
b
a
b a a b f x dx f a f f b
Cuestión 7 (1 punto)
Dada ,
D
f x y dxdy
, siendo
3 f x y , x y cos x y
2 , / 0 ; 2
D x y x y x
¿Cuál es la igualdad correcta? Márcala con una
cruz.
2 3 0 0
, cos
x
D
f x y dxdy x y x dx dy
(^)
2 3 0 0
, cos
x
D
f x y dxdy x y x dx dy
2 3 0 0
, cos
x
D
f x y dxdy x y x dy dx
MATEMÁTICAS I
EXAMEN PROBLEMAS
JULIO 2012
Problema 1 (2,5 puntos)
Dada la función: 2
3
x
x f x , estudia:
a) Dominio. Continuidad. derivabilidad
b) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos indicando si alguno de ellos es
absoluto.
c) Asíntotas y posición de las mismas
Solución:
a)
3
x
x f x
Df , 0 2 ,
la función es continua en todo su dominio y derivable en D f ' ,0 2,
3
'
f
x (^) x f x x D x x x
b)
3
3
' 0 ( ,0) (2,3) decreciente en este intervalo 2 2
' 0 (3, ) creciente en este intervalo 2 2
x (^) x f x x f x x x
x (^) x f x x f x x x
f '( ) x 0 x 3 Teniendo en cuenta que la función decrece a la izquierda de 3 y crece a
la derecha de 3, (^) x 3 es mínimo relativo
Otro posible extremo es x 0 , y teniendo en cuenta que la función decrece a la izquierda de
este punto, (a la derecha no está definida), se trata de un mínimo relativo.
f
(0) 0 y como , ( ) 0, x D podemos afirmar que es absoluto
f
f f x
c)
3
2
lim 2 x 2
x x x
Asíntota vertical por la derecha.
Asíntotas generales
3
3 2
3 3
x x
x lim
x x
x
x
x
x x
f x lim
x
x y x 1 , AO a la derecha
3
3 2
3 3
x x
x lim
x x
x
x
x
x
lim
x
x y x 1 , AO a la izquierda
Posición asíntotas
A la derecha
3
lim 1 0 x 2
x x x
^ ^
curva por encima de la asíntota
A la izquierda
3
lim 1 0 x 2
x x x
^ ^
curva por encima de la asíntota
No hay asíntotas horizontales
Puntos críticos (- 2,0), ( 2,0), (1,1), (1,-1)
Clasificación de puntos críticos.
Cálculo del hessiano
xx
yy
xy
f x y x
f x y x
f x y y
( 2 ,0)
36(1 2 2) 0 , (0,0) 6 2 0 ( 2,0) maximo local 0 6( 2 1)
xx H f
( 2 ,0)
36(1 2 2 0 (0,0) 6 2 0 (0,0) minimo local 0 6(1 2)
H fxx
(1,1)
(1, 1)
36 0 (1,1) punto silla 6 0
36 0 (1,-1) punto silla 6 0
H
H
b. 1,1 gra (^) 1,1 (^) 1,1 , 1,1 (^) 0, (^12) x y f d f f f
Problema 3 (2,5 puntos)
Al girar la región situada entre la gráfica de
f ( ) x x
y el eje OX, x 1 se forma un
sólido denominado “cuerno de Gabriel”o “trompeta de Torricelli”
- Estudia si el área de esta región es finita.
- Estudia si es finito el volumen de este sólido.
- Estudia si es finita el área limitada por
f ( ) x x
y las rectas x 0, x 1
Solución:
- Integral impropia de primera especie
1 1 1
lim lim ln lim ln
t (^) t
t t t
A dx dx x t x x
la región no es finita
- Integral impropia de primera especie
2 2
1 1 1
lim lim
t t
t t
V dx dx x x x
el volumen es finito
- Integral impropia de segunda especie
(^1 1 )
(^0 0 0 )
lim lim ln lim ln t t t t t
A dx dx x t x x ^ ^
el area no es finita
Problema 4 (2,5 puntos)
Dada la ecuación diferencial
2 2
3 4
x y x dx dy y y
- Calcula la solución general
- Calcula la solución particular pasando por el punto (1,1).
Solución:
2 2 2 2
3 4 3 4
2
6 4 4
x y x x y x dx dy M x y N x y y y y y
M xy x N x
y y y x y
La ecuación es exacta.
Resolvemos la ecuación:
2 2
3 4
x y x dx dy y y
2 2 2 2
3 3 4 4 2
x
x x u x y x u x y dx g y g y g y y y y y y y
2
y
g y dy y y
y sustituyendo en el resultado anterior
2
3
x 1 C y y
solución general
- La solución particular en (1,1) es:
2
3
x
y y
puesto que para (1,1)
2
3
x C C y y
