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matematicas aplicadas al campo de la economia
Tipo: Apuntes
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Concepto de funci´Introducci´onon Funciones reales de variable real L´ımite de una funci´Funciones de varias variableson de una y varias variables Funciones continuas
Grado en Estad´ıstica Empresarial Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas Curso 2020- Prof. Mar´ıa Victoria Herranz
Concepto de funci´Introducci´onon Funciones reales de variable real L´ımite de una funci´Funciones de varias variableson de una y varias variables Funciones continuas (^1) Introducci´on Nomenclatura Conjuntos num´ericos (^2) Concepto de funci´on Concepto algebraico de funci´on Concepto geom´etrico de funci´on Concepto econ´omico de funci´on (^3) Funciones reales de variable real Dominio de una funci´on real de variable real Imagen de una funci´on real de variable real Composici´on de funciones Repaso de Funciones Elementales Aplicaciones a la econom´ıa de las funciones lineales y cuadr´aticas 4 Funciones de varias variables Dominio de una funci´on de dos variables Funci´on compuesta Curvas de nivel (^5) L´ımite de una funci´on de una y varias variables L´ımite de funciones de una variable
Concepto de funci´Introducci´onon Funciones reales de variable real L´ımite de una funci´Funciones de varias variableson de una y varias variables Funciones continuas
Nomenclatura Conjuntos num´ericos
N´umeros naturales: N = { 1 , 2 , 3 , 4 ,.. .} N´umeros enteros: Z = {... , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,.. .} N´umeros racionales Q = { pq | p, q ∈ Z, q 6 = 0} N´umeros irracionales I = {
2 , π, e,.. .} N´umeros reales R = Q ∪ I
Concepto de funci´Introducci´onon Funciones reales de variable real L´ımite de una funci´Funciones de varias variableson de una y varias variables Funciones continuas
Concepto algebraico de funci´Concepto geom´etrico de funci´onon Concepto econ´omico de funci´on
Una funci´on y = f (x 1 , x 2 ,... , xn) tal y como normalmente aparece en la vida cotidiana, es un m´etodo o procedimiento por el que una magnitud a la que representaremos por la letra y depende (modo de dependencia que representamos por f ) de otra u otras variables a las que representaremos por las letras x 1 , x 2 ,... , xn. Una funci´on f : A −→ R es una aplicaci´on de un subconjunto A ⊆ Rn^ de manera que a cada (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ A le corresponde un ´unico valor f (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ R. Ejemplos Una pareja se va a cenar. El precio de la cena (es decir, la cantidad y ) depende de los platos y de la bebida elegida, que son las entidades que reperesentaremos por las letras x 1 , x 2 ,... , xn. El precio de una casa, de nuevo la entidad y , depende (dependencia que representaremos por la letra f ), de los metros cuadrados que tenga la casa en cuesti´on, as´ı como de su situaci´on, de su estado de conservaci´on, etc, que son las variables que representamos por las letras x 1 , x 2 ,... , xn. El ´area de un rect´angulo (cantidad y ) depende de las longitudes de su base y su altura, las magnitudes que representamos en este caso s´olamente por dos letras o variables, base y altura: x 1 y x 2.
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Concepto algebraico de funci´Concepto geom´etrico de funci´onon Concepto econ´omico de funci´on
Geom´etricamente, una funci´on y = f (x 1 , x 2 ,... , xn) viene dada por una curva o superficie o, en general, por cierta gr´afica asociada a ella, que la representa globalmente.
Ejemplos
Concepto de funci´Introducci´onon Funciones reales de variable real L´ımite de una funci´Funciones de varias variableson de una y varias variables Funciones continuas
Concepto algebraico de funci´Concepto geom´etrico de funci´onon Concepto econ´omico de funci´on
Econ´omicamente, una funci´on es una empresa, en donde las variabes x 1 , x 2 ,... , xn son las n materias primas que precisa la empresa, la funci´on f es el mecanismo o procedimiento que emplea la empresa para transformar esas materias primas en alg´un otro producto, y el producto final es la variable y que produce la empresa. Todas las caracter´ısticas de la empresa quedan codificadas en la funci´on y = f (x 1 , x 2 ,... , xn). La teor´ıa de funciones es esencial en econom´ıa.
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Concepto algebraico de funci´Concepto geom´etrico de funci´onon Concepto econ´omico de funci´on
Ejemplos La funci´on de producci´on de Cobb-douglas. En 1920, Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estudio en el que propusieron un modelo para el crecimiento de la econom´ıa estadounidense durante el per´ıodo de 1899 − 1922. Resulta intuitivamente claro que la producci´on de una empresa, P, en este caso la econom´ıa estadounidense, depende de alg´un modo f del capital invertido, K , y del trabajo, L, realizado, por lo que P = f (K , L). La expresi´on algebraica de la funci´on de producci´on de una empresa, es de la forma
f (K , L) = AK αLβ
con A, α y β n´umeros concretos para cada empresa particular. Esta funci´on se conoce como la funci´on de producci´on de Cobb-Douglas.
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Dominio de una funci´on real de variable real Imagen de una funci´Composici´on de funcioneson real de variable real Repaso de Funciones ElementalesAplicaciones a la econom´ıa de las funciones lineales y cuadr´aticas
Definici´on Una funci´on de variable real x con dominio D es una regla que asigna un ´unico n´umero real a cada n´umero x en D.
Usualmente se designan a las funciones por una letra como f , g , F , etc. Si f es una funci´on y x es un n´umero de su dominio D, entonces f (x) designa el n´umero que la funci´on f asigna a x. Si f es una funci´on, se designa a veces por y el valor de f en x y se escribe como
y = f (x).
En esta situaci´on se llama x a la variable independiente, mientras que se llama a y la variable dependiente, porque el valor de y depende (en general) del valor de x. En econom´ıa, se llama a menudo a x la variable ex´ogena, mientras que y es la variable end´ogena.
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Dominio
Dom(f ) = {x ∈ R : existe f (x)}
Ejemplos
Si f (x) =
x^2 − 1 , entonces Dom(f ) = R − {− 1 , 1 }.
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Dominio de una funci´on real de variable real Imagen de una funci´Composici´on de funcioneson real de variable real Repaso de Funciones ElementalesAplicaciones a la econom´ıa de las funciones lineales y cuadr´aticas
Dominio
Dom(f ) = {x ∈ R : existe f (x)}
Ejemplos
Si f (x) =
x^2 − 1 , entonces Dom(f ) = R − {− 1 , 1 }.
Si f (x) = e
√x , entonces Dom(f ) = [0, +∞[.
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Dominio de una funci´on real de variable real Imagen de una funci´Composici´on de funcioneson real de variable real Repaso de Funciones ElementalesAplicaciones a la econom´ıa de las funciones lineales y cuadr´aticas
Dominio
Dom(f ) = {x ∈ R : existe f (x)}
Ejemplos
Si f (x) =
x^2 − 1 , entonces Dom(f ) = R − {− 1 , 1 }.
Si f (x) = e
√x , entonces Dom(f ) = [0, +∞[. Si f (x) = ln(x^2 − 1), entonces Dom(f ) =] − ∞, −1[∪]1, +∞[. Si f (x) =
x + 2 − e^1 /x^ , entonces Dom(f ) = [− 2 , 0[∪]0, +∞[.
Concepto de funci´Introducci´onon Funciones reales de variable real L´ımite de una funci´Funciones de varias variableson de una y varias variables Funciones continuas
Dominio de una funci´on real de variable real Imagen de una funci´Composici´on de funcioneson real de variable real Repaso de Funciones ElementalesAplicaciones a la econom´ıa de las funciones lineales y cuadr´aticas
En ocasiones, puede que nos interese estudiar una funci´on solamente en un subconjunto de su dominio, es decir, en un subdominio, por ejemplo, el subdominio donde el c´alculo de la funci´on tiene sentido econ´omico. A dicho subconjunto del dominio de la funci´on, lo llamaremos subdominio con sentido econ´omico.
Ejercicio b´asico (Ejercicio 4 de las hojas de ejercicios) Sea D(p) = 200 − 2 p la demanda de un producto en funci´on de su precio. Determina su dominio y el subdominio con sentido econ´omico. ¿Qu´e sucede si p = 200?.
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Dominio de una funci´on real de variable real Imagen de una funci´Composici´on de funcioneson real de variable real Repaso de Funciones ElementalesAplicaciones a la econom´ıa de las funciones lineales y cuadr´aticas
Imagen
Im(f ) = {y ∈ R | ∃x ∈ R con y = f (x)}
Ejemplos
Si f (x) =
x^2 − 1 , entonces Im(f ) =] − ∞, −1]∪]0, +∞[.
Si f (x) = cos x, entonces Im(f ) = [− 1 , 1].
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Dominio de una funci´on real de variable real Imagen de una funci´Composici´on de funcioneson real de variable real Repaso de Funciones ElementalesAplicaciones a la econom´ıa de las funciones lineales y cuadr´aticas
Imagen
Im(f ) = {y ∈ R | ∃x ∈ R con y = f (x)}
Ejemplos
Si f (x) =
x^2 − 1 , entonces Im(f ) =] − ∞, −1]∪]0, +∞[.
Si f (x) = cos x, entonces Im(f ) = [− 1 , 1]. Si f (x) = ln x, entonces Im(f ) = R.
