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EJERCICIOS DETERMINANTES.
1º/ Calcula el siguiente determinante:
a) Usando la Regla de Sarrus. b) Desarrollando por los elementos de la primera columna. 2º/ Obtén el valor del determinante de la matriz: A =
3º/ Calcula el rango de las matrices: a) A =
2 4 0 ^ b) B =
12 4 − 3 5
c) C =
− 4 − 2 0 ^
d) D =
4º/ ¿Para qué valor de m el rango de esta matriz es 2?
4 m 6 − 5 3 − 7
5º/ Se considera la matriz A =
2 5 a
, siendo a un parámetro real. Calcular el rango de A según los valores del parámetro a. 6º/ Obtén el valor de a para que el rango de la matriz A sea igual a 2. A =
4 − 1 6 a
7º/ Dadas las matrices: A =
1 1 0 ^
B =
− 1 3 0 determinar la matriz (^) X = A −^1 Bt^ , donde (^) A −^1 es la matriz inversa de A y (^) Bt^ es la matriz traspuesta de B. 8º/ Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa. M =
a 5 0 1 2 3 9º/ Sea la matriz: A =
0 m − 6 1 1 − m
a) Determine para qué valores del parámetro m existe (^) A −^1. b) Calcule A −^1 para m =2. 10º/ Dada la matriz: A =
1 1 m m 0 − 1 − 6 − 1 0
a) Halla los valores de m para los cuales tiene inversa.
b) Haciendo m =2, encontrar la matriz X que cumple: XA = 1 0 − 1
11º/ Resolver la ecuación matricial A BX = I donde: A =
B =
e I es la matriz identidad de orden tres.
3º/ Calcula el rango de las matrices: a) A =
b) B =
c) C =
− 4 − 2 0 ^
d) D =
a) A =
∣ A ∣=− 18 4 2 12 = 0 , luego no tenemos ningún menor de orden
3 distinto de cero, pero si hay menores de orden 2 distinto de cero, por ejemplo el formado por las
dos primeras filas y columnas: ∣
= 1 3 = 4 ⇒ r A = 2. b) B =
12 4 − 3 5
0 0 − 3 − 3
0 0 0 0 ⇒ r B = 2 F (^) 2 F (^) 2 2F 1 F 3 F 3 F 1
F 3 F 3 F 2
c) C =
⇒ r C = 2 d) D =
∣ D ∣=− 16 − 36 16 − 3 = 39 ≠ 0 ⇒ r D = 3 (tenemos un menor de
orden 3, el propio determinante de la matriz distinto de cero). 4º/ ¿Para qué valor de m el rango de esta matriz es 2?
4 m 6 − 5 3 − 7
Hallamos el determinante de la matriz e igualamos a cero, para saber en qué valor el rango de la matriz no es 3: ∣
4 m 6 − 5 3 − 7 ∣ =−7m− 120 72 30m 112 − 18 =23m 46 = 0 ⇒ m =
Por tanto, para m =-2, tenemos que la matriz no es de rango3, pero si de rango 2, pues hay menores de orden 2 distintos de cero.
5º/ Se considera la matriz A =
2 5 a
, siendo a un parámetro real. Calcular el rango de A según los valores del parámetro a. Hallamos el determinante de A e igualamos a cero:
∣ A ∣=3a 12 15 − 18 −2a− 15 = a − 6 = 0 ⇒ a = 6
- Si a ≠^6 ⇒∣ A ∣≠^0 ⇒^ r^ ^ A =^3
- Si a =^6 : A =
2 5 6 ^ ,tenemos menores de orden 2 distintos de cero, por ejemplo el formado por las
dos primeras filas y columnas: ∣
= 1 ≠ 0 ⇒ r A = (^2). 6º/ Obtén el valor de a para que el rango de la matriz A sea igual a 2. A =
4 − 1 6 a
Hacemos ceros en la matriz: A =
4 − 1 6 a
0 7 − 6 a
0 0 0 a 1 Para que el rango sea 2, la última fila debería ser nula, luego: a ^1 =^0 ⇒ a =−^1.
9º/ Sea la matriz: A =
0 m − 6 1 1 − m
a) Determine para qué valores del parámetro m existe A −^1. b) Calcule A −^1 para m =2. a) Existe la matriz inversa si y solo si el determinante no es cero:
∣ A ∣=− m
2 m 6 = 0 ⇒ m =
{
- Si m =−^2 ó m =^3 , la matriz A no tiene inversa.
- Si m ≠−^2 y m ≠^3 , la matriz A si tiene inversa. b) Caso m = 2 : A =
1 1 − 2
∣ A ∣=− 4 2 6 = 4 Adj^ ^ A =
2 6 2 ^ Adj A t =
− 2 − 1 2 A − 1 =
∣ A ∣
Adj A t =
− 2 − 1 2
− 2 − 1 2
− 1 / 2 − 1 / 4 1 / 2
10º/ Dada la matriz: A = 1 1 m m 0 − 1 − 6 − 1 0 a) Halla los valores de m para los cuales tiene inversa.
b) Haciendo m =2, encontrar la matriz X que cumple: XA = 1 0 − 1
a) A tiene inversa si y solo si su determinante no es cero.
∣ A ∣= 6 − m^2 − 1 = 5 − m^2 = 0 ⇒ m^2 = 5 ⇒ m =± 5
- Si m = 5 ó m =− 5 , la matriz A no tiene inversa.
- Si m ≠ 5 y m ≠− 5 , la matriz A si tiene inversa. b) m = 2 ⇒ A =
− 6 − 1 0
XA = 1 0 − 1 = B
XA = B
Multiplicando A −^1 por la derecha: XAA − 1 = BA − 1 XI = BA − 1 X = BA − 1 Calculamos A −^1 :
∣ A ∣= 1 Adj^ ^ A =
− 1 5 − 2 ^ Adj A t =
− 2 − 5 − 2 A − 1 =
∣ A ∣
· Adj A t =
− 2 − 5 − 2 Calculamos finalmente la matriz X : X = BA − 1
− 2 − 5 − 2
