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Germán Jesús Rubio Luna
Catedrático de Matemáticas
del IES Francico Ayala
Matrices. Grafos (pag. 8). Sistemas de Ecuaciones (pag. 14) Matrices de números reales. Definiciones Def.- Consideremos el cuerpo (cuerpo es un conjunto de números donde se puede sumar, restar, multiplicar y dividir) de los números reales R. Una matriz de números reales de orden “mxn” (se lee ”m” por “n”) es una tabla de “mxn” números ordenados en “m” filas y en “n” columnas de la siguiente forma F 8 E Ba11 a F 8 E Ca 21 a 22 A= F 8E C ... ... F 8 E Dam1 am
... a1n ... a 2n F 8F 7 ← fila 2 ... ... ... amn ↑ Columna 2
Donde los aij son números reales, el subíndice i (el 1º) indica la fila donde está colocado el número aij, y el subíndice j (el 2º) indica la columna donde está colocado el elemento aij. Es como si jugáramos al juego de los barquitos, fila i, columna j. 3
−1 4 3 2 F 8F 7es una matriz de orden 3x4. Veamos algunos elementos 2 5
** La matriz A= F 8E C 4
F 8 E C^1 −^1
a23=3 (elemento que está en la fila 2 y la columna 3) a34=5; a12=2, a32=-1 etc... Def.- Matriz fila es la que tiene una sola fila ** (1 3 -4 5) esta es de orden 1x Def.- Matriz columna es la que tiene una sola columna F 8 E B−^2
** F 8E C 3 F 8F 7 esta es de orden 3x F 8 E C^1
Def.- Una matriz escalonada por filas es una matriz tal que en cada fila el número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que en la fila anterior. **
1 0 A= 0 0
es 2 1
una matriz escalonada de orden 4x
Def.- Una matriz cuadrada es la que tiene igual número de filas que de columnas. **
F 8 E C^1 −^1 2 − 4
3 − 2 5 0 2 3
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F 8 E B^2 −^5 −^1 ; A= 0 3 4
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F 8 E B2 3 A = F 8E C − 5 4 F 8 E C−1 0 t
Def.- La matriz nula Omxn es la que tiene todos sus elementos nulos, es decir 0 0 Omxn= ... 0
0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 F 8F 7F 8F 8mxn
Def.- Dada la matriz cuadrada de orden n
F 8 E Ba 11 a 12 a a A= F 8E CF 8E C 21 22 ... ... a a
n F 8 E Dn
... a 1n ... a 2n , ... ... ... a nn
se llama diagonal principal
a los elementos de la forma aii (unir extremo superior izquierda con extremo inferior derecha). Se llama diagonal secundaria a los elementos de la forma aij con i+j=n+1 (unir extremo superior derecha con extremo inferior izquierda). Def.- Una matriz cuadrada de orden n decimos que es triangular superior sii todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros. 1 2 3 ** F 8E C0 2 1 F 8F 7 es triangular superior de orden 3. 0 0 − 2
Def.- Una matriz cuadrada de orden n decimos que es triangular inferior sii todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros. F 8 E B^1
0 F 8F 7es triangular inferior de orden 3. 3 − 2
0
** F 8E C− 6 2
F 8 E C^1
Def.- Una matriz cuadrada de orden n decimos que es diagonal sii todos los elementos que no están en la diagonal principal son ceros. 1 0 0 ** F 8E C0 2 0 F 8F 7 es matriz diagonal de orden 3. 0 0 − 2
F 8 E B^0 −^1 0
t F 8 F 7
F 8 F 7es antisimétrica porque A =^ ** A= − 1 0 1
Matrices y Sistemas de Ecuaciones
F 8 E B0 1 F 8 F 7
F 8 F 8F 7, E D−1 0
y – At=
es decir A= -At. Página 2
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Operaciones con matrices
- Suma Def.- Dadas dos matrices del mismo orden mxn A=(aij) y B(bij), se define su suma, que se indica A+B como la matriz de orden mxn que se obtiene al sumar los elementos de A y de B que se encuentran en el mismo lugar, es decir A+B=(aij + bij). F 8 E B2 1 3^
F 8 F 6
F 8 E B 1 1^ −^1
F 8 F 6
F 8 E B 2 + 1 1 + 1 3^ −^1
F 8 F 6
F 8 F 8 E B^ 3 2 2^ F 7
F 8 F 8F 7+^ F 7
F 8 F 7=^ F 8 F 7
F 8 F 7=^ F 8 E D−^ 2 1 4^
F 8 F 8
F 8 E D 2 1 2^
F 8 F 8
F 8 E D −^ 2 + 2 1+1 4 + 2^
F 8 F 8
F 8 E D0 2 6
**
Propiedades de la suma Si A, B, C, O son matrices de orden “mxn” siendo O la matriz nula tenemos:
- Asociativa A+(B+C)=(A+B)+C
- Conmutativa A+B=B+A
- Elemento neutro A+O=O+A=A, siendo O la matriz nula
- Elemento opuesto Dada la matriz A, existe su opuesta –A, tal que A+(-A)=(-A)+A=O Nota.- También se verifica la siguiente propiedad (A+B)t=At+Bt. F 8 E B1 2^
F 8 F 6
F 8 E B 2 −^3
F 8 F 6
F 8 E B 1 2^
F 8 F 6
F 8 E B1 0^ F 8 F 7
F 8 F 8F 7+^ F 7
F 8 F 8F 7+^ F 7
F 8 F 7+^ 3 4 F 8F 8F 8E D − 3 4 0 3 0 − 2
** Calcula
- Producto de un número real por una matriz Def.- Dada la matriz de orden “mxn” A=(aij) y el número real λ, se define el producto del número λ por la matriz A como una nueva matriz de orden “mxn” que se obtiene multiplicando todos los elementos de la matriz A por el número λ, es decir λ .A=(λ.aij) F 8 E B1 2 F 8 F 7
F 8 F 8F 7= E D−^ 3 4
** 3.
2 2 (^3) C 5 2 F 8 F 6
F 8 F 8 E B^ 3 6^ E B
2 2 (^3) C 5 1 = ⋅
F 8 E D1 0^ F 8 E B^1 −^5 −^6
F 8 F 6
F 8 E B 6 3^ −^1
F 8 F 6
F 8 E E
F 8 F 8 E B^ 1 0 0^ E B−^ 6 0 3^ b) A -2. F 8E C 2 3 1 F 8F 7 = F 8E C 3 3 1 F 8F 7 - 5 F 8E C 0 1 0 F 8F 7 -2. F 8E C 1 0 2 4 5 3 F 8F 7F 8F 8F 8E DF 8E C4 3 2 F 8F 7F 8F 8F 8E FF 8F 0F 8E DF 8E C 0 0 1 F 8 E D−^1 −^ 1 0^ F 8 E E
F 8 E B^7 −^ 5 3 1 7 − 6 2 1 F 8 E B1 5 6^ −^1 ^ F 8 F 7
F 8 F 8F 7-2.^ F 7
F 8 F 7
F 8 F A+6.^ c) 14.A=3. F 8 E F
F 8 F 0
F 8 E D^2 −^ 6 3 1 F 8 E D F 80 3 1 0 E D0 1 0 1^
- Producto de matrices. Potencias Nota.- Para poder multiplicar las matrices A y B en el orden A.B el número de columnas de A tiene que coincidir con el número de filas de B, y la matriz resultante del producto 2 2 tiene por orden filas de la 1ª matriz, columnas de la 2ª matriz, es decir Amxn 2 2 (^) C 5Bnxp=Cmxp. Def.- Dadas las matrices Amxn=(aij) y Bnxp=(bij), se define su producto A (^) C 5B como la matriz Cmxp=(cij) con cij=ai1b1j+ ai2b2j+ ai3b3j+......+ ainbnj, es decir para obtener el elemento cij del Matrices y Sistemas de Ecuaciones
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producto se multiplica término a término los elementos de la fila i de la matriz A por los elementos de la columna j de la matriz B y se suman.
F 8 E B3 0 1^ ^ F 8 F 7
F 8 F 7.^
F 8 E C 0
F 8 F 8 F 7^ , E D2 1 5^
F 8 F 8
F 8 E C 2
como la 1ª es de orden 2x3 y la 2ª de orden 3x1 podemos multiplicarlas y 1 F 8 E B3 0 1^
F 8 F 6
F 8 E C
F 8 F 7
F 8 E B 3 x1 + 0 x0 + 1x 2^
F 8 F 6
F 8 E B 5 F 8 F 7
F 8 F 7.^
F 8 E C 0
F 8 F 8 F 7^ =^ F 7
F 8 F 8F 7=^ ^ E D2 1 5^
F 8 F 8
F 8 E C 2
F 8 F 7
F 8 E D 2 x1 + 1x0 + 5 x 2^ ^ ^12
el producto es de orden 2x1, es decir F 8 E B2 0^
F 8 F 6
F 8 E B 4 −1 2^ F 8 F 7
F 8 F 8F 7.^ F 7
F 8 F 7, 1 5 F 8F 8F 8E D 0 3 − 2
como la 1ª es de orden 2x2 y la 2ª de orden 2x3 podemos
multiplicarlas y el producto es de orden 2x3, es decir F 8 E B2 0^
F 8 F 6
F 8 E B 4 −^ 1 2^
F 8 F 6
F 8 E B 2 x 4 + 0 x0 2 x(−1) + 0 x3 2 x 2 + 0 x(−2)^
F 8 F 6
F 8 E B 8 −^ 2 4^ F 8 F 7
F 8 F 8F 7.^ F 7
F 8 F 7=^ F 8 F 7
F 8 F 7=^ F 8 E D1 5^
F 8 F 8
F 8 E D 0 3^ −^2
F 8 F 8
F 8 E D 1x 4 + 5 x0 1x(−1) + 5 x3 1x 2 + 5 x(−2)^
F 8 F 8
F 8 E D 4 14^ −^8 F 8 E B^3
** F 8E CF 8E CF 8F 7F 8F 7. (4 − 2) , como la 1ª es de orden 2x1 y la 2ª de orden 1x2 podemos multiplicarlas y el 5
F 8 E B3 x 4 3 x(−2)^
B=
F 8 E B F 83 3 F 7
F 8 F 7; 1 1
y C=
F 8 E D10 10^
A.B =
5 5 F 8 E D10 10^
A.C =
y B≠C
Nota.- No se verifican las igualdades (A+B)2=A2+2AB+B2, pues en general AB≠BA. Tampoco se verifica en general (A-B)(A+B)=A2 – B2, por la misma razón de antes.
- El producto de dos matrices puede ser la matriz nula O sin que lo sean ninguna de las 2 2 dos es decir puede ser A (^) C 5B=O con A≠O y B≠O , siendo O la matiz nula. (Se suele decir que el producto de matrices es singular no regular) F 8 E B^1 −^1 − 2 2
** A=
y B=
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Catedrático de Matemáticas A 5X + 3Y = con B 3X + 2Y =
** Resolver el sistema
F 8 E B2 0 F 8 E D−4 15^
A=
F 8 E B^1 −^1 . 2 9
y B=
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Calcula después X2+Y2.
Def.- En el conjunto de las matrices cuadradas podemos definir las potencias de una matriz de la siguiente forma: 2 2 A2=A (^) C 5 2 2A
C 5
2 2 A3=A A (^) C 5A ........... 2 2 C 5
2 2 C 5
2 2 C 5
2 2 C 5
2 2 C 5
2 2 C 5
2 2 C 5
2 2 C 5
2 2 An=A A (n-veces) (^) C 5A ** Calcula
** Calcula
0 0 2 3 10 A , A , y A con A= 0 0 1 A2, A3, .. An con A= 1
F 8 E B0 0^ −^1 Comprueba que A= F 8E CF 8E C1 0 0 F 8F 7F 8F 7 , es ortogonal. 0 1 0 1 1 0 Comprobar si A = F 8E CF 8E C 1 -1 1 F 8F 7F 8F 7 es ortogonal. F 8 E C1 0^ −^1
Propiedades de la trasposición de matrices a) (At)t=A b) (A+B)t=At+Bt. 2 2 C 5
2 2 c) (k (^) 2 2A)t=k (^) C 5At C 5
2 2 d) (A B)t=Bt (^) C 5At Matriz inversa Nota.- Las matrices inversas solo existen para las matrices cuadradas. Def.- Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz cuadrada de orden n B tal que AB=BA=I, siendo I la matriz identidad de orden n se dice que la matriz A es regular o inversible, y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se escribe A-1. Es decir AA-1=A-1A =I Def.- Si una matriz cuadrada no admite inversa, es decir no es regular se dice que es singular. Teorema.- La matriz inversa de una matriz cuadrada A si existe es única. Propiedades
- (A-1)-1 =A 2 2 C 5
2 2
- (A B)-1 = B-1 (^) C 5A-
- (At)-1=(A-1)t Matrices y Sistemas de Ecuaciones
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4).- Una matriz cuadrada A decimos que es ortogonal sii su traspuesta coincide con su inversa, es decir At = A-1. Calculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan Nota.- Para calcular la inversa de la matriz A por este método se pone a la derecha de la matriz A la matriz identidad del mismo orden en la forma (An | In ), y le aplicamos las transformaciones elementales por filas entre matrices hasta obtener ( In | Bn ). Si lo conseguimos la matriz B es la inversa de la matriz A. Si al hacer este proceso alguna de las filas de la matriz A se anula, la matriz A no tiene inversa y es una matriz singular. Nota.-Recuerdo que las transformaciones elementales por filas entre las matrices eran: (a) Cambiar de orden las filas de la matriz. (b) Multiplicar una fila de una matriz por un número distinto de cero. (c) Suprimir una fila que sea combinación lineal de las demás. (d) Suprimir una fila de ceros. (e) Sustituir una fila por la suma de ella más otra multiplicada por un número cualquiera (f) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y de las restantes, siempre que el coeficiente multiplicador de la fila sustituida sea un número distinto de cero. F 8 E B−1 2 F 8 E D3 1
** Calcula la matriz inversa de A=
F 8 E B−^1 3 1 0
F 8 E B^1 −^2 −1 0^
F 8 F 6 No toco 2 1 0 F 8F 61ª ( −1) F 8E B 1 − 2 −1 0 F 8F 6 No toco → → → 1 0 1 F 8 E D3 1 0 1^
F 8 F 8 2ª + 1ª(-3)^
F 8 E D 0 7 3 1^
F 8 F 82ª/(7) − 2 − 1 0 F 8F 61ª + 2ª(2) F 8 E B-1 2^ -1 F 8E B-1/7 2/7 → , luego la matriz inversa de A=
.Adj(At), |A|
si se conocen los
determinantes. Desde hace dos años (2009-2010) los alumnos de la Comunidad Autónoma Andaluza no tienen necesidad de conocer los determinantes en las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Vamos a realizarlo con una matriz de orden 2x a b
a b
La matriz A = = a.d – b.c (producto de los F 8 F 7tiene inversa si su determinarte |A| = c d F 8 E Dc d elementos de la diagonal principal menos producto de los elementos de la diagonal secundaria) es distinto de cero, la matriz inversa es A-1 =
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.Adj(A t ) , |A|
donde |A| es el
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determinante de A, At es su matriz traspuesta (cambiar filas por columnas) y Adj(At) es la matriz adjunta de la traspuesta. En el caso de una matriz cuadrada de orden 2x2 indico las diferentes matrices. a b
a c
d
-b
1
1 d
-b
t t
t A= . ; A = F 8 F 7 F 8; y la inversa es A = .Adj(A ) = F 7; Adj(A ) =^ |A| |A| F 8E D -c a F 8 E D F 8c d E D F 8-c a^ E Db d
F 8 E B4 1 ** Inversa de A= . F 8 E D0 2 Como |A| = 4.2 – 1.0 = 8 ≠ 0, existe su matriz inversa que es A-1 =
.Adj(A t ). |A|
F 8 E B4 1^
F 8 F 6 t^
F 8 F 8 E B^ 4 0^ E B2 -^
F 8 F 6
F 8 E B 2 -1 t
