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TEMA 0. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Matriz es el nombre genérico que en matemáticas se aplica a listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean, entre otras muchas cosas, para almacenar información, para describir relaciones, para el estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología, Estadística, Geometría,...
DEFINICIONES BÁSICAS
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de una tabla de n filas y m columnas. Se simboliza en las formas:
, ó
ó
siendo:
a (^) ij : el término situado en la fila i y columna j,
cj : vector-columna formado por los elementos de la columna j
(j = 1, 2, ..., m)
f (^) i : vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., n)
Si , la matriz se denomina matriz fila.
Si , la matriz se denomina matriz columna.
Una matriz puede contener informaciones muy variadas:
- Resultado de una encuesta realizada a n individuos sobre m preguntas. Cada fila es la respuesta de un individuo.
- Una tecnología lineal que emplea n factores en m procesos productivos. Cada columna es un proceso productivo.
- Una aplicación lineal de Rn^ en R m.
- Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de n ecuaciones y m incógnitas. Cada columna son los coeficientes de una incógnita.
Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas n = m.
En las matrices cuadradas llamamos diagonal principal a los elementos en los que los subíndices i y j coinciden:
forman la diagonal principal.
La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina TRAZA de la matriz.
Las matrices cuadradas que tengan nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal principal se denominan matrices triangulares. Siendo: subtriangular si son nulos los que quedan a la izquierda y súper triangular sin son los de la derecha.
Matriz diagonal es la que tenga nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal.
Triangular superior Triangular inferior
Diagonal
OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Cuando los elementos de la matriz son números reales, o de cualquier cuerpo conmutativo, surge una capacidad operatoria con las matrices, o lo que es igual, surge una estructura algebraica en los conjuntos de matrices.
SUMA DE MATRICES
- Suma de dos matrices del mismo orden es la matriz que resulta al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas.
Sumándose elemento a elemento:
El elemento neutro de la suma matricial es la matriz nula , que tiene todos sus elementos iguales a cero.
Propiedades
Sean A, B, y C matrices del mismo orden y 0 la matriz nula, entonces
Ejemplo:
Si la matriz A es cuadrada y además , la matriz coincide con A. Las matrices que cumplen se denominan matrices simétricas.
Ejemplo:
Propiedades
- Propiedad involutiva : el resultado de transponer dos veces (o un número par de veces) una matriz, es la propia matriz.
- La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas.
- La transpuesta de un producto de dos matrices es el producto de las transpuestas cambiadas de orden.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
A toda matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante de A , que se simboliza como o.
Este número es una característica de la matriz que contiene información sobre la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna (y de los vectores-fila) que forman la matriz A.
Lo más relevante es el hecho de que sea igual a cero o distinto de cero. En el primer caso, los vectores son linealmente dependientes (l.d.) y en el segundo, linealmente independientes (l.i.)
El cálculo del determinante se basa en la definición que se da a continuación y en las propiedades que siguen:
DEFINICIÓN: Determinante de una matriz cuadrada (de orden n ) es el número que resulta al sumar todos los productos de n elementos de la matriz que cumplan dos requisitos:
- Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de cada columna.
- Que a cada producto se le anteponga signo + o signo – según que haya un número par o impar de inversiones del orden natural en los subíndices de columnas, previa ordenación de los elementos de cada producto por filas, o en los subíndices de filas, previa ordenación de los elementos de cada producto por columnas.
De la definición se desprende que el número de productos que hay que sumar para calcular el determinante, coincide con el número de permutaciones que pueden hacerse con los n primeros números naturales, que es n!, y que a la mitad de ellos, hay que anteponer signo (-).
- Determinante de una Matriz cuadra de orden 2
Número de productos 2! = 2. Ordenados los elementos por filas son de la forma. Los segundos subíndices pueden ser o. Los primeros están en el orden natural, en los segundos hay una inversión del orden natural.
- Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
Número de productos: 3! = 1.2.3 = 6.
Ordenados los elementos por filas, son de la forma.
PROPIEDAD 1
El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta
PROPIEDAD 2
Si una de las columnas (o de las filas) de la matriz es nula, el determinante vale 0.
PROPIEDAD 3
Si se intercambian entre sí dos columnas (o filas) de la matriz, el determinante cambia de signo.
PROPIEDAD 4
Si la matriz tiene dos columnas (o filas) iguales, su determinante es cero.
PROPIEDAD 5
Si cada columna (o fila) de una matriz se multiplica por un escalar, el determinante de la nueva matriz es igual al producto de los escalares por el determinante de la matriz inicial.
PROPIEDAD 6
Si una matriz tiene dos columnas (o filas) proporcionales, su determinante vale cero.
PROPIEDAD 7
El determinante de una matriz producto de dos matrices cuadradas del mismo orden coincide con el producto de los determinantes de ambas.
2. PROPIEDAD QUE CONDUCE A UN PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DEL
DETERMINANTE EN CUALQUIER CASO :
PROPIEDAD 8
El determinante de una matriz no cambia de valor al sumar a una columna (o fila) una combinación lineal de las demás.
En esta propiedad se basa el método de Laplace para la resolución de determinantes. Consiste en hacer que una fila o columna tenga todos los elementos iguales a cero menos uno y aplicar a continuación el método de los adjuntos a esa fila o columna.
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A-1^ es matriz inversa de la matriz A, si el producto de ambas matrices es igual a la matriz unidad (I).
La matriz A será invertible si su determinante es distinto de cero. En caso contrario no será invertible. Así pues las matrices regulares admiten inversa y las matrices singulares no admiten inversa.
Es condición necesaria y suficiente para que exista la inversa de una matriz cuadrada que su determinante sea distinto de cero.
PROPIEDADES
- La inversa de una matriz, si existe, es única
- El determinante de la inversa de una matriz, coincide con el inverso del determinante de la matriz.
- La inversión es involutiva, es decir, aplicada dos veces (o un número par de veces) resulta la matriz inicial.
- La inversa de un producto es igual al producto de las inversas cambiadas de orden.
- La inversa de la transpuesta de una matriz, es igual a la transpuesta de la inversa de la matriz
CÁLCULO DE LA INVERSA
La inversa de la matriz A es igual al inverso de su determinante por la matriz formada por los adjuntos de A transpuestos.
EXPRESIONES Y ECUACIONES MATRICIALES
Expresión matricial
Toda expresión en la que intervengan matrices cuyos órdenes sean conformes con las operaciones a las que van sometidas, es una expresión matricial. Tales expresiones a veces pueden simplificarse. Para ello se debe tener muy en cuenta la no conmutatividad del producto y las propiedades de la inversión y de la transposición matricial.
Ecuación matricial
Es toda igualdad entre expresiones matriciales en la que todas las matrices sean conocidas excepto una que es la matriz incógnita. Para despejar la matriz incógnita, al igual que en las ecuaciones algebraicas, se procede a transponer los términos de modo que la matriz incógnita quede en uno de los miembros, normalmente multiplicada por una o más matrices. Si la matriz que multiplica a la incógnita es regular (admite inversa), multiplicando en los dos miembros, al mismo lado, por su inversa, queda despejada la matriz incógnita.
Ejemplo:
