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UNIDAD EDUCATIVA: COLEGIO MARISCAL DE AYACUCHO MATERIA: MATEMATICA NIVEL: 4TO AÑO LAPSO: TERCERO PROFESORA: BETILDE SULBARAN Guía N° 3
TEMA IV.- PROGRESIONES:
PROGRESIONES GEOMETRICAS:
DEFINICIÓN: Una progresión geométrica es una sucesión de números reales tales que cada término excepto el primero se forma multiplicando una cantidad constante al término anterior. Esta cantidad constante se llama RAZON o DIFERENCIA de la progresión y puede ser cualquier numero real “menos” el cero “0” y el uno “1” que se representa con r o con d Cuando la razón es positiva mayor que +1 (> +1), la progresión es creciente. (En Valor absoluto) Cuando la razón es positiva menor que +1 (< +1), la progresión es decreciente. (En Valor absoluto) Cuando la razón es negativa los términos de la progresión son alternativamente positivos y negativos.
Consideremos la progresión geométrica ; ; ; ………
De acuerdo con la definición cada término es igual al anterior más la razón o diferencia. Notación:
Los términos de las progresiones aritméticas se anotan así: ; ; ; ………
Razón: “ r ” Si a: lo multiplicamos por la razón “r” obtenemos. r = → =. r Si a: lo multiplicamos por la razón “r” obtenemos. r = → =. r Si a: lo multiplicamos por la razón “r” obtenemos. r = → =. r
Generalizando: E l término que ocupa el lugar “n” se obtiene el término general.
=. r
EJEMPLO 1 :
Formar una progresión geométrica que empieza en 2 y cuya razón es 3 =. r =. r =. r =. r = 2 r = 3 =. 3 = 18. 3 =. 3
=? = = =
Respuesta : 2, 6, 18, 54, 162, ……….La progresión es creciente
TERMINO “N ESIMO “ DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Como una progresión geométrica es una sucesión que se forma multiplicando a cada término por una cantidad constante se puede decir que: ;. r ;. ;. ;. …………..
=. r
=. r =. r =. r ….. =.
. r.r =. .r =. .r ….. =. . =. =. ….. =. =
El término que ocupa el lugar “n” en tonces será la expresión: =
Formula “ n” esima de la Progresión Geométrica = representa el ultimo termino representa el primer termino r = es la razón de la progresión “r” puede ser cualquier numero menos el cero
N = representa el numero de términos “n” “n” tiene que ser un numero entero positivo Despejes de la formula =
= (^) r (^) √ N = +
Cuando se conocen dos términos consecutivos, la razón se obtiene dividiendo un termino cualquiera entre el anterior. r = = =……….. en general r =
EJEMPLO 1: El cuarto término de una progresión geométrica es igual a 2 y la razón es - 1/2. Hallar el término de lugar 7. Datos : = 2 =
=? (^) =
r = - 1/2 (^) =
n=p (^) = ( - )
= - = -
EJEMPLO 2: En una progresión geométrica el tercer termino es igual a 9 el quinto termino 100 hallar la razón. Datos : = 9 =
n=p = = 100 = 9 = √ = (^) = √ √ =
INTERPOLACIÓN ARITMETICA Y GEOMETRICA
INTERPOLACION: Es un proceso de usar puntos con valores conocidos o en una muestra de puntos para estimar valores en puntos desconocidos. INTERPOLACIÓN ARITMETICA: Interpolar medios aritméticos o diferenciales entre dos números es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean dos números cualesquiera “ a ” y “ b ” , se llama interpolar “ n ” elementos entre ellos a formar una progresión aritmética cuyo primer termino sea “a” y el ultimo sea “b” y el numero de términos “n+2”. El problema consiste en calcular la razón y después formar la progresión. EJEMPLO: Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 5 y 20 Se tiene que formar una progresión aritmética que comience en 5 y que termine en 20 y que tenga n+2 elementos que seria 4 +2 = 6 elementos.
Datos Calculo de r Formación de la progresión = 5 = +( n-1) r = 5
= 20 r = = 5 +3^ = 8
n =4+2 (^) r = = 8 +3 = 11
r =? (^) r = = 11 +3 = 14
r = 3 = 14 +3 = 17 = 17 +3 = 20 Respuesta: 5, 8, 11, 14, 17, 20
Ejercicio 2: Interpolar 6 medios aritméticos entre -1y 3 Se tiene que formar una progresión aritmética que comience en -1 y que termine en 3 y que tenga n+2 elementos que seria 6 +2 = 8 elementos. Datos Calculo de r Formación de la progresión = -1 = +( n-1) r = -
= 3 r = (^) = -1 + =-
n =6+2 n=8 (^) r = r = =- + =
r =? (^) r = = + =
= + = = + = = + =
Respuesta: -1; - ; ; ; ; ; ; 3 = + = =
INTERPOLACIÓN GEOMETRICA: Interpolar medios geométricos entre dos números es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean dos números cualesquiera “a” y “b”, se llama interpolar “n” elementos entre ellos a formar una prog resión geométrica cuyo primer termino sea “a” y el ultimo sea “b” y el numero de términos “n+2”. El problema consiste en calcular la razón y después formar la progresión.
UNIDAD EDUCATIVA: COLEGIO MARISCAL DE AYACUCHO
MATERIA: MATEMATICA NIVEL: 4TO AÑO
LAPSO: TERCERO PROFESORA: BETILDE SULBARAN
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
TEMA IV.- PROGRESIONES GEOMETRICAS
RESOLVER GUÍA DE EJERCICIOS
Lea cuidadosamente la guía y luego resuelva los siguientes ejercicios paso a paso según la guía enviada realizando cada uno de los procedimientos. Presentarlo en forma Ordenada, márgenes, ortografía, a mano y en bolígrafo, tomando en cuenta que si un profesor o el representante te lo hacen o te ayudan, al menos debes pasarlo con tu letra y si lo haces en grupo cada uno tiene su propia forma de analizar, presentar y organizar no puede ser copia fiel.
ACTIVIDAD N° 1 PROGRESIONES GEOMETRICAS ( Puntuación 4 puntos cada una)
- Formar una progresión geométrica que empieza en 5 y cuya razón es 7
- Calcular el quinto termino de un a progresión geométrica de razón ½ que empieza en 6
- Calcular la razón de una progresión geométrica de 6 términos que empieza en 2 y termina en 64
- El tercer término de una progresión geométrica es igual a 2 y la razón es -1/3. Hallar el término de lugar 8.
- En una progresión geométrica el cuarto termino es igual a 9 el séptimo termino 81 hallar la razón.
ACTIVIDAD N° 2 INTERPOLACION ( Puntuación 4 puntos cada una)
INTERPOLACIÓN ARITMETICA Y GEOMETRICA:
- Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 2 y 25
- Interpolar 4 medios aritméticos entre -2 y 1/
- Interpolar 3 medios geométricos entre 6 y
- Interpolar 6 medios geométricos entre los números -64 y 1/
- Interpolar 3 medios geométricos entre 16 y 258
