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HOJA 4 : Derivación II
1. Calcula los siguientes límites:
a)() limx→ 1 x1/x^ b) limx→ 0 ^ x ln x c)() limx→ x1/x d)(*) limx→ 1 ^ ln x^1 − (^) x^2 − 1 e) limx→ xtg1/x f) limx→ 0 arcsenxx−arctgx
g) limx→1/24x^2 − 1 tgx
2. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:
a)(*) fx 2x
(^3) −3x (^2) −8x 4 x^2 − 4 b)^ fx^ ^
x^3 x^3 x^2 x 1 c)(*)^ fx^ ^ 2x^ ^ e
−x
d) fx senxx e)(*) fx x−^2 4x^2 1
f) fx 3x
(^2) −x2senx x− 7
g)(*) fx e
x x h)()^ fx^ ^ xe1/x^ i)()^ fx^ ^ exx− 1
3. ()Halla el polinomio de Taylor de orden 2 en a y calcula el valor aproximado de la función mediante este polinomio en x a 0. 1. a) fx ex^ en a 0 b) fx senx en a 0 c) fx ln xx en a 1 4. ()Dado el polinomio de Taylor de orden 2 en a 0 de f determina si la función tiene un máximo o mínimo local en el punto 0, f 0 . a) Px 1 2 x^2 b) Px 1 x x^2 c) Px 1 − 2 x^2 5. Calcula los máximos y mínimos (relativos y absolutos) de f en los intervalos indicados:
a)(*) fx 3 x2/3^ − 2 x en −1, 2. b) fx xe−x^ en 1/2, , 0, y IR.
6. ()Calcula en qué punto es mayor la pendiente de la recta tangente a la gráfica y −x^3 2 x^2 x 2. 7. Las figuras primera () y segunda muestran la gráfica de la derivada de distintas f. Determina el crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad extremos relativos y puntos de inflexión de f.
1
2 3 4 5 6 7
f '
1 2
f '
8. La siguiente figura muestra la gráfica de la derivada segunda de f. Determina los intervalos de convexidad de f y los puntos de inflexión. Determina el crecimiento y los extremos relativos de f supuesto que f ′− 3 f ′ 0 0.
1
2
f ''
9. Sea fx
x^ si 0 ≤ x ≤ 1 x^ si 1 ≤ x
Discutir, según los valores de y , cuándo f es cóncava o
convexa.
10. (*)Sea f : R →R convexa, y sea x 0. Comprobar gráficamente las siguientes desigualdades:
f 1 1 2
f 1 − x f 1 x 1 2
f 1 − 2 x f 1 2 x
11. (*)Sea f : R →R cóncava, y sea x 0. Comprobar gráficamente las siguientes desigualdades:
f 1 1 2
f 1 − x f 1 x 1 2
f 1 − 2 x f 1 2 x
12. ()Sea f : 0, → R, convexa, tal que f′ 1 0. a) Hallar los extremos locales de f. b) ¿Qué se puede decir de los extremos globales de f? c) Supongamos ahora f : 0, n → R. ¿Qué se puede decir de los extremos globales de f? 13. ()Sea f : 0, → R, cóncava, tal que f′ 1 0. a) Hallar los extremos locales de f. b) ¿Qué se puede decir de los extremos globales de f? c) Supongamos ahora f : 0, n → R. ¿Qué se puede decir de los extremos globales de f? 14. Estudia y representa las siguientes funciones:
a) fx x cos x b) fx e
2x ex− 1 c)^ fx^ ^
x ln x d)^ fx^ ^ |x^ −^ 4|
15. ()Dadas las funciones de coste Cx 4000 10 x 0. 02x^2 y demanda px 100 − x/100, halla el precio p por unidad que produce el máximo beneficio. 16. ()Sea px x^2 − x 1/3 el precio de venta de 1 kilo de plutonio cuando se venden x unidades. Sabiendo que la empresa vende en el mercado un máximo de 2 kilos, halla el valor de x que maximiza los ingresos de la empresa. Podemos suponer que todos los costes de la empresa los paga el estado. 17. (*)Sea px 100 − x^2 /2 la función de demanda de un producto y Cx 48 4 x 3 x^2 su función de coste. ¿Cuál es la producción x que minimiza el coste medio? ¿Y si hay una producción máxima x^? 18. Una empresa que posee una función de costes cx x^2 1 se enfrenta a una demanda dada
por la función px
10 0 ≤ x ≤ 1 1 1 x ≤ 10
. Halla la producción que da máximo beneficio. 19. (*)Un fabricante vende 5000 unidades al mes a 100 euros por unidad y cree que sus ventas aumentarían en 500 unidades por cada 5 euros de reducción en el precio unitario. a) Halla las funciones de demanda, ingreso e ingreso marginal. b) Si el coste de producción de x unidades es Cx 1000 0. 12x, halla la función de beneficio marginal.
