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GRADOS EN ECONOMÕA, ADE, DADE Y TADE
CURSO 2011-
MATEM¡TICAS I
EJERCICIOS BLOQUE II
SOLUCIONES
1.- Utilizando la deÖniciÛn de derivada, calcule la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = x^2 2 x 3 b) f (x) = x x+1+ SoluciÛn: a)
lim h! 0
f (x + h) f (x) h = lim h! 0
(x + h)^2 2(x + h) 3 (x^2 2 x 3) h = lim h! 0
x^2 + h^2 + 2hx 2 x 2 h 3 x^2 + 2x + 3 h = (^) hlim! 0
h^2 + 2hx 2 h h = lim h! 0 (h + 2x 2) = 2x 2
b) Para x 6 = 2
lim h! 0
f (x + h) f (x) h = lim h! 0
x+h+ x+h+2 ^
x+ x+ h = lim h! 0
(x + h + 1)(x + 2) (x + h + 2)(x + 1) h(x + h + 2)(x + 2) = lim h! 0
(x + 1)(x + 2) + h(x + 2) (x + 2)(x + 1) h(x + 1) h(x + h + 2)(x + 2) = lim h! 0 hx + 2h hx h h(x + h + 2)(x + 2) = lim h! 0
h h(x + h + 2)(x + 2)
= lim h! 0
(x + h + 2)(x + 2)
(x + 2)^2
2.- Utilizando la deÖniciÛn de derivada, estudie la derivabilidad de las si- guientes funciones en los puntos indicados:
(^) p p x^ Si^ x <^0 x Si x 0 en^ x^ = 0 b) f (x) =
x^2 Si x 0 x Si x > 0 en^ x^ = 0
c) f (x) = j x + 1j en x = 1 d) f (x) = x jxj en x = 0
SoluciÛn: a) Puesto que la funciÛn est· deÖnida de forma diferente para valores mayores y menores que cero, tenemos que estudiar los lÌmites laterales para ver si la funciÛn es derivable en cero
lim h! 0 +
f (0 + h) f (0) h
= lim h! 0 +
p h 0 h
= lim h! 0 +
p h
puesto que al menos uno de los lÌmites laterales es inÖnito, la funciÛn no es deriv- able en x = 0: b) Puesto que la funciÛn est· deÖnida de forma diferente para valores mayores y menores que cero, tenemos que estudiar los lÌmites laterales para ver si la funciÛn es derivable en cero
lim h! 0 +
f (0 + h) f (0) h = lim h! 0 +
h 0 h
lim h! 0
f (0 + h) f (0) h = lim h! 0 +
h^2 0 h = lim h! 0 +^ h = 0
como los lÌmites laterales no son iguales,
@ lim h! 0
f (0 + h) f (0) h
y por tanto la funciÛn no es derivable en x = 0: c)
h^ lim! 0
f (1 + h) f (1) h = lim h! 0 j (1 + h) + 1j j 1 1 j h = lim h! 0 jhj h Para ver si existe este lÌmite tenemos que calcular los lÌmites laterales
lim h! 0 +
jhj h = lim h! 0 +
h h
lim h! 0
jhj h = lim h! 0
h h
como los lÌmites laterales no son iguales,
@ lim h! 0 f (1 + h) f (1) h
y por tanto la funciÛn no es derivable en x = 1:
f 0 (x) =
(x 1) (^12) 12 (x 1) ^ (^12) (x + 1) x 1
p x 1 2 px+1x 1 x 1 = 2(x 1) (x + 1) 2(x 1)
p x 1
x 3 2
q (x 1)^3
h) f (x) = x exp ((3x + 1)^2 )
f 0 (x) = exp
(3x + 1)^2
exp
(3x + 1)^2
(2(3x + 1)) = exp
(3x + 1)^2
(3x + 1)^2
= (18x^2 + 6x + 1) exp
(3x + 1)^2
4.- Hallar, en el punto indicado, la ecuaciÛn de la recta tangente a la gr·Öca de las siguientes funciones:
p x^2 + 1) en x = 0 b) f (x) = (^) x^12 en x = 1 c) f (x) = (x + 1) exp(2x) en x = 0 d) f (x) = 2 x^2 x+1+3 en x = 1 SoluciÛn: a) En x = 0; f (0) = ln(0 +
p 02 + 1) = ln(1) = 0
f 0 (x) =
x +
p x^2 + 1
2 x 2
p x^2 + 1
) ) f 0 (0) =
p 02 + 1
p 02 + 1
La ecuaciÛn de la recta tangente es:
y 0 = 1(x 0) , y = x
b) En x = 1; f (1) = 112 = 1
f 0 (x) = 2 x ^3 =
x^3 ) f 0 (1) =
La ecuaciÛn de la recta tangente es:
y 1 = 2(x 1) , y = 2 x + 3
c) En x = 0; f (0) = (0 + 1) exp(2 0) = 1
f 0 (x) = exp(2x) + 2(x + 1) exp(2x) ) f 0 (0) = exp(2 0) + 2(0 + 1) exp(2 0) = 3
La ecuaciÛn de la recta tangente es:
y 1 = 3x , y = 3x + 1
d) En x = 1 ; f ( 1) = ( 1) (^2) + 2( 1)+3 = 2
f 0 (x) = 2 x(2x + 3) 2(x^2 + 1) (2x + 3)^2
4 x^2 + 6x 2 x^2 2 (2x + 3)^2
2 x^2 + 6x 2 (2x + 3)^2
) f 0 ( 1) =
2( 1)^2 + 6( 1) 2
(2( 1) + 3)^2
La ecuaciÛn de la recta tangente es:
y 2 = 6(x + 1) , y = 6 x 4
5.- Determine la ecuaciÛn de la recta tangente a la gr·Öca de la funciÛn f (x) = 3 x^2 en el punto en el que la tangente es paralela a la recta que pasa por los puntos (1; 1) y (0; 2)
SoluciÛn: Sabemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Por tanto, tenemos que ver en que punto la tangente a la gr·Öca de la funciÛn f (x) = 3x^2 tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos (1; 1) y (0; 2): La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1; 1) y (0; 2) es:
m =
La pendiente de la recta tangente a la gr·Öca de la funciÛn en un punto es la derivada en dicho punto. Por tanto tenemos que ver para quÈ valor de x la derivada de la funciÛn es igual a 1. La derivada es
f 0 (x) = 6x
y
f 0 (x) = 6x = 1 , x =
y como f ( ^16 ) = 3
^16
= 121 ; la ecuaciÛn de la recta tangente que tenemos que calcular tiene pendiente -1 y pasa por el punto
^16 ; 121
. Esta recta es:
y
= (x +
) , 12 y + 12x = 1
6.- Sabiendo que la recta tangente a la gr·Öca de y = f (x) en el punto ( 1 ; 4) pasa por el punto (3; 6), encuentre f ( 1) y f 0 ( 1) y calcule aproximadamente f ( 0 :99):
SoluciÛn:
las rectas son
y 2 =
(x 3) , 2 y + x = 7
y =
(x + 1) , 2 y + x = 1
9.- La tabla muestra algunos valores de la derivada de una funciÛn f x 2 1 0 1 2 3 f 0 (x) 0 ^12 1 12 1 2 g^0 (x) h^0 (x) r^0 (x) s^0 (x)
Complete la tabla encontrando (si es posible) la derivada de cada una de las siguientes transformaciones de f
g(x) = f (x) 2 h(x) = 2 f (x) r(x) = f ( 2 x) s(x) = f (x + 2)
SoluciÛn: Puesto que g^0 (x) = f 0 (x)
h^0 (x) = 2f 0 (x)
Podemos calcular la derivada de g y h para todos los valores de x que aparecen en la tabla. Para la funciÛn r
r^0 (x) = 2 f 0 ( 2 x)
Podemos calcular la derivada de r para x = 1 ya que
r^0 ( 1) = 2 f 0 ( 2 ( 1)) = 2 f 0 (2) = 2
AsÌ mismo r^0 (0) = 2 f 0 ( 2 0) = 2 f 0 (0) = 2 r^0 (1) = 2 f 0 ( 2 1) = 2 f 0 ( 2) = 0
Para los dem·s valores no la podemos calcular ya que no conocemos la derivada de f en 2 x: Para la funciÛn s
s^0 (x) = f 0 (x + 2)
Podemos calcular la derivada de s para x = 2 ya que
s^0 ( 2) = f 0 ( 2 + 2) = f 0 (0) = 1
AsÌ mismo s^0 ( 1) = f 0 ( 1 + 2) = f 0 (1) =
s^0 (0) = f 0 (0 + 2) = f 0 (2) = 1 s^0 (1) = f 0 (1 + 2) = f 0 (3) = 2
Para los dem·s valores no la podemos calcular ya que no conocemos la derivada de f en 2 x: x 2 1 0 1 2 3 f 0 (x) 0 ^12 1 12 1 2 g^0 (x) 0 ^12 1 12 1 2 h^0 (x) 0 1 2 1 2 4 r^0 (x) 2 2 0 s^0 (x) 1 12 1 2
10.- Obtenga la mejor aproximaciÛn lineal y la mejor aproximaciÛn cuadr·tica a las siguientes funciones en un entorno de los puntos indicados.
- a) f (x) = ln(x) en x = 1 b) f (x) =
p x + 1 en x = 0 c) Utilice estas aproximaciones para calcular
p 1 : 05 SoluciÛn: a) La mejor aproximaciÛn lineal es la tangente a la curva en el punto, por tanto la mejor aproximaciÛn lineal es:
ln(x) ' f (1) + f 0 (1)(x 1)
Tenemos que calcular f (1) y f 0 (1)
f (1) = ln(1) = 0
y la mejor aproximaciÛn cuadr·tica a esta funciÛn en un entorno de x = 0 es:
p x + 1 ' 1 +
x
x^2
c1) Utilizando la aproximaciÛn lineal
ln(0:9) ' 0 : 9 1 = 0 : 1
y utilizando la aproximaciÛn cuadr·tica
ln(0:9) ' 0 : 9 1
(0: 9 1)^2 = 0 : 105
NÛtese que utilizando la calculadora
ln(0:9) = 0 : 105360516
c2) Utilizando la aproximaciÛn lineal p 1 :05 =
p 1 + 0: 05 ' 1 +
y utilizando la aproximaciÛn cuadr·tica
p 1 :05 =
p 1 + 0: 05 ' 1 +
NÛtese que utilizando la calculadora p 1 :05 = 1: 024695077
11.- Para las siguientes funciones implÌcitas calcule, utilizando el mÈtodo de la derivaciÛn implÌcita, la derivada de y respecto de x a) (x + y)^3 = x^3 + y^3 b) exp(x^2 y) = x + y SoluciÛn: a) 3(x + y)^2
dy dx
= 3x^2 + 3y^2 dy dx (x + y)^2 y^2
(^) dy dx = x^2 (x + y)^2 x^2 + 2xy
(^) dy dx = y^2 2 xy
dy dx
y^2 + 2xy x^2 + 2xy
b) exp(x^2 y)
2 xy + x^2 dy dx
dy dx
(x^2 exp(x^2 y) 1) dy dx = 1 2 xy exp(x^2 y)
dy dx
1 2 xy exp(x^2 y) x^2 exp(x^2 y) 1
12.- Utilice la derivaciÛn implÌcita para encontrar la ecuaciÛn de la recta tan- gente a la curva en el punto dado a) x^2 + xy + y^2 = 3 en (1; 1)
p 3 ; 1) SoluciÛn: a) 2 x + y + x dy dx
(x + 2y) dy dx
= (2x + y) dy dx
2 x + y x + 2y
En el punto (1; 1)
dy dx
Por tanto, la ecuaciÛn de la recta tangente a la curva en (1; 1) es
y 1 = (x 1) , y = x + 2
b) 2 3 x ^ (^13)
y ^ 13 dy dx
dy dx
(^) y x
En el punto ( 3
p 3 ; 1)
dy dx
p 3
^13
p^1 3
Por tanto, la ecuaciÛn de la recta tangente a la curva en ( 3
p 3 ; 1) es
y 1 =
p 3
(x + 3
p
- =
p 3
x + 3 , y =
p 3
x + 4
SoluciÛn: Puesto que f es derivable en todo R, f es continua en [ 2 ; 2] y derivable en ( 2 ; 2) y como f (2) f ( 2) 2 ( 2)
utilizando el teorema del valor medio sabemos que tiene que existir un n˙mero c 2 ( 2 ; 2) para el que f 0 (c) = 2 y por tanto la derivada de f no puede ser menor que 1 en todo R: No existe una funciÛn como la que menciona este ejercicio.
16.- Para cada una de las siguientes funciones:
- a) f (x) = 3 x x^2 1 b) f (x) = x^2 x^2 + 3
- c) f (x) = 3x^4 4 x^3 d) f (x) = x
p 4 x^2
- Calcule el dominio de la funciÛn y estudie la continuidad. Obtenga las asÌntotas verticales.
- Calcule el punto de corte con el eje y.
- Calcule los puntos de corte con el eje x.
- Analice el comportamiento de la funciÛn cuando x! + 1 y cuando x! 1 (posibles asÌntotas horizontales).
- Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos locales y calcule el valor de la funciÛn en los extremos locales.
- Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad, los puntos de ináexiÛn y calcule el valor de la funciÛn en los puntos de ináexiÛn.
- Dibuje la gr·Öca de la funciÛn SoluciÛn: a) 1. Se trata de una funciÛn racional y por tanto el dominio son todos los n˙meros reales salvo aquellos para los que el polinomio del denominador sea cero x^2 1 = 0 , x = 1
y por tanto el dominio de la funciÛn es
D(f ) = ( 1; 1) [ ( 1 ; 1) [ (1; + 1 )
y la funciÛn es continua en su dominio.
Vamos a calcular los lÌmites laterales cuando x! 1 y cuando x! 1
lim x! 1
3 x x^2 1
lim x! 1 +
3 x x^2 1
lim x! 1
3 x x^2 1
lim x! 1 +
3 x x^2 1
La gr·Öca de la funciÛn tiene dos asÌntotas verticales en x = 1 y en x = 1:
- El punto de corte con el eje y se obtiene para x = 0. f (0) = 0 y por tanto el punto de corte con el eje y es (0; 0) que es tambiÈn un punto de corte con el eje x
- Para calcular los puntos de corte con el eje x tenemos que resolver la ecuaciÛn f (x) = 0 3 x x^2 1 = 0 , x = 0
El ˙nico punto de corte con el eje x es (0; 0) 4
x! 1^ lim
3 x x^2 1
x!lim+ 1
3 x x^2 1
Por tanto la recta y = 0 es una asÌntota horizontal de la gr·Öca de la funciÛn
f 0 (x) = 3(x^2 1) 6 x^2 (x^2 1)^2
3(x^2 + 1) (x^2 1)^2
Si x 2 ( 1; 1) ) f 0 (x) < 0 ) f (x) es decreciente en ( 1; 1) Si x 2 ( 1 ; 1) ) f 0 (x) < 0 ) f (x) es decreciente en ( 1 ; 0] Si x 2 (1; + 1 ) ) f 0 (x) < 0 ) f (x) es decreciente en (1; + 1 )
La funciÛn no tiene extremos locales.
f 00 (x) = 3 2 x (x^2 1)^2 2(x^2 1)2x(x^2 + 1) (x^2 1)^4
x (x^2 1) 2 x(x^2 + 1) (x^2 1)^3
= 6 x(x^2 1 2 x^2 2) (x^2 1)^3
x(x^2 + 3) (x^2 1)^3
Para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento tenemos que ver para quÈ valores de x f 0 (x) = 0
6 x (x^2 + 3)^2
= 0 , x = 0
Si x 2 ( 1; 0) ) f 0 (x) =
6 x (x^2 + 3)^2
< 0 ) f (x) es decreciente en ( 1; 0)
Si x 2 (0; + 1 ) ) f 0 (x) = 6 x (x^2 + 3)^2
0 ) f (x) es creciente en (0; + 1 )
La funciÛn tiene un mÌnimo local en x = 0. Como f (0) = 0; el mÌnimo local es el punto (0; 0).
f 00 (x) = 6 (x^2 + 3)^2 4 x (x^2 + 3) x (x^2 + 3)^4
(x^2 + 3) 4 x^2 (x^2 + 3)^3
1 x^2 (x^2 + 3)^3
Para obtener los intervalos de concavidad y convexidad tenemos que ver para quÈ valores de x f 00 (x) = 0
18 1 x^2 (x^2 + 3)^3
= 0 , x = 1
Si x 2 ( 1; 1) ) f 00 (x) = 18 1 x^2 (x^2 + 3)^3
< 0 ) f (x) es cÛncava en ( 1; 1)
Si x 2 ( 1 ; 1) ) f 00 (x) = 18 1 x^2 (x^2 + 3)^3
0 ) f (x) es convexa en ( 1 ; 1)
Si x 2 (1; + 1 ) ) f 00 (x) = 18
1 x^2 (x^2 + 3)^3
< 0 ) f (x) es cÛncava en (1; + 1 )
La funciÛn tiene dos puntos de ináexiÛn en x = 1 y x = 1: Como
f ( 1) =
; f (1) =
Los puntos de ináexiÛn son ( 1 ; 14 ) y (1; 14 )
- Dibujar c) 1. La funciÛn es un polinomio y por tanto el dominio de la funciÛn es R y la funciÛn es continua en R. La funciÛn no tiene asÌntotas verticales.
- El punto de corte con el eje y se obtiene para x = 0. f (0) = 0 y por tanto el punto de corte con el eje y es (0; 0) que es tambiÈn un punto de corte con el eje x
- Para calcular los puntos de corte con el eje x tenemos que resolver la ecuaciÛn f (x) = 0
f (x) = 3x^4 4 x^3 = 0 , x^3 (3x 4) = 0 ,
x = 0 x = (^43)
Los puntos de corte con el eje x son (0; 0) y
3 ;^0
x! 1^ lim 3 x^4 ^4 x^3 =^ +^1 x!^ lim+ 1 3 x^4 ^4 x^3 =^ +^1
La gr·Öca de la funciÛn no tiene asÌntotas horizontales
f 0 (x) = 12x^3 12 x^2 = 12x^2 (x 1)
Para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento tenemos que ver para quÈ valores de x f 0 (x) = 0
12 x^2 (x 1) = 0 , x x^ = 0= 1
Si x 2 ( 1; 1) ) f 0 (x) = 12x^2 (x 1) < 0 ) f (x) es decreciente en ( 1; 1) Si x 2 (1; + 1 ) ) f 0 (x) = 12x^2 (x 1) > 0 ) f (x) es creciente en (1; + 1 )
La funciÛn tiene un mÌnimo local en x = 1 y como f (1) = 1 : el mÌnimo local es el punto (1; 1).
f 00 (x) = 36x^2 24 x = 12x(3x 2)
Para obtener los intervalos de concavidad y convexidad tenemos que ver para quÈ valores de x f 00 (x) = 0
12 x(3x 2) = 0 , x x^ = 0= 2 3
Si x 2 ( 1; 0) ) f 00 (x) = 12x(3x 2) > 0 ) f (x) es convexa en ( 1; 0)
Si x 2
) f 00 (x) = 12x(3x 2) < 0 ) f (x) es cÛncava en
Si x 2
) f 00 (x) = 12x(3x 2) > 0 ) f (x) es convexa en
La funciÛn tiene dos puntos de ináexiÛn en x = 0 y x = 23 : Como
f
Los puntos de ináexiÛn son (0; 0) y:
3 ;^
16 27
- Dibujar d) 1. El dominio de la funciÛn son los x 2 R tales que 4 x^2 0 D(f ) = [ 2 ; 2]
El ˙nico punto del dominio para el que f 00 (x) = 0 es x = 0: Para obtener los intervalos de concavidad y convexidad tenemos que estudiar el signo de f 00 (x)
Si x 2 ( 2 ; 0) ) f 00 (x) > 0 ) f (x) es convexa en ( 2 ; 0) Si x 2 (0; 2) ) f 00 (x) < 0 ) f (x) es cÛncava en (0; 2)
La funciÛn tiene un punto de ináexiÛn en x = 0. El punto de ináexiÛn es (0; 0)
- Dibujar
17.- Calcule los siguientes lÌmites: a)
x^ lim! 1
x^3 1 x^2 1 b)
x^ lim! 2
x + x^2 1 2 x^2 c)
x!^ lim+ 1
ln( px) x
x!^ lim+ 1 x
e (^1) x 1
e) x!^ lim+ 1 (x^ ^ ln(x)) f)
x!^ lim+ 1
e x 1 + e x
h)
x!^ lim+ 1
x 1 x + 1
2 x+
SoluciÛn: a) Como el numerador y el denominador tienden a cero tenemos una indeterminaciÛn de tipo 00 y podemos utilizar la regla de LíHÙpital
lim x! 1 x^3 1 x^2 1 = lim x! 1 3 x^2 2 x
b)
x^ lim! 2
x + x^2 1 2 x^2
2 + ( 2)^2
1 2 ( 2)^2
c) Como el numerador y el denominador tienden a inÖnito tenemos una indeterminaciÛn de tipo 11 y podemos utilizar la regla de LíHÙpital
x!^ lim+ 1
ln( px) x = (^) x!lim+ 1
1 x 1 2 px
= (^) x!lim+ 1
p x x = (^) x!lim+ 1 p^2 x
d) Como
x!^ lim+ 1
e (^1) x 1
el lÌmite que tenemos que calcular, limx!+ 1 x
e x^1 1
; es una indeterminaciÛn
de tipo 1 0 que podemos transformar en una indeterminaciÛn del tipo 00 y utilizar la regla de LíHÙpital
x!^ lim+ 1 x
e (^1) x 1
= (^) x!lim+ 1 e (^1) x 1 1 x
= (^) x!lim+ 1
(^) x^12
e 1 x (^) x^12
= (^) x!lim+ 1 e (^1) x = 1
e) Como x ln(x) = x
1 ln( xx)
vamos a calcular primero
x!^ lim+ 1
ln (x) x
Como el numerador y el denominador tienden a inÖnito tenemos una indetermi- naciÛn de tipo 11 y podemos utilizar la regla de LíHÙpital
x!^ lim+ 1
ln (x) x = (^) x!lim+ 1
1 x 1
por tanto
x!^ lim+ 1 (x^ ^ ln(x)) =^ x!lim+ 1 x
ln (x) x
f) La funciÛn del numerador tiende a 0 y la del denominador a 1 ; por tanto
x!^ lim+ 1
e x 1 + e x^
g) Es una indeterminaciÛn del tipo 00 que podemos convertir en una indeterminaciÛn de tipo 0 ( 1) tomando logaritmos
lim x! 0 +^ x^2 ln(x)
Esta indeterminaciÛn la podemos convertir en otra de tipo 11 para poder aplicar la regla de LíHÙpital
lim x! 0 +
ln(x) 1 x^2
= lim x! 0 +
1 x 2 x^3
= lim x! 0 +^
x^2 2
