Apuntes de Matemáticas 1
ADE y Economía
Departament de Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica
Universitat d’Alacant
Josep E. Peris & Begoña Subiza
Mètodes Quantitatius i TeoriaEconòmica
licensed under a Creative Commons
Internacional License
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Asignatura: Matematicas I, Profesor: , Carrera: Administració i Direcció d'Empreses, Universidad: UA
Tipo: Apuntes
2015/2016
1 / 35
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Apuntes de Matemáticas 1
ADE y Economía
Departament de Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica
Universitat d’Alacant
Josep E. Peris & Begoña Subiza Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica licensed under a Creative Commons Internacional License
El concepto de infinito: +∞, −∞ (no son números reales), como límites de la recta real. Unos subconjuntos de números reales que aparecerán a menudo son los intervalos. Éstos pueden ser abiertos, cerrados, o ni abiertos ni cerrados. También pueden ser acotados o no acotados.
Intervalos de números reales:
- Intervalo abierto: ( a , b ) = { x ∈ R : a < x < b }
- Intervalo cerrado: [ a , b ] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b }
- Intervalo no abierto, no cerrado: ( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b }; [ a , b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b }
- Intervalo no acotado: ( a , +∞) = { x ∈ R : a < x < +∞} (nótese que la última desigualdad no es necesaria, ya que todo número real la cumple); éste es un intervalo abierto [ a , +∞) = { x ∈ R : a ≤ x < +∞} = { x ∈ R : a ≤ x }; éste intervalo es cerrado (−∞, b ) = { x ∈ R : −∞ < x < b } = { x ∈ R : x < b }; abierto (−∞, b ] = { x ∈ R : x ≤ b }; cerrado (−∞, +∞) = { x ∈ R : −∞ < x < +∞} = R
El concepto de valor absoluto es útil para definir intervalos y otros subconjuntos de números reales.
Definición 1 Valor absoluto de un número real: tres definiciones equivalentes
1. | x |=
x si x ≥ 0 − x si x < 0
2. | x |= +
p x^2
3. | x |= m´ax{ x , − x } Usando el valor absoluto, se definen los siguientes subconjuntos de números reales: Intervalo abierto de centro a y radio r : { x ∈ R :| x − a |< r } = ( a − r , a + r ) Intervalo cerrado de centro a y radio r : { x ∈ R :| x − a |≤ r } = [ a − r , a + r ] Complementarios: { x ∈ R :| x − a |> r } = R ‡ { x ∈ R :| x − a |≤ r } = (−∞, a − r ) ∪ ( a + r , +∞) { x ∈ R :| x − a |≥ r } = R ‡ { x ∈ R :| x − a |< r } = (−∞, a − r ] ∪ [ a + r , +∞)
Ejemplo 1 Determina los siguientes conjuntos, expresándolos en forma de intervalos o unión de inter- valos:
1. { x ∈ R :| x − 3 |> 2} ; sol: (−∞, 1) ∪ (5, +∞) 2. { x ∈ R :| x + 1 |≥ 5} ; sol: (−∞, −6] ∪ [4, +∞) 3. { x ∈ R :| x − 2 |≤ 8} ; sol: [−6, 10]
Definición 2 Un entorno de un punto a es un intervalo (abierto) de centro el punto a y radio un nú- mero pequeño (en ocasiones cercano a cero) que se denota por la letra griega ε (epsilon) E ( a , ε ) = { x ∈ R :| x − a |< ε } = ( a − ε , a + ε ) Por tanto, son puntos que están todos muy cerca de a (cuanto más pequeño es ε, más cercanos). Por ejemplo, el siguiente entorno del punto a = 0, E (0, 0′1) = { x ∈ R :| x |< 0 ′1} = (− 0 ′1, 0′1)
1.2. Coordenadas cartesianas: origen, ejes, puntos en el plano
El plano R^2 es el conjunto de pares ordenados de números reales ( x , y ) donde x , y ∈ R
A la primera coordenada de un punto ( x , y ) del plano R^2 se la denomina abscisa y a la segunda ordenada ; la abscisa corresponde al eje horizontal, mientras que la ordenada se refiere al eje vertical
El eje horizontal (denominado eje X ) está formado por los puntos del plano con ordenada (se- gunda coordenada) cero: X = {( x , 0) : x ∈ R}
El eje vertical (denominado eje Y ) está formado por los puntos del plano con abscisa (primera coordenada) cero: Y = {(0, y ) : y ∈ R}
El punto (0, 0) donde se cruzan los ejes X e Y se denomina origen de coordenadas
Gráficamente, el plano se divide en cuatro cuadrantes, determinados por los ejes X e Y ; hay que diferenciar donde ambas coordenadas son positivas, ambas negativas, o una positiva y la otra negativa
Ejercicio 1 Situar en el plano R^2 los siguientes puntos: (2, 1) , (2, −4) , (−3, 0) , (−2, −2) , (0, 4)
1.3. Rectas en el plano: pasos para representar gráficamente una recta
Definición 3 Una recta es todo conjunto en el plano de la forma {( x , y ) ∈ R^2 : Ax + B y = c } donde A, B, c son números reales conocidos, no siendo los dos primeros (A, B) ambos nulos.
Ejemplo 2 Las siguientes relaciones definen rectas en el plano:
a) x + y = 1 b) y = 2 x c) x = 8 d) y = − 2
Para representar una recta en el plano, se obtienen dos puntos (solo dos) que cumplan su ecua- ción, se representan en el plano R^2 y se unen mediante la única recta que pasa por esos dos puntos.
Rectas con el coeficiente A = 0. En este caso queda B y = c con lo que la segunda coordenada vale siempre lo mismo y ∗^ = c B
y la primera coordenada puede tomar cualquier valor. Esto da lugar a una recta horizontal. Es el caso del ejemplo d )
Rectas con el coeficiente B = 0. En este caso queda Ax = c con lo que la primera coordenada vale siempre lo mismo x ∗^ = c A
y la segunda coordenada puede tomar cualquier valor. Esto da lugar a una recta vertical. Es el caso del ejemplo c )
El siguiente dibujo muestra las rectas de los ejemplos c ) y d )
Un caso especial son las rectas con coeficiente B 6 = 0, es decir rectas que no son verticales. En este caso se puede despejar la coordenada y lo que facilita trabajar con la recta:
Ax + B y = c ⇒ B y = − Ax + c ⇒ y = −
A
B
x +
c B = mx + n
donde m = −
A
B
, n = c B En las rectas del ejemplo se obtiene
a ) y = − x + 1 b ) y = 2 x c ) es vertical, B = 0 d ) y = − 2
Escrita (si se puede) la ecuación de una recta en la forma y = mx + n , un punto por el que pasa es siempre (0, n ); así pues ya solo faltará encontrar otro punto para dibujar la recta
Además el coeficiente m indicará la inclinación de la recta (su pendiente )
Por tanto, siempre que sea posible, es recomendable escribir la ecuación de la recta de esta forma, y = mx + n , con la variable y despejada
1.4. Pendiente de una recta: significado
Dada una recta, intuitivamente, el concepto de pendiente indica la inclinación que tiene dicha recta. Esta inclinación es positiva cuando la recta gráficamente va hacia arriba (es creciente ) y es negativa en caso contrario, es decir cuando la recta va hacia abajo (es decreciente ).
Cuanta más inclinación tiene la recta, mayor es su pendiente (en valor absoluto)
En el caso en que B = 0 (recta vertical), se dice que la pendiente es infinita , m = ∞.
En caso contrario, B 6 = 0, la pendiente de una recta se define como la ratio (cociente) entre el número de unidades que crece la variable y ( incremento de y , 4 y , que puede ser positivo o negativo) y el número de unidades que crece la variable x ( incremento de x , 4 x , que puede ser positivo o negativo); por ejemplo, si la recta pasa por los puntos (0, −1) y (2, 5)
4 y = 5 − (−1) = 6; 4 x = 2 − 0 = 2; m = 4 y 4 x
Si se eligen dos puntos de modo que x crece una unidad , 4 x = 1, entonces la pendiente se corresponde con el incremento de y. En particular, si se toma x = 1, x = 0, tomando la ecuación de la recta con la variable y despejada, y = mx + n , se tiene
4 y = ( m · 1 + n ) − ( m · 0 + n ) = m
es decir, el coeficiente de la variable x indica la pendiente (como se había comentado).
En las rectas del ejemplo las pendientes son:
a ) m = − 1 b ) m = 2 c ) m = ∞ d ) m = 0
1.5. Ecuación de una recta (según los datos conocidos)
A) conocido un punto por el que pasa y su pendiente: ( x 1 , y 1 ), m y − y 1 = m ( x − x 1 )
B) conocidos dos puntos por los que pasa: ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )
En primer lugar se calcula la pendiente, m = 4 y 4 x
y 2 − y 1 x 2 − x 1 Luego se elige uno de los puntos (por ejemplo ( x 1 , y 1 ) y se aplica la fórmula del caso anterior. Si la recta es vertical, el denominador será cero y no se podrá aplicar esta forma de hallar la ecuación. Pero, en este caso, se tiene que x 2 = x 1 y la ecuación de la recta vertical es simple- mente x = x 1.
Ejemplo 8 Ecuación cartesiana de la recta que pasa por (2, −1) con vector director ~ u = (1, −4) Primero se calcula la ecuación paramétrica, que es ( x , y ) = (2, −1) + λ (1, −4). En la primera coordenada queda x = 2 + λ , de donde λ = x −2. Sustituyendo en la segunda coordenada, y = − 1 − 4 λ , queda y = − 1 − 4( x − 2); y = − 4 x + 7.
Nota 1 Si se tiene la ecuación de una recta con la variable y despejada, y = mx + n , ya se ha visto que pasa por los puntos (0, n ) y (1, m + n ). Con estos dos puntos resulta sencillo obtener la forma que tiene el vector director: ~ u = (1, m ). Si no se puede despejar la segunda variable, se trata de una recta vertical y su vector director es ~ u = (0, 1).
1.7. Un poco de trigonometría
Dado un ángulo α las principales razones trigonométricas se definen del siguiente modo:
sen( α ) =
B A
BO
cos( α ) =
AO
BO
tan( α ) =
sen( α ) cos( α )
B A
AO
Los ángulos se medirán en radianes. Para relacionar los grados con los radianes , basta recor- dar que una circunferencia tiene 360º que se corresponden con 2 π radianes. Así, 180º serán π radianes, 90º serán π /2, ... Los valores de los senos y cosenos de algunos ángulos esenciales son fáciles de recordar y apa- recen en la siguiente tabla. Para obtener la tangente, basta efectuar la división. En una sección posterior se estudiarán un poco más las funciones trigonométricas.
α 0 [0º] π /6 [30º] π /4 [45º] π /3 [60º] π /2 [90º]
sen( α )
p 0 2
p 1 2
p 2 2
p 3 2
p 4 2
cos( α )
p 4 2
p 3 2
p 2 2
p 1 2
p 0 2
Hay que conocer la relación fundamental entre el seno y el coseno, que es consecuencia directa del Teorema de Pitágoras sen^2 ( α ) + cos^2 ( α ) = 1.
1.8. Ángulo que forman dos rectas
Si se observan dos rectas del plano que se cortan, aparecen dos ángulos: al más pequeño de ellos se le denomina ángulo que forman las dos rectas. Es claro que el ángulo que forman dos rectas es el mismo que forman sus vectores directores. Para determinar este ángulo se calcula su coseno
Si ~ u = ( u 1 , u 2 ) y ~ v = ( v 1 , v 2 ) son los vectores directores de las rectas, denominando α al ángulo que forman se cumple: cos( α ) = | u 1 v 1 + u 2 v 2 | √ ( u 1 )^2 + ( u 2 )^2
( v 1 )^2 + ( v 2 )^2 Si en las dos rectas se puede despejar la variable y , entonces es posible elegir los vectores di- rectores de la forma ~ u = (1, m ) y ~ v = (1, m ′), donde m y m ′^ son las respectivas pendientes. Sustituyendo en la fórmula del coseno, ésta se simplifica quedando
cos( α ) =
| 1 + mm ′^ | p 1 + m^2
1 + ( m ′)^2
Ejemplo 9 Cálculo del coseno del ángulo que forman las rectas y = 2 x − 5, y = − x + 1. Los vectores directores son ~ u = (1, 2) y ~ v = (1, −1). Entonces,
cos( α ) =
p 1 + 4
p 1 + 1
p 10
Con la ayuda de una calculadora se podría obtener α = 71 ′ 565 º.
1.9. Intersección de rectas. Rectas perpendiculares. Rectas paralelas
Dos rectas distintas en el plano pueden tener la misma pendiente o tener pendientes distintas.
Si las dos rectas tienen la misma pendiente, m = m ′, entonces no se cortarán y se denominan paralelas.
Si las dos rectas tienen pendiente diferente, m 6 = m ′, entonces se cortarán en un único punto. Dicho punto se obtiene despejando una de las variables en una recta y sustituyendo en la otra. Si, por ejemplo, las rectas son y = 2 x − 5, 4 x − y = − 3
1.10. Concepto de función real de variable real
Definición 4 Una función f es una regla que asigna a cada número real x de un conjunto D (incluido en el eje X , la recta real) un único número real y que se representa por f ( x ). Se dice que el número y = f ( x ) es la imagen de x. El par formado por cada número real x y su imagen f ( x ), determina un punto ( x , f ( x )) en el plano R^2_. El conjunto de todos estos pares se denomina_ gráfica de la función
G (^) f = {( x , f ( x )) ∈ R^2 ; x ∈ D }
donde D es el conjunto donde está definida la función, que se denomina dominio de la función.
Ejemplo 11 Una función f se define como la regla que a cada número le asigna su doble, f ( x ) = 2 x. Esto es, f (0) = 0 , f (− 1 ′5) = − 3 , f (20) = 40 , f (3′22) = 6 ′ 44 , f (−10) = − 20 , ... La gráfica de esta función es el conjunto de puntos G (^) f = {( x , 2 x ) ∈ R^2 ; x ∈ R}. Si estos puntos se representan en el plano, se obtiene la gráfica de la recta y = 2 x , ya conocida.
Nota 2 Un ejemplo básico de función lo constituyen las rectas no verticales. En este caso, como se ha visto, es posible escribir la ecuación de la recta como y = f ( x ) = mx + n.
Nota 3 En general, el dominio de una función son los valores reales x donde se puede calcular la fun- ción. En el ejemplo anterior se puede calcular para todos los números reales y su dominio es D = R. Por
ejemplo, la regla que a cada número le asigna su inverso, f ( x ) =
x
, como es un cociente solo se puede
calcular cuando su denominador es distinto de cero. Es decir, su dominio es D = { x ∈ R : x 6 = 0}. Algunos
puntos de la gráfica de esta función G (^) f =
x ,
x
∈ R^2 ; x ∈ R, x 6 = 0
aparecen en la siguiente figura:
Nota 4 En contextos económicos, en ocasiones el dominio de una función se ve reducido por el sig- nificado de las variables. Por ejemplo, si x representa el número de horas de funcionamiento de una máquina, al margen de poder calcular la función, solo tiene sentido considerar valores de x mayores o iguales a cero, x ≥ 0.
1.11. Cálculo del dominio de una función
Salvo indicación expresa, el dominio de una función será el conjunto de puntos en los que se puede calcular. Para ello, es conveniente repasar dónde están definidas las operaciones básicas:
la suma , resta o multiplicación siempre puede realizarse
la división (cociente), solo se puede realizar cuando el denominador es distinto de cero
la raíz cuadrada puede calcularse cuando el número sea mayor o igual a cero
la raíz cúbica siempre puede realizarse
cualquier logaritmo solo puede calcularse cuando el número es mayor (estrictamente) que cero ; se usará siempre el logaritmo neperiano (o natural ), que suele denotarse por ln( x ), y su base es el número irracional e ≈ 2 ′ 72
cualquier operación exponencial , del tipo ax^ , con a > 0, siempre se puede realizar. En espe- cial se usará la exponencial con base el número e ≈ 2 ′72, ex^ , que es la operación inversa del logaritmo neperiano
Cuando se deban realizar combinaciones de las operaciones anteriores (una raíz cuadrada de un cociente, con un logaritmo, ...) el dominio vendrá dado por el conjunto de valores en el que se pueden realizar todas las operaciones.
Ejemplo 12 Cálculo del dominio de la función f ( x ) = ln
x + 2 x − 1
La primera operación que debe realizarse es un cociente: el denominador debe ser distinto de cero; esto es x − 1 6 = 0, o escrito de otra manera x 6 = 1
La segunda operación es un logaritmo: solo se puede calcular sobre números positivos; como hay un cociente, para que la división sea positiva numerador y denominador deben tener el mismo signo:
- numerador y denominador (estrictamente) positivos: x + 2 > 0, x − 1 > 0 ; lo que implica x > 1 - numerador y denominador (estrictamente) negativos: x + 2 < 0, x − 1 < 0 ; lo que implica x < − 2
Por tanto, el dominio de esta función es:
D (^) f = (−∞, −2) ∪ (1, +∞)
2.3. Raíz cuadrada: f ( x ) =
p x dominio D (^) f = R+ = [0, +∞)
2.4. Hipérbola: f ( x ) =
x dominio D (^) f = R ‡ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
2.5. Exponencial: f ( x ) = ex^ dominio D (^) f = R
2.6. Logaritmo: f ( x ) = ln( x ) dominio D (^) f = R++ = (0, +∞)
2.7. Función seno: f ( x ) = sin( x ) dominio D (^) f = R
2.8. Función coseno: f ( x ) = cos( x ) dominio D (^) f = R
Nota 5 Se observa en las gráficas de las funciones seno y coseno, que cada una de ellas se puede expresar como un desplazamiento horizontal de la otra. En particular,
cos( x ) = sen
x +
π 2
c ) Cambio de signo en la función Cambiar el signo de una función (pasar de la función f ( x ) a la función − f ( x )) tiene el efecto de reflejarse por el eje X , como si éste fuera un espejo. Así, conociendo la gráfica de f ( x ) se obtiene de manera inmediata la de − f ( x )
d ) Cambio de signo en la variable
Cambiar el signo de la variable (pasar de la función f ( x ) a la función f (− x )) tiene el efecto de reflejarse por el eje Y , como si éste fuera un espejo. Así, conociendo la gráfica de f ( x ) se obtiene de manera inmediata la de f (− x )
e ) Cambios de escala Los cambios de escala consisten en multiplicar la variable o la función (o ambas) por una cons- tante γ > 0. Así,
f ( γx ) produce un estiramiento/compresión horizontal (un estiramiento si γ < 1 y una com- presión si γ > 1)
γ f ( x ) produce un estiramiento/compresión vertical (un estiramiento si γ > 1 y una compre- sión si γ < 1)
Lo que se ha visto permite representar funciones que están relacionadas con las funciones ele- mentales vistas. Como la del siguiente ejercicio.
Ejercicio 2 Representación gráfica de la función f ( x ) = 3 x − 17 x − 6 (extraída de un examen); más sen-
cilla si se escribe en la forma f ( x ) = 3 +
x − 6
Operaciones con funciones
De igual manera a lo que se hace con los números reales, las funciones pueden sumarse, restarse, multiplicarse, ... Esto permite combinar las funciones elementales para obtener muchas más. Estas operaciones se definen de manera natural:
suma/resta de funciones ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x )