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CONCEPTOS B ASICOS DE MATEM´ ATICAS´
Tabla de contenidos
- Funciones exponenciales
- Funciones logar´ıtmicas
- Relaci´on entre la funci´on exponencial y la logar´ıtmica
- Funciones trigonom´etricas
- Circunferencia
1. Funciones exponenciales
Son las funciones definidas del siguiente modo: f (x) = ax, a > 0. La representaci´on gr´afica es la
siguiente:
Figura 1: f (x) = ax, a > 1 Figura 2: f (x) = ax, 0 < a < 1
La m´as conocida de las funciones exponenciales es f (x) = ex.
2. Funciones logar´ıtmicas
Sea a > 0, con a 6 = 1 y x 2 R. El logaritmo en base a de x, denotado por logax, se define como el
n´umero al que hay que elevar a para obtener x, es decir,
logax = y () a y = x.
La funci´on f (x) = loga(x) se denomina funci´on logaritmo en base a.
Una de las funciones logar´ıtmicas m´as conocida y la que se estudia durante el curso es
la de base el n´umero e, tambi´en conocido como n´umero de Euler, cuyo valor aproximado es e ⇡ 2 , 7182818. La funci´on logar´ıtmica en base e se denota f (x) = ln(x) (= loge(x)).
A partir de ahora nos centraremos en la funci´on logaritmo neperiano.
Propiedades
Se cumplen las siguientes propiedades:
- ln(e) = 1,
- ln(1) = 0,
- ln(x · y) = ln(x) + ln(y), para todo x, y > 0,
- ln
x y
= ln(x) ln(y), para todo x, y > 0,
- ln (xr) = rln(x), para todo x > 0, r 2 R.
Ejercicio 1. Calcule ln (
p e) y ln
1 e^2
Soluci´on. Aplicando las Propiedades 1 y 5,
p e) = ln(e^1 /^2 ) = 12 ln(e) = 12.
Aplicando las Propiedades 2, 4 y 5,
1 e^2
= ln(1) ln(e^2 ) = 0 ln(e^2 ) = 2ln(e) = 2.
Ejercicio 2. Sean a, b > 0. Use las propiedades de los logaritmos para expresar ln(ea
p b) como
suma/diferencia de logaritmos.
Soluci´on. Por las Propiedades 1, 3 y 5,
ln(ea
p (b)) = ln(e) + ln(a) + ln(
p b) = 1 + ln(a) + ln(b 1 / 2 ) = 1 + ln(a) +
ln(b).
3. Relaci´on entre la funci´on exponencial y la logar´ıtmica
La funci´on exponencial f (x) = ex^ es:
Inyectiva,
dom(f ) = R,
Im(f ) = (0, + 1 ).
As´ı pues, f tiene inversa, y su inversa es f ^1 (x) = ln(x), cuyo dominio es dom(f ^1 ) = (0, + 1 ) y su
imagen Im(f ^1 ) = R.
Esto quiere decir que
ln(e x ) = x y e ln(x) = x.
Obs´ervese en la Figura 3 que las gr´aficas de la exponencial e x y el logaritmo neperiano son sim´etricas
con respecto a y = x.
En la siguiente tabla se recogen los valores del seno y coseno de ´angulos especiales.
Grados Radianes sen(↵) cos(↵) 0 0 0 1
30 o^ ⇡ 6
1 2
p 3 2 45 o^ ⇡ 4
p 2 2
p 2 2 60 o^ ⇡ 3
p 3 2
1 2 90 o ⇡ 2 1 0
Para calcular el seno y el coseno de ´angulos mayores de 90 o y menores de 360 o , se procede del siguiente
modo:
- Se calcula la diferencia entre el ´angulo dado ↵ y el ´angulo m´as cercano (180o^ ´o 360o) y se calcula
el seno/coseno de esa diferencia,
- A continuaci´on, el resultado anterior se toma como positivo o negativo siguiendo el esquema de la
Figura 4, es decir, dependiendo de a qu´e cuadrante pertenece ↵.
Figura 4: Signo del seno y coseno de ↵ seg´un el cuadrante
Ejemplo. Determine el seno y el coseno de 34 ⇡ , 54 ⇡ y 53 ⇡.
Soluci´on. * El ´angulo expresado en radianes ↵ = 34 ⇡ , se corresponde con 135o, que es m´as pr´oximo
a 180o. La diferencia es 180o^ 135 o^ = 45o. Como ↵ se encuentra en el segundo cuadrante, teniendo
en cuenta la Figura 4, se tiene que
sen (↵) = +sen(45o) =
p 2
2
, cos(↵) = cos(45o) =
p 2
2
- El ´angulo expresado en radianes ↵ = 5 ⇡ 4 , se corresponde con 215
o, que es m´as pr´oximo a 180o. La
diferencia es 215 o 180 o = 45 o
. Como ↵ se encuentra en el tercer cuadrante, teniendo en cuenta la
Figura 4, se tiene que
sen (↵) = sen( o ) =
p 2
2
, cos(↵) = cos( o ) =
p 2
2
- El ´angulo expresado en radianes ↵ = 5 ⇡ 3 , se corresponde con 300o, que es m´as pr´oximo a 360o. La
diferencia es 360o^ 300 o^ = 60o. Como ↵ se encuentra en el cuarto cuadrante, teniendo en cuenta la
Figura 4, se tiene que
sen (↵) = sen(60o) =
p 3
2
, cos(↵) = cos(60o) =
Relaciones trigonom´etricas relevantes
- sen^2 (x) + cos^2 (x) = 1, cos
x ⇡ 2
= sen(x),
- sen(2x) = 2 cos(x)sen(x), cos(2x) = cos 2 (x) sen 2 (x).
Funciones seno, coseno y tangente
- La funci´on f (x) = sen(x) tiene la siguiente gr´afica:
- La funci´on f (x) = cos(x) tiene la siguiente gr´afica:
- La funci´on f (x) = cos(x) es, en particular, inyectiva en el intervalo [0, ⇡]. La inversa de la
funci´on coseno restringida a ese intervalo recibe el nombre de funci´on arcocoseno: f ^1 (x) = arccos(x), cuyo dominio es [ 1 , 1] y cuya imagen es [0, ⇡].
- La funci´on f (x) = tan(x) es inyectiva en cada intervalo del tipo
⇡ 2 +^ k⇡,^
⇡ 2 +^ k⇡
, k 2 Z. La inversa de la funci´on tangente restringida al dominio
⇡ 2 ,^
⇡ 2
recibe el nombre de funci´on arcotangente: f ^1 (x) = arctan(x), cuyo dominio es R y cuya imagen es
2
2
5. Circunferencia
La circunferencia C de centro (a, b) y radio r es el conjunto de puntos que satisfacen la ecuaci´on
(x a) 2
Figura 5: Circunferencia de centro (2, 1) y radio 3
La circunferencia no es el grafo de ninguna funci´on. Sin embargo, las semicircunferencias superior e
inferior, respectivamente, s´ı que lo son:
- La semicircunferencia superior de centro (a, b) y radio r es el grafo de la funci´on
f (x) = b +
p r^2 (x a)^2 ,
- La semicircunferencia inferior de centro (a, b) y radio r es el grafo de la funci´on
f (x) = b
p r^2 (x a)^2.
Figura 6: Semicircunferencias superior e inferior de centro (2, 1) y radio 3
