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ACTIVIDADES REPASO 1ª EVALUACIÓN (MATE B)

TRABAJO PARA NAVIDADES

1.- Indica el conjunto numérico más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: -12 23 7’14 5’22242424… 5’33313113111311113…

2.-Halla las aproximaciones por exceso, defecto y por redondeo de 5’1483… cuando se eligen dos y cuando se eligen tres cifras decimales.

3.- Calcula el valor de las siguientes potencias: a) b) c) d) e)

4.-Calcula utilizando las propiedades de las potencias: a) b) c) d)

5.- Reduce a común índice los siguientes radicales y ordena de menor a mayor: a) ; ; b) ; ;

6.- Introduce o extrae los factores posibles de dentro de la raíz; a) b) c) d)

7.- Calcula las siguientes sumas y restas de radicales: a) b)

8.- Racionaliza: a) b) c)

9.-Calcula aplicando la definición de logaritmo y sin utilizar la calculadora:

a)

b)

c)

d)

e) f)

10.- Calcula utilizando las propiedades de los logaritmos y sin utilizar la calculadora.

a)

b)

d)

e)

f)

g)

17.- Resuelve los siguientes sistemas:

a)

b)

c)

h) log + log 5 = i) log 1000 – log 100 =

6.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades y razona tu respuesta:

a) log 100 = log 50 +log 2 b) log 100 = 2 · log 50 c) log 4 = 2 · log 2 d) log 10 = log 5 + log 5

7.- Expresa con un solo logaritmo las siguientes expresiones:

a) log 6 + log 2 – log 3 = b) 2 · log 2 + log 36 – log 12 = c) ( log 3 + log 25 ) - = d) 3 ( log 8 – log 4 ) + log 3 = e) log 16000 – ( log 40 + log 2 ) = f) log 5 + 1 = g) 2 – log 4 = h) 3 + log 3 – log 5 =

8.- Expresa con un solo logaritmo:

a) log 4 + log 3 + 2 log 3 = b) 4 log 2 – log 4 = c) (^) log 9 – log 3 = d) log 25 – log 5 = e) log + log 5 + log 3 = f) log 4 + log 6 – log 6 = g) log 0’2 + log 5 = h) 2 log 3 – log 9 =

9.- Sabiendo que log 2 = 0’3010, calcula el valor de:

a) (^) log 64 = b) log = c) log = d) log 2000 = e) log 40 = f) log = g) log 5 =

10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771 calcula el valor de:

a) (^) log 6 = b) log 81 = c) log 1’5 = d) log 0’09 =

e) log = f) log = g) log = h) log 36 =

11.- Sabiendo que log 5 = 0’69, calcula:

a) log 625 = b) (^) log 50 = c) log = d) log 25000 = e) log 0’005 = f) log 2 =

12.- Sabiendo que log 2 = 0’301 y log 3 = 0’47, calcula:

a) log 60 = b) log 0’006 = c) (^) log 18 = d) log = e) log =

13.- Completa los huecos para que sean ciertas las siguientes igualdades :

a) log ___ + log 3 = log 21 d) log ___ = 2 · log 3 b) log 16 = ___ · log 2 e) log 8 – log 2 = log ___ c) log = ___ · log 2 f) log 28 = log ___ + ___ · log 2 g) log 72 = log ( ___^3 · 3 _^ ) = log ___^3 + log 3 _^ = ___ · log 2 + 2 · log ___

14.- Utilizando los logaritmos decimales de la calculadora y la expresión del cambio de base, calcula: a) log 3 2 =

b) log 5 15 =

c) log 3 512 =

15.- Calcula los siguientes logaritmos utilizando la expresión del cambio de base y la calculadora; después, comprueba el resultado utilizando la definición de logaritmo.

a) log 5 25 =

b) log 4 64 =

c) log 9 3 =

16.- Sin utilizar la calculadora, halla, como en el ejemplo, los siguientes logaritmos: Ejemplo: log 3 729 = = = = 6 a) log 5 625 =

b) log 6 216 =

TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log 6 = log x + log 3 b) (^) log 2 + log (x + 3) = log 4 c) log (x + 18) – log x = 1 d) log (3x + 5) – log (2x + 1) = 1 – log 5

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log (-4x + 6) – log (3x – 2) = log 2 b) log x + log 4 = 0 c) log (x + 5) = log x + log 5 d) log x^2 = log 1 + 2·log (x – 2)

3.- Resuelve las ecuaciones logarítmicas y haz la comprobación:

a) log (2x + 8) + log (x + 8) = 1 b) log (2x – 3) + log (3x – 2) = 2 – log 25 c) 2 log x = log (x^2 – 2x + 6) d) log (x + 1)^2 = 2

4.- Resuelve las siguentes ecuaciones :

a) log (7x + 15) – log 5 = 1 b) (^) log = 1 + log (21 – x) c) log = 2 – 2 log x

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

a) x – y = 15 log x + log y = 2

b) x + y = 22 log x – log y = 1

2.- Resuelve los siguientes sistemas:

a) 2 log x – 5 log y = -1 c) 3 log x + 2 log y = 12 3 log x + 2 log y = 8 log = -

b) 4 log x – 3 log y = -1 d) log x + log y 3 = 5 log xy = 5 log = 4

ECUACIONES EXPONENCIALES

TEMA 4: INECUACIONES Y SISTEMAS

1.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) b) c)

2.-Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) –(x + 2) 2 + 3x 2 (-x 2 + 1) b) x (x + 3) – 2x > 4x + 4 c) (2x – 3) 2 1 d) 0 e)

3.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x^3 – 2x^2 – 3x < 0 b) x^3 – 7x + 6 0 c) x 3 – 3x^2 – 6x + 8 0 d) x^3 – x2^ - 4x + 4 > 0

4.- Una empresa de alquiler de coches cobra 30 euros fijos más 25 céntimos por kilómetro recorrido. Otra empresa de la competencia no tiene canon fijo, pero cobra 45 céntimos por kilómetro recorrido. ¿A partir de cuántos kilómetros es más económica la primera?

5.- Una fábrica paga a cada agente comercial 1 euro por artículo vendido más una cantidad fija de 1000 euros. Otra fábrica de la competencia paga 150 céntimos por artículo y 400 euros fijos. ¿Cuántos artículos debe vender un agente comercial de la competencia para ganar más dinero que el primero?

6.- Halla los números naturales cuyo triple menos seis unidades es mayor que su duplo más cinco unidades.

7.- Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

8.- ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su duplo en más de 30?

9.- Una empresa de informática cobra por elaborar un programa de ordenador 1000 euros más 120 euros por hora de programación. Otra empresa de la competencia cobra siempre 10000 euros cualquiera que sea el número de horas de programación.¿En qué condiciones conviene elegir una u otra empresa?

10.- Un vendedor tiene un contrato con una editorial por el cual percibe 360 euros de sueldo fijo más 130 euros por enciclopedia que venda. De otra editorial recibe otra oferta por la que le ofrecen 160 euros por enciclopedia que venda. Analiza la conveniencia de cada una de las ofertas según el número de enciclopedias que venda.

11.-Eduardo dice:”El doble de mi edad más tres años es mayor que mi edad más 15 años”. ¿Qué edad tiene Eduardo?

12.- Una madre y su hija se llevan 25 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad de la madre excede en más de 10 años al doble de la edad de la hija.

13.-Halla los números naturales cuyo triple menos siete unidades es mayor que su duplo más cinco unidades.

14.- Una empresa de alquiler de coches cobra un canon fijo de 49 euros, 30 céntimos por kilómetro recorrido. Otra empresa de la competencia no tiene canon fijo, pero cobra 50 céntimos por kilómetro recorrido. ¿A partir de qué kilómetros es más económica la primera?

15.-Una cooperativa paga a cada agente comercial 5 € por artículo vendido, más una cantidad fija de 1200 €. Otra cooperativa de la competencia paga 7’5 € por artículo y 500 € fijos. ¿Cuántos artículos deben vender para que el comercial de la competencia gane más dinero que el primero?

16.- ¿Cuáles son los números cuyo triple no sobrepasa su duplo en más de 20?

17.- Una empresa de transporte cobra por viaje 2000€, más 100€ por km a recorrer. Otra empresa de la competencia cobra siempre 10000€ , cualquiera que sean los kilómetros recorridos.¿En qué condiciones conviene elegir una u otra empresa?

3.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden a = 8 cm. y b = 24 cm. Halla los restantes elementos del triángulo.

4.- Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 85 dm cada uno y el desigual 168dm. Calcula los ángulos de dicho triángulo así como la altura sobre el lado desigual.

5.- El ángulo opuesto al lado desigual de un triángulo isósceles mide 65º. Cada uno de los lados iguales mide 12 cm. Calcula el lado desigual y la altura sobre él.

6.- La base de un triángulo isósceles mide 5 cm y el ángulo opuesto a dicha base es de 55º. Calcula la medida de la altura sobre dicha base así como el área del triángulo.

7.- La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50º. Calcula los lados y el área.

8.- Dos lados de un triángulo miden 9 cm y 14 cm y el ángulo que forman estos lados 57º. ¿Cuánto mide el área?

9.- Calcula el área de un triángulo del que se conocen sus lados, a = 15 cm y b = 20 cm, y el ángulo comprendido entre ellos, C = 35º.

10.- Halla la base y la altura de un rectángulo sabiendo que una de sus diagonales, que mide 20cm, forma con la base del mismo un ángulo de 30º.

11.- Halla el área de un pentágono regular de lado 10 m.

12.- Halla el área de un octógono regular de lado 20 m.

PROBLEMAS PARA APLICAR

1.- Calcula la longitud de la sombra de la torre Eiffel cuya altura es de unos 300 m, cuando la inclinación de los rayos solares medida sobre el horizonte es de 14º.

2.- Una moneda mide 2’4 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6cm del centro.

3.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que forman las ramas del compás. 4.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada rama tiene 12 cm de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.

5.- Desde un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de depresión de 55º. ¿A qué distancia del pie del faro se encuentra el barco?

6.- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya en una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?

7.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo mide 60º.Halla la altutra de la torre.

8.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º, y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y el ancho del río.

9.- Dos amigos han creído ver un ovni desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación de 30º y 75º respectivamente. ¿Sabrías hallar la altura a la que está el ovni sabiendo que se encuentra entre ellos?

10.- Se desea calcular la altura del campanario de la iglesia de Villanueva la Lastra, para ello se hacen dos observaciones desde dos puntos situados uno a dada lado de la torre y alineados con ella obteniendo como ángulos de elevación 28º y 47º. Si la distancia entre los puntos de las observaciones es 50 metros. Halla la altura de la torre.

11.- Para medir la distancia entre dos pueblos se utiliza un globo cautivo que está a 560 metros de altura. Desde Navas de Abajo se ve bajo un ángulo de elevación de 20º y desde Navas de Arriba bajo un ángulo de elevación de 25º. Suponiendo que el globo está entre los dos pueblos y alineado con ellos calcula la distancia que los separa.

PROBLEMAS DE REPASO

1.- Una escalera de 6 m de largo se encuentra apoyada en una pared de tal forma que su pie dista 3 m de la misma. Calcula la altura del punto de la pared en el que la escalera está apoyada así como el ángulo que dicha escalera forma con el suelo.

2.- Para determinar el ancho de un río se fija una señal en la orilla, a continuación el operario se coloca delante de la señal pero al otro lado del río y camina 30 metros por la orilla hasta un punto que forma un ángulo de 64º con la señal. Calcula la anchura del río.

3.- Una torre de 20 m de alto proyecta una sombra de 25 metros de largo. Calcula el ángulo de inclinación de los rayos solares en ese momento sobre el suelo.

4.- La inclinación de los rayos solares en cierto momento es de 38º sobre la horizontal. Calcula la longitud de la sombra que proyecta un árbol de 3’5 metros de altura.

5.- Desde un faro, situado a 40 m sobre el nivel del mar, se observa un barco bajo un ángulo de depresión de 28º .Calcula las distancias que separan al barco del pie del faro y del punto más alto del faro.

6- Desde cierto lugar se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 35º.Si se retrocede 200 metros, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura de la torre.

7.- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones desde dos puntos A y B situados a un lado de la torre, obteniendo como ángulos de elevación 30º y 45º, respectivamente. La distancia AB es de 30 m. Halla la altura de la torre.

8.- Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión, bajo los ángulos de 45º y 60º. La distancia entre sus casas es de 126 m y la antena está situada entre sus casas y alineadas con ellas. Halla la altura de la torre.

TEMA 8: VECTORES. GEOMETRÍA ANALÍTICA

Vectores. Ejercicios

1. Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector = (k, 3) es 5.
2. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro.
3. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de AC, A(-3, 1).
4. Averiguar si están alineados los puntos: A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5).
5. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
6. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.
7. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, -1) y B(8, -4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.
8. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
9. Si M 1 (2, 1), M 2 (3, 3) y M 3 (6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

Ecuaciones de la recta I. Ejercicios

1. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).
2. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.
3. Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2).
5. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

6. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n.