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GRADOS EN ECONOMÕA, ADE, DADE Y TADE
CURSO 2011-
MATEM¡TICAS I
EJERCICIOS BLOQUE III
SOLUCIONES
1.- Calcule las primitivas de las siguientes funciones:
a) f (x) = (^) (x x1) 2 * b) f (x) = (^) x ln(^1 x) c) f (x) = e
px px
d) f (x) = p1+3x x e) f (x) = (^) (4x ^3 1) 3 f) f (x) = x
(^3) 2 px x
g) f (x) = ex
p 1 + ex^ h) f (x) = x^5 ex^2 i) f (x) = ln(
px+1) px
SoluciÛn: a) Haciendo el cambio de variable z = x 1 ) x = z + 1 y dx = dz Z x (x 1)^2
dx =
Z
z + 1 z^2
dz =
Z
z
z^2
dz = ln(z)
z
+C = ln(x 1)
x 1
+C para x > 1
TambiÈn se pueden calcular las primitivas utilizando el mÈtodo de integraciÛn por partes
u = x ) du = dx dv = (x 1) ^2 dx ) v = (x 1) ^1
Z
x (x 1)^2
dx = x(x 1) ^1 +
Z
(x 1) ^1 dx = x x 1 +ln(x 1)+C^ para x > 1
NÛtese que ambas soluciones son idÈnticas ya para cualquier valor de C si tomamos C^ = C + 1
x x 1
+ C^ =
x x 1
+ C + 1 =
x + x 1 x 1
+ C =
x 1
+ C
b) Puesto que la derivada de ln(x) es (^1) x vamos a calcular las primitivas haciendo un cambio de variable. Sea z = ln(x) ) dz = (^1) x dx y Z 1 x ln(x) dx =
Z
z dz = ln(z) + C = ln(ln(x)) + C para x > 1
c) Puesto que la derivada de
p x es 2 p^1 x vamos a calcular las primitivas haciendo un cambio de variable. Sea z =
p x ) dz = 2 p^1 x dx y Z e
px p x
dx = 2
Z
ez^ dz = 2ez^ + C = 2e
px
d) Para calcular las primitivas vamos a utilizar el mÈtodo de integraciÛn por partes
u = x ) du = dx dv = (1 + 3x) ^ (^12) dx ) v =
(1 + 3x) (^12)
Z
p x 1 + 3x
dx =
x
p 1 + 3x
Z (^) p 1 + 3xdx =
x
p 1 + 3x
q (1 + 3x)^3 +C para x >
e) Esta integral es inmediata Z 3 (4x 1)^3
dx = 3
Z
(4x 1) ^3 dx =
(4x 1) ^2 +C =
8 (4x 1)^2
+C para x 6 =
f) Esta integral es inmediata ya que Z x^3 2
p x x dx =
Z
x^2 2 x ^
dx = x^3 3
p x + C para x 0
g) Puesto que la derivada de 1 + ex^ es ex^ vamos a calcular las primitivas haciendo un cambio de variable. Sea z = 1 + ex^ ) dz = exdx y Z ex
p 1 + exdx =
Z (^) p zdz =
z (^32)
(1 + ex)
(^32)
h) Primero hacemos el cambio de variable z = x^2 ) dz = 2xdx y Z x^5 ex^2 dx =
Z
z^2 ez^ dz
y ahora aplicamos el mÈtodo de integraciÛn por partes:
u = z^2 ) du = 2zdz dv = ez^ dz ) v = ez Z z^2 ez^ dz = z^2 ez^ 2
Z
zez^ dz
la soluciÛn general de la ecuaciÛn diferencial es y = 2x 32 x^2 + C y la funciÛn que veriÖca la condiciÛn inicial es
f (x) = 2x
x^2 + 2
b) Puesto que Z (^) x^2 e^2 x
dx = x^3 3
e^2 x 2
+ C
la soluciÛn general de la ecuaciÛn diferencial es y = x 33 e^22 x + C y la funciÛn que veriÖca la condiciÛn inicial es
f (x) = x^3 3
e^2 x 2
c) Puesto que (^) Z 1 2
p x^3 dx =
p x^5 + C
la soluciÛn general de la ecuaciÛn diferencial es y = (^15)
p x^5 + C y la funciÛn que veriÖca la condiciÛn inicial es
f (x) =
p x^5 + 3
3.- Calcule las siguientes integrales deÖnidas
R 3
0 xe
x (^2) dx b) R^4 1
p x ln(x)dx c)
R 2
1 ln(x)dx d)
R 1
1 xe x^2 dx e) R^2 0 e
p 2 x dx
SoluciÛn: a) Primero calculamos las primitivas de la funciÛn utilizando el mÈtodo de integraciÛn por partes
u = x ) du = dx dv = e x 2 dx ) v = 2e x 2 Z xe
x 2 dx = 2xe
x 2 2
Z
e
x 2 dx = 2xe
x 2 4 e
x 2
y utilizando la regla de Barrow, la integral deÖnida es Z (^3)
0
xe x 2 dx =
2 xe x 2 4 e x 2 3 0 = 6e
(^32) 4 e (^32) (0 4) = 2e (^32)
b) Primero calculamos las primitivas de la funciÛn utilizando el mÈtodo de integraciÛn por partes
u = ln(x) ) du =
x dx
dv =
p xdx ) v =
x (^32)
Z (^) p x ln(x)dx =
x
(^32) ln(x)
Z
x
(^12) dx =
x
(^32) ln(x)
x
(^32)
y utilizando la regla de Barrow, la integral deÖnida es
Z (^4)
1
p x ln(x)dx =
x (^32) ln(x)
x (^32)
1
ln(4)
ln(4)
c) Primero calculamos las primitivas de la funciÛn utilizando el mÈtodo de integraciÛn por partes
u = ln(x) ) du =
x
dx dv = dx ) v = x Z ln(x)dx = x ln(x)
Z
dx = x ln(x) x + C
y utilizando la regla de Barrow, la integral deÖnida es Z (^2)
1
ln(x)dx = [x ln(x) x]^21 = 2 ln(2) 2 (0 1) = 2 ln(2) 1
d) Primero calculamos las primitivas de la funciÛn haciendo un cambio de variable z = x^2 ) dz = 2 xdx Z xe x 2 dx =
Z
ez^ dz =
ez^ + C =
e x 2
y utilizando la regla de Barrow, la integral deÖnida es
Z (^1)
1
xe x 2 dx =
e x 2
1
e ^1
e ^1
e) Calculamos las primitivas de la funciÛn haciendo primero un cambio de variable z =
p 2 x ) dz =
(2x) ^
(^12) 2 dx =
p 2 x
dx Z e
p 2 x dx =
Z p 2 x p 2 x
e
p 2 x dx =
Z
zez^ dz
·rea = A 1 + A 2 =
c) Primero tenemos que calcular los puntos de corte de la gr·Öca de la funciÛn con el eje x. Para eso tenemos que obtener las raÌces de la ecuaciÛn p x 1 = 0 , x = 1
Los intervalos que tenemos que considerar son [0; 1] y [1; 4]:
Si 0 x 1 ) f (x) 0 Si 1 x 4 ) f (x) 0
Por tanto A 1 =
R 1
p x 1)dx =
h 2 3
p x^3 x
i 1 0 =
3 ^1
A 2 =
R 4
p x 1)dx =
h 2 3
p x^3 x
i 4 1 =
3 ^4 ^
3 ^1
y
·rea = A 1 + A 2 =
d) Primero tenemos que calcular los puntos de corte de la gr·Öca de la funciÛn con el eje x. Para eso tenemos que obtener las raÌces de la ecuaciÛn
x^3 3 x^2 + 2x = 0 , x(x^2 3 x + 2) = 0 )
x = 0 x = 1 x = 2
Los intervalos que tenemos que considerar son [0; 1]; [1; 2] y [2; 3]
Si 0 x 1 ) f (x) 0 Si 1 x 2 ) f (x) 0 Si 2 x 3 ) f (x) 0
Por tanto
A 1 =
R 1
0 (x
(^3) 3 x (^2) + 2x)dx = 1 4 x
(^4) x (^3) + x 2 ^1 0 =
4 ^ 1 + 1
A 2 =
R 2
1 (x (^3) 3 x (^2) + 2x)dx = ^1 4 x (^4) x (^3) + x 2 ^2 1 =
4 ^ 1 + 1
A 3 =
R 3
2 (x
(^3) 3 x (^2) + 2x)dx = 1 4 x
(^4) x (^3) + x 2 ^3 2 =
4 ^ 27 + 9^ ^ (4^ ^ 8 + 4)
y
·rea = A 1 + A 2 + A 3 =
5.- Calcule el ·rea entre las gr·Öcas de las siguientes funciones en el intervalo indicado. a) f (x) = x^2 1 ; g(x) = x + 2 en el intervalo [0; 1]
- b) f (x) = p x + 3; g(x) = 12 x + 3 en el intervalo [0; 4] c) f (x) = x^2 4 x + 3; g(x) = 3 + 4x x^2 en el intervalo [ 1 ; 5] d) f (x) = x^4 4 x^2 ; g(x) = x^2 4 en el intervalo [ 2 ; 2] SoluciÛn: a) Puesto que en el intervalo [0; 1]; x^2 1 0 y x + 2 > 0 ; en este intervalo g(x) f (x) y por tanto
·rea =
Z 1
0
(g(x) f (x)) dx =
Z 1
0
x + 2
x^2 1
dx
Z 1
0
x + 3 x^2
dx =
x^2 2
0
b) Primero tenemos que calcular los puntos de corte de las gr·Öcas de las funciones. Para eso tenemos que obtener las raÌces de la ecuaciÛn
p x + 3 =
x + 3 ,
p x =
x )
x = 0 x = 4
Puesto que en el intervalo [0; 4]; f (x) = p x + 3 g(x) = 12 x + 3
·rea =
Z 4
0
(f (x) g(x)) dx =
Z 4
0
p x
x
dx
p x^3 3
x^2 4
0
c) Primero tenemos que calcular los puntos de corte de las gr·Öcas de las funciones. Para eso tenemos que obtener las raÌces de la ecuaciÛn
x^2 4 x + 3 = 3 + 4x x^2 , 2 x^2 8 x = 2x(x 4) )
x = 0 x = 4
·rea = A 1 + A 2 + A 3 =
6.- Determine si las siguientes integrales impropias son convergentes o diver- gentes y cuando sean convergentes calc˙lelas
a)
R + 1
1
1 x^3 dx^ b)^
R + 1
0
1 (3x+1)^2 dx^ c)^
R + 1
0 xe
2 xdx
d)
R + 1
1 xe jxjdx * e) R^ +^1 1
ln(x) x dx^ f)^
R + 1
0
ex 1+ex^ dx
SoluciÛn: a) Z (^) + 1
1
x^3 dx = (^) b!lim+ 1
Z (^) b
1
x^3 dx = (^) b!lim+ 1
2 x^2
b
1
= (^) b!lim+ 1
2 b^2
b) Z (^) + 1
0
(3x + 1)^2
dx = (^) b!lim+ 1
Z (^) b
0
(3x + 1)^2
dx = (^) b!lim+ 1
3 (3x + 1)
b
0 = (^) b!lim+ 1
3 (3b + 1)
c) (^) Z
xe ^2 xdx = (^) b!lim+ 1
Z (^) b
0
xe ^2 xdx
Para calcular esta integral tenemos que calcular las primitivas de la funciÛn utilizando el mÈtodo de integraciÛn por partes
u = x ) du = dx dv = e ^2 xdx ) v =
e ^2 x
Z xe ^2 xdx = x
e ^2 x^ +
Z
e ^2 xdx =
x 2 e ^2 x^
e ^2 x^ + C
utilizando ahora la regla de Barrow Z (^) b
0
xe ^2 xdx =
x 2 e ^2 x^
e ^2 x
b
0 = b 2 e ^2 b^
e ^2 b^ +
y por tanto
Z + 1
0
xe ^2 xdx = (^) b!lim+ 1
b 2 e ^2 b^
e ^2 b^ +
= (^) b!lim+ 1 b 2 e ^2 b^ (^) b!lim+ 1
e ^2 b^ +
limb!+ 1 14 e ^2 b^ = 0 y para calcular limb!+ 1 2 b e ^2 b^ tenemos que utilizar la regla de LíHÙpital
lim b!+ 1
b 2
e ^2 b^ = lim b!+ 1
b 2 e^2 b^
= lim b!+ 1
4 e^2 b^
y por tanto (^) Z
xe ^2 xdx =
d) Z (^) + 1
xe jxjdx =
Z 0
xexdx +
Z + 1
0
xe xdx = (^) a! 1lim
Z 0
a
xexdx + lim b!+ 1
Z (^) b
0
xe xdx
Para calcular estas integrales tenemos que calcular las primitivas de las fun- ciones utilizando el mÈtodo de integraciÛn por partes y luego utilizar la regla de Barrow
R 0
a xe xdx
u = x ) du = dx dv = exdx ) v = ex Z xexdx = xex^
Z
exdx = xex^ ex^ + C
utilizando la regla de Barrow Z (^0)
a
xexdx = [xex^ ex]^0 a = 1 aea^ + ea
y por tanto
a! 1^ lim
Z 0
a
xexdx = (^) a! 1lim ( 1 aea^ + ea) = 1 (^) a! 1lim aea^ + (^) a! 1lim ea
lima! 1 ea^ = 0 y para calcular lima! 1 aea^ tenemos que utilizar la regla de LíHÙpital
a! 1^ lim aea^ =^ a! 1lim
a e a^ = (^) a! 1lim
e a^
y por tanto (^) Z 0
xexdx = 1
Puesto que
lim b!+ 1
(ln(b))^2 2
La integral es divergente. f) (^) Z
ex 1 + ex^
dx = lim b!+ 1
Z (^) b
0
ex 1 + ex^
dx
Para calcular esta integral tenemos que calcular las primitivas de la funciÛn haciendo un cambio de variable
z = 1 + ex^ ) dz = exdx
Z ex 1 + ex^ dx =
Z
z dz = ln(z) + C = ln(1 + ex) + C
y utilizando la regla de Barrow Z (^) b
0
ex 1 + ex^ dx = [ln(1 + ex)]b 0 = ln(1 + eb) ln(2)
Puesto que
b!^ lim+ 1
ln(1 + eb)
La integral es divergente.
7.- Escriba los 5 primeros tÈrminos de las sucesiones:
a) an =
^12
n b) an = (^) n^2 +3n c) an = ( 1)n+1 2 n d) an = 5 (^1) n + (^) n^12
SoluciÛn: a)
b) 1 2
c) 2 ; 1 ;
d) 5 ;
8.- Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes, para las que sean convergentes calcule el lÌmite
a) an =
^13
n b) an = 2 n 2 n+1 *^ c)^ an^ =^
ln(pn) n d) an = ( 1)n^ nn+1 e) an = 2 (^1) n f) an =
1 + (^) n^12
n
g) an = (^2) nn+1^2 (^2) nn ^21 h) an = 34 nn i) an = (^) n^3 +2n
SoluciÛn: a) Puesto que ^13 < 1 la sucesiÛn converge y
lim n!
n = 0
b) Consideremos la funciÛn f (x) = 2 x 2 x+1 , aplicando la regla de líHÙpital,
x!^ lim+ 1
2 x^2 x + 1 = (^) x!lim+ 1 4 x 1 = +1 ) La sucesiÛn diverge
c) Utilizando las propiedades de los logaritmos
an = ln(
p n) n = an =
ln
n
n
ln (n) 2 n
Consideremos la funciÛn f (x) = ln( 2 xx ), aplicando la regla de líHÙpital,
lim x!+ 1
ln (x) 2 x
= lim x!+ 1
1 x 2
= 0 ) La sucesiÛn converge
y
n^ lim!
ln( p n) n
d) Los tÈrminos pares de la sucesiÛn convergen a 1 y los impares a -1. La sucesiÛn es divergente. e) n^ lim!1 2
(^1) n = 1
f) Consideremos la funciÛn f (x) =
1 + (^) x^12
x , limx!+ 1
1 + (^) x^12
x es una indeterminaciÛn del tipo 11 que podemos convertir en una indeterminaciÛn de tipo 0 1 tomando logaritmos
x!^ lim+ 1 x^ ln
x^2
9.- Determine si las siguientes sucesiones son monÛtonas y si est·n acotadas
a) an = ( 2)n^ b) an = ne n^ c) an = ( 1)n^1 n
- d) an = (^2) n^1 +3 e) an =
3
n f) an =
2
n
SoluciÛn: a) Puesto que los tÈrminos pares de la serie son positivos y los impares negativos la serie no es monÛtona. Adem·s para cualquier n˙mero real k > 0 existe un n˙mero natural n 0 tal que, para todo n > n 0 ;
( 2)n^ > k si n es par ( 2)n^ < k si n es impar
y por tanto la sucesiÛn no est· acotada ni superiormente, ni inferiormente. b)
(n + 1)e (n+1)^ < ne n^ , (n + 1)e ne ^1 < ne n^ , (n + 1)e ^1 < n , (n + 1) < ne , 1 < n(e 1) ,
e 1 < n
y por tanto la sucesiÛn es monÛtona decreciente Puesto que 0 < ne n^ = n en^
La sucesiÛn est· acotada. c) Puesto que los tÈrminos pares de la serie son positivos y los impares negativos la serie no es monÛtona. Puesto que para todo n;
1 < ( 1)n^
n
la sucesiÛn est· acotada. d) 1 2(n + 1) + 3
2 n + 3
, 2 n + 3 < 2(n + 1) + 3 = 2n + 2 + 3 , 0 < 2
y por tanto la sucesiÛn es monÛtona decreciente. Puesto que 0 <
2 n + 3
La sucesiÛn est· acotada.
e) (^) 2 3
n+ <
n ,
y por tanto la sucesiÛn es monÛtona decreciente Puesto que 0 <
n < 1
La sucesiÛn est· acotada. f) (^) 3 2
n+
n ,
y por tanto la sucesiÛn es monÛtona creciente Para cualquier n˙mero real k > 0 existe un n˙mero natural n 0 tal que, para todo n > n 0 ; (^) 3 2
n
k
y por tanto la sucesiÛn no est· acotada superiormente y por tanto no est· acotada.
10.- a) Si fang es convergente, demuestre que
n^ lim!1 an+1^ = lim n!1 an b) Una sucesiÛn fang se deÖne con a 1 = 1 y an+1 = (^) 1+^1 an para n 1. Suponiendo que fang es convergente, calcule el lÌmite.
SoluciÛn: a) Sea L el lÌmite de fang: Tenemos que demostrar que
8 " > 0 ; 9 N ^ = si n + 1 > N ^ ) jan+1 Lj < "
Puesto que limn!1 an = L; utilizando la deÖniciÛn de lÌmite de una sucesiÛn, sabemos que 8 " > 0 ; 9 N = si n > N ) jan Lj < "
Por tanto, tomando N ^ = N + 1
8 " > 0 ; 9 N ^ = N + 1 = si n + 1 > N ^ como N ^ = N + 1 > N ) n + 1 > N y por tanto jan+1 Lj < "
con lo que
n^ lim!1 an+1^ =^ L
La sucesiÛn est· acotada superiormente ya que
a 1 =
p 2 < 2
a 2 =
q 2 +
p 2 <
p 2 + 2 = 2 .. . an+1 =
p 2 + an (^) Como< a n<^2
p 2 + 2 = 2
y la sucesiÛn est· acotada. b) Como la sucesiÛn es monÛtona y esta acotada, entonces fang es con- vergente. c) Sea L el lÌmite de fang:
n^ lim!1 an+1^ =^
q 2 + lim n!1 an
Utilizando el apartado a del ejercicio 10 sabemos que limn!1 an+1 = limn!1 an
L =
p 2 + L , L^2 = 2 + L
Para calcular L tenemos que calcular las raÌces de la ecuaciÛn
L^2 L 2 = 0
L =
p 1 + 8 2
Como todos los tÈrminos de la sucesiÛn son positivos, el lÌmite no puede ser negativo y por tanto L = 2:
12.- Determine si las siguientes series son convergentes o divergentes, para las que sean convergentes calcule la suma
a)
X^1
n=
^14
n b)
X^1
n=
2 n n+1 *^ c)
X^1
n=
323 nn
d)
X^1
n=
3 n 2 n^ e)
X^1
n=
(^1) n f)
X^1
n=
1 (3n+1)
SoluciÛn: a) X^1
n=
n
X^1
n=
n 1
X^1
n=
arn ^1
donde a =
y r =
La serie es una serie geomÈtrica de razÛn r = ^14 y como ^14 < 1 la serie es convergente y X^1
n=
n
a 1 r
^14
b) Consideremos la funciÛn f (x) = (^) x^2 +1x , aplicando la regla de líHÙpital,
lim x!+ 1
2 x x + 1
= lim x!+ 1
y
n^ lim!
2 n n + 1
La serie diverge. c) X^1
n=
2 n 3 n^
X^1
n=
n 1
X^1
n=
n 1
X^1
n=
arn ^1
donde a = 2 y r =
La serie es una serie geomÈtrica de razÛn r = 23 y como 23 < 1 la serie es convergente y X^1
n=
2 n 3 n^
d) X^1
n=
3 n 2 n^
X^1
n=
n 1
X^1
n=
arn ^1
donde a =
y r =
La serie es una serie geomÈtrica de razÛn r = 32 y como 32 > 1 la serie es divergente. e) n^ lim!1 3
(^1) n = 1 6 = 0
La serie es divergente. f) Puesto que la funciÛn f (x) = (^3) x^1 +1 es positiva, continua y decreciente en el intervalo [1; + 1 ), podemos utilizar el criterio de la integral para analizar la convergencia de la serie Z (^) + 1
1
3 x + 1 dx = (^) b!lim+ 1
Z (^) b
1
3 x + 1 dx = (^) b!lim+ 1
ln(3x + 1) 3
b
1 = (^) b!lim+ 1
ln(3b + 1) 3
ln(4) 3
