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El análisis de series y ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo la convergencia de series y la interpolación de funciones mediante polinomios ortogonales. Se abordan conceptos como la serie de Taylor, la convergencia al promedio y el criterio de Weierstrass.
Tipo: Apuntes
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se suman dos n´umeros complejos sumando sus partes reales y sus partes imaginarias.
z 3 = z 1 + z 2 =) (a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) = (a 1 + a 2 ) | {z } a (^3)
= a 3 + ib (^3)
claramente z + z ⇤^ = 2 Re(z) tambi´en z z ⇤^ = 2 Im(z). Igualmente es inmediato comprobar que
(z 1 + z 2 ) ⇤^ = z 1 ⇤ + z 2 ⇤
se multiplican n´umeros complejos por escalares multiplicando el escalar por sus partes reales e imagi- narias z 3 = ↵z 1 =) ↵ (a 1 + ib 1 ) = (↵a 1 ) + i (↵b 1 )
se multiplican n´umeros complejos entre si, multiplicando los dos binomios y teniendo cuidado que i 2 = 1. z 3 = z 1 z 2 =) (a 1 + ib 1 ) · (a 2 + ib 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + i (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) tambi´en es inmediato comprobar que (z 1 z 2 ) ⇤^ = z 1 ⇤ z ⇤ 2.
se dividen n´umeros complejos siguiendo la estrategia de racionalizaci´on de fracciones irracionales. Esto es z 3 =
z (^1) z (^2)
(a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 )
(a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 )
(a 2 ib 2 ) (a 2 ib 2 )
a 1 a 2 + b 1 b (^2) (a 22 + b 22 )
b 1 a 2 a 1 b (^2) (a 22 + b 22 ) es claro que el divisor ser´a cualquier n´umero complejo excepto el cero complejo, 0 + i0.
Mirando con cuidado el ´algebra de n´umeros complejos nos damos cuenta que un n´umero complejo puede ser representado por una dupla de n´umeros complejos es decir,
z = (a + ib) ↵ z = (a, b)
las propiedades entre n´umeros complejos de igualdad, suma y multiplicaci´on por un escalar arriba expuestas se cumplen de forma inmediata con esta nueva representaci´on. Hay que definir las operaciones de multiplicaci´on y divisi´on entre n´umeros complejos de forma que
(a 1 , b 1 ) (a 2 , b 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 , a 1 b 2 + b 1 a 2 ) ^
(a 1 , b 1 ) (a 2 , b 2 )
a 1 a 2 + b 1 b (^2) (a 22 + b 22 )
b 1 a 2 a 1 b (^2) (a 22 + b 22 )
Esta asociaci´on de un n´umero complejo con una pareja de n´umeros inmediatamente nos lleva a imaginar un punto en un plano (complejo) en el cual la primera componente (horizontal) representa la parte real y la segunda componente (vertical) representa la parte imaginaria. De esta forma asociamos a un n´umero complejo un vector que une a ese punto (a, b) con el origen del plano complejo. Esta representaci´on de n´umeros complejos como vectores un el plano (complejo), se conoce con el nombre de Diagrama de Argand 1 a pesar que no fue Jean Argand, sino Caspar Wessel 2 el primero en proponerlo. Por cierto esta interpretaci´on
(^1) En honor a Jean Robert Argand, (Ginebra, Suiza, 18 Julio 1768; Paris, Francia 13 agosto 1822) Contador pero matem´atico aficionado. Propuso esta interpretaci´on de n´umeros complejos como vectors en un plano complejo en un libro autoeditado con sus reflexiones que se perdi´o y fue rescatado 7 a˜nos despu´es, fecha a partir de la cual Argand comenz´o a publicar en Matematicas. (^2) Caspar Wessel (Vestby, Noruega 8 junio 1745; 25 marzo 1818, Copenhagen, Dinamarca) Matem´atico noruego que se de- dic´o principalemente al levantamiento topogr´afico de Noruega. Su trabajo sobre la interpretaci´on de n´umeros complejos perma- neci´o desconocido por casi 100 a˜nos.
fue tres veces redescubierta primero por Caspar Wessel en 1799, luego por Jean Argand en 1806 y finalmente por Gauss 3 en 1831. De esta manera como un recordatorio al plano real tenemos
z = x + iy ↵ z = r (cos(✓) + isen(✓)) con
r =
p zz ⇤^ = |z| =
p x 2 + y 2
tan(✓) =
y x donde ⇡ ✓ ⇡
A la cantidad arg z ⌘ tan ^1
⇣ (^) y x
se le denomina el argumento de z. Se puede ver que no es m´as que el ´angulo polar del n´umero complejo en el diagrama de Argand. La interpretaci´on vectorial de n´umeros complejos permite que la suma de n´umeros complejos sea repre- sentada por la “regla del paralelogramo”. Mientras que los productos escalar y vectorial nos llevan a
z 1 · z 2 = Re(z 1 z ⇤ 2 ) = Re(z ⇤ 1 z 2 ) ^ z 1 ⇥ z 2 = Im(z 1 ⇤ z 2 ) = Im(z 1 z ⇤ 2 )
Con esta interpretaci´on tendremos
x = Re(z) ⌦ componente real del vector z o parte real de z y = Im(z) ⌦ componente imaginaria del vector z o parte real de z r =
p zz ⇤^ = |z| ⌦ m´odulo, magnitud o valor absoluto de z arg z = ✓ ⌦ ´angulo polar o de fase del n´umero complejo z
Nos hemos tropezado con la expansi´on en Taylor 4 , esta serie permite expresar cualquier funci´on infini- tamente diferenciable alrededor de un punto x 0 como una serie infinita de potencias del argumento de la funci´on. Esto es
f (x) = f (x 0 ) +
df (x) dx
x=x (^0)
(x x 0 ) +
d 2 f (x) dx 2
x=x (^0)
(x x 0 ) 2 +
d 3 f (x) dx 3
x=x (^0)
(x x 0 ) 3 + · · · · · ·
f (x) = C (^) n (x x 0 ) n^ con C (^) n =
n!
d n^ f (x) dx n
x=x (^0)
donde n = 0, 1 , 2 , 3 , · · ·
(^3) Johann Carl Friedrich Gauss (30 abril 1777, Brunswick, Alemania; 23 febrero 1855, G¨ottingen, Alemania). Uno de los m´atem´aticos m´as geniales y precoces de la Historia. Desde los 7 a˜nos comenz´o a mostrar sus condiciones de genialidad. Sus contribuciones en Astronom´ıa y Matem´aticas son m´ultiples y diversas. (^4) Brook Taylor (18 agosto 1685, Edmonton, Inglaterra; 29 diciembre 1731, Londres, Inglaterra) F´ısico y Matem´atico Ingl´es contemporaneo de Newton y Leibniz y con ellos particip´o profundamente en el desarrollo del c´alculo diferencial e integral. Adem´as de sus aportes al magnetismo, capilaridad y termometr´ıa. Desarroll´o el ´area de diferencias finitas que hasta hoy utilizamos para c´alculos en computaci´on. Invent´o la integraci´on por partes y descubri´o la serie que lleva su nombre.
y a partir de la relaci´on o f´ormula de Euler se puede demostrar la f´ormula de De Moivre 6 e i✓^
(^) n = e in✓^ ↵ (cos(✓) + isen(✓)) n^ = cos (n✓) + isen (n✓) con n entero.
Presentaremos algunas aplicaciones inmeditas la f´ormula de de Moivre en diferentes ´ambitos.
Identidades trigonom´etricas
La primera de las aplicaciones de la f´ormula de Moivre es para construir identidades trigonom´etricas en las cuales se expresa el coseno, o el seno, de factores de un ´angulo. Veamos las siguientes (nada triviales) identidades trigonom´etricas
cos(3✓) = 4 cos 3 (✓) 3 cos(✓) o sen(3✓) = 3 sen(✓) 4sen 3 (✓) ,
para demostrar estas (y otras) identidades utilizamos la f´ormula de Moivre, es decir
cos(3✓) + i sen( 3✓) = (cos(✓) + i sen(✓)) 3 = cos 3 (✓) 3 cos(✓) sen 2 (✓) + i
3 cos 2 (✓) sen(✓) sen 3 (✓)
igualando ahora parte real e imaginaria tendremos
cos(3✓) = cos 3 (✓) 3 cos(✓) sen 2 (✓) = cos 3 (✓) 3 cos(✓)
1 cos 2 (✓)
= 4 cos 3 (✓) 3 cos(✓)
sen(3✓) = 3 cos 2 (✓) sen(✓) sen 3 (✓) = 3
1 sen 2 (✓)
sen(✓) sen 3 (✓) = 3 sen(✓) 4sen 3 (✓).
El m´etodo puede extenderse a expresiones de senos y cosenos de n✓. Igualmente podemos desarrollar un m´etodo para encontrar expresiones de potencias de funciones trigo- nom´etricas en t´ermino de funciones de factores de ´angulo del tipo (cos(✓)) n^ = F (cos(n✓), sen(n✓)). Para empezar, supongamos que tenemos un n´umero complejo de m´odulo 1, de tal forma que
z = e i✓^ = cos(✓) + i sen(✓) )
z n^ +
z n^
= 2 cos(n✓)
z n^
z n^
= 2i sen(n✓)
Estas identidades surgen de manera inmediata de
z n^ +
z n^ = (cos(✓) + i sen(✓)) n^ + (cos(✓) + i sen(✓)) n^ = (cos(n✓) + i sen(n✓)) + (cos ( n✓) + i sen ( n✓))
= cos(n✓) + i sen(n✓) + cos(n✓) i sen(n✓) = 2 cos(n✓) ,
igualmente puede demostrarse la segunda de las afirmaciones anteriores.
(^6) Abraham de Moivre (26 mayo 1667 in Vitry-le-Fran¸cois, Francia; 27 noviembre 1754, Londres Inglaterra) Matem´atico franc´es que tuvo que emigrar a Inglaterra por razones religiosas. Contemporaneo de Newton, Liebniz, Halley, fue pionero con sus contribuciones en Geometr´ıa Anal´ıtica y Teor´ıa de Probabilides.
Ahora bien, supongamos adem´as que n = 1, con lo cual se cumple que
z +
z
= e i✓^ + e i✓^ = 2 cos(✓) y z
z
= e i✓^ e i✓^ = 2i sen(✓) ,
que tambi´en lo sab´ıamos desde la m´as temprana edad de nuestros cursos de bachillerato. Ahora bien, lo que quiz´a no sab´ıamos en ese entonces (y quiz´a ahora tampoco) es que a partir de aqu´ı podemos construir, por ejemplo:
cos 5 (✓) =
z +
z
z 5 +
z 5
5 z 3 +
z 3
10 z +
z
es decir
cos 5 (✓) =
[2 cos(5✓) + 10 cos(3✓) + 20 cos(✓)] ,
de la misma manera se puede proceder con otras potencias y con potencias de la funci´on seno.
Ra´ıces de polinomios
La f´ormula de De Moivre nos puede ayudar para encontrar ra´ıces de polinomios. Supongamos, para empezar, que queremos encontrar las n ra´ıces de la ecuaci´on z n^ = 1. Para ello procedemos con el siguiente artificio z n^ = 1 = cos (2⇡k) + i sen (2⇡k) = e i(2⇡k)^ , donde k = 0, 1 , 2 , ....
con lo cual las n ra´ıces de la ecuaci´on z n^ = 1 ser´an
z n^ = 1 ) z = e i^ (^
2 ⇡nk )
z
z }| { 0 = 1;^ z^1 =^ e^ 2 ⇡i (^) ( (^1) n ); z 2 =^ e^ 2 ⇡i (^) ( (^) n^2 ); z 3 =^ e^ 2 ⇡i (^) ( (^) n^3 ); · · · z n 2 =^ e^ 2 ⇡i (^) ( n n 2 ); z n 1 =^ e^ 2 ⇡i (^) ( n n 1 )
es decir, n ra´ıces corresponder´an a los n valores de k = 0, 1 , 2 , · · · n 2 , n 1. Mayores valores de k no proveen nuevas ra´ıces. Estas propiedades pueden extenderse a ra´ıces de polinomios. Supongamos la siguiente ecuaci´on polin´omica con sus ra´ıces:
z 5 z 4 + 2z 2 = 0 )
z 4 + 2
(z 1) = 0 )
z 4 + 2 = 0 ) z 4 = 2
z 1 = 0 ) z = 1
una vez m´as
z 4 = 2(1) = 2
e i(2⇡k)^
) z =
h 2
e i(2⇡k)^
⌘i (^1) / 4 = ( 2) 1 /^4 e i^ (^
(1 + i) 2^3 /^4 e i^ (^
2 ⇡ 4 k )
donde hemos utilizado el hecho de que: ( 1) 1 /^4 = i 1 /^2 =
p 2 2 (1 +^ i). Por lo tanto:
z 0 =
(1 + i) 2^3 /^4 , z 1 =
(1 + i) 2^3 /^4 e i^ (^
i 2
(1 + i) 2^3 /^4 ,
z 2 =
(1 + i) 2^3 /^4 e i(⇡)^ =
(1 + i) 2^3 /^4 , z 3 =
(1 + i) 2^3 /^4 e i^ (^
i 2
(1 + i) 2^3 /^4 ,
Logaritmos y potencias de n´umeros complejos
Definamos la siguiente funci´on z = e i✓^ () Ln(z) = i✓ ,
donde Ln representa el logaritmo natural del n´umero complejo z. N´otese que hemos utilizado Ln en lugar de tradicional ln y la raz´on es la ambig¨uedad impl´ıcita en la notaci´on de Euler, vale decir
z = re i✓^ () Ln(z) = ln(r) + i (✓ + 2n⇡) = ln(r) + i✓ ,
en otras palabras, Ln(z) no es funci´on por el hecho de ser multivaluada. Se supera esta dificultad cuando se restringe el argumento ⇡ < ✓ ⇡ y esta se conoce como el valor principal de la funci´on
Ejemplos
h 3 e i^ (^ ^
⇡ 2 +2n⇡ (^) )i = ln(3) + i
con n = 0, 1 , 2 , · · ·
decimos que el valor principal del Ln ( 3 i) ser´a ln(3) i ⇡ 2.
z = i ^5 i^ ) Ln (z) = Ln
i ^5 i^
= 5 i Ln (i) = 5 i Ln
h e i^ (^
⇡ 2 +2n⇡ (^) )i = 5
con lo cual z = i ^5 i^ ¡es un n´umero real!
i i^ =
h e i^ (^
⇡ 2 +2n⇡ (^) )i^ i = e i^
2 +2n⇡^ ) = e ^ (^ ⇡ 2 +2n⇡^ )
Ln
np 3 + i
o 3 = 3 Ln
2 e i
⇣ arctan
⇣ (^1) p 3
ln(2) + i
arctan
p 3
= ln(8) + i
Ejercicios
|z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | , arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 ,
z z ⇤^
x 2 y 2 x 2 + y 2
2 xy x 2 + y 2
p 3 i c) ( 1) 1 /^3 d ) 8^1 /^6 e) ( 8 8
p 3 i) 1 /^4
1.2. Funciones de Variable Compleja
A continuaci´on, generalizaremos algunos conceptos de funciones de variable compleja.
La idea de funci´on de variable (o variables) reales puede ser extendida (continuada, le dicen tambi´en) al plano complejo. La idea es la de siempre: si en una determinada regi´on del plano complejo a un n´umero complejo z le corresponde un n´umero (o varios n´umeros) complejos w = f (z), diremos que f (z) es una funci´on de variable compleja z. Obvio que f (z) puede ser biyectiva, en cuyo caso tendremos que a z le estar´a asociado uno y solo un n´umero complejo w = f (z). Es claro tambi´en que siempre se podr´a expresar
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) con u(x, y) la parte real y v(x, y) la parte imaginaria (1.2)
Esta representaci´on tiene una interpretaci´on adicional. Como representamos un n´umero complejo en el plano 0 xy como z = x + iy, pero w = f (z) tambi´en podr´a ser representada como un punto en el plano 0uv. Entonces, desde el punto de vista geom´etrico una funci´on de variable compleja podr´a ser entendida como una ley de transformaci´on entre pares de puntos (x, y) del plano 0xy del argumento z y los puntos (u, v) del plano 0uv de valor w.
Podemos tambi´en extender el concepto de continuidad de una funci´on de variable real a una funci´on de variable compleja. Esto es: diremos que una funci´on compleja^7 w = f (z) ser´a cont´ınua en z 0 si para un ✏ > 0 siempre existe un > 0 tal que |z z 0 | < tan peque˜no como uno quiera y siempre puede encontrar |f (z) f (z 0 )| < ✏. La otra manera de verlo es la est´andar: si existe el l´ımite cuando z! z 0 , es decir,
l´ım z!z (^0) f (z) = f (z 0 )
En este punto se pueden resaltar que los l´ımites (y con ello la idea de continuidad) en el plano complejo hereda las sutilezas y dificultades de los l´ımites y continuidades de las funciones en varias variables. En segundo lugar cabe se˜nalar que la diferencia con las funciones de variable real radica en que los ✏ y son radios de un c´ırculo centrado en f (z 0 ) y z 0 , respectivamente. Adicionalmente, para el caso de las funciones complejas no tiene sentido los l´ımites por la derecha y por la izquierda que plante´abamos para funciones de variable real. Tambi´en es obvio que si
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) con u(x, y) y v(x, y) cont´ınuas en (x 0 , y 0 ) ) f (z) ser´a cont´ınua en z 0 = x 0 + iy (^0)
La dificultad que subyace en esta definici´on es equivalente a las dificultades que enfrentamos en las defi- niciones de derivadas para funciones de varias variables. Diremos entonces que, una funci´on f (z) univaluada en una regi´on S ser´a diferencialble en esa regi´on si la derivada
l´ım z! 0
f (z + z) f (z) z = l´ım x, y! 0
[u(x + x, y + y) u(x, y)] + i [v(x + x, y + y) v(x, y)] x + i y
=
df dz
= f 0 (z)
(^7) A partir de ahora y por razones de simplicidad llamaremos a f (z) funci´on compleja en vez de funci´on de variable compleja.
A partir de dos estrategias (muy particulares) de aproximaci´on a z! 0 tales como y = 0; x! 0 o x = 0; y! 0, podremos encontrar un criterio para identificar d´onde, una funci´on compleja, f (z), es anal´ıtica. Esto es
f 0 (z) (^) y=0 = l´ım x! 0
[u(x + x, y) u(x, y)] + i [v(x + x, y) v(x, y)] x
= l´ım x! 0
u(x, y) x
v(x, y) x
f 0 (z) (^) x=0 = i l´ım y! 0
[u(x, y + y) u(x, y)] + i [v(x, y + y) v(x, y)] y
= l´ım y! 0
i
u(x, y) y
v(x, y) y
y ambas tienen que coincidir. Con lo cual
f 0 (z) (^) y=0 = f 0 (z) (^) x=0 , l´ım x! 0
u(x, y) x
v(x, y) x
= l´ım y! 0
i
u(x, y) y
v(x, y) y
y equivalentemente
f 0 (z) (^) y=0 = f 0 (z) (^) x=0 , @u(x, y) @x
= i @u(x, y) @y
@v(x, y) @y
Con ello hemos encontrado las condiciones necesarias para que una funci´on compleja sea anal´ıtica, vale decir: Las condiciones de Cauchy Riemann
@u(x, y) @x
@v(x, y) @y
@v(x, y) @x
@u(x, y) @y
Ahora tendremos un criterio m´as expedito para determinar que la funci´on f (z) = 2x + iy no es anal´ıtica.
u(x, y) = 2x v(x, y) = y
@u(x, y) @x
@v(x, y) @y
@v(x, y) @x
@u(x, y) @y
Para el caso f (z) = x 2 y 2 + 2ixy se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann
u(x, y) = x 2 y 2 v(x, y) = 2xy
@u(x, y) @x
= 2x =
@v(x, y) @y
@v(x, y) @x
= 2y =
@u(x, y) @y
pero como esas condiciones son necesarias porque para encontrarlas hemos seleccionado un par de rutas muy espec´ıficas: y = 0; x! 0 y x = 0; y! 0, se requiere exigir algunas condiciones adicionales. Sin demostraci´on (puede consultar para detalles y demostraciones las referencias indicadas) exigiremos como condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on sea anal´ıtica que las cuatro derivadas parciales para u(x, y) y v(x, y), existan, sean cont´ınuas en la regi´on S y que se cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann. El punto crucial (adicional) es que las derivadas sean cont´ınuas.
Ejercicios
Investigar los dominios del plano complejo para los cuales las funciones f (z) = |x| i|y| y f (z) = |z| 2 = zz ⇤ son anal´ıticas.
Las funciones anal´ıticas satisfacen algunas propiedades adicionales consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann. La primera es que dada una funci´on compleja gen´erica f (z) = u(x, y) + iv(x, y), si f (z) es an´alitica, u(x, y) y v(x, y) ser´an funciones arm´onicas conjugadas, r 2 u(x, y) = r 2 v(x, y) = 0, i.e. satisfacen la ecuaci´on de Laplace. Si derivamos apropiadamente las ecuaciones (1.3) respecto a una y otra variable encontramos que
@ @x
@u(x, y) @x
@x
@v(x, y) @y
@y
@v(x, y) @x
@y
@u(x, y) @y
@ 2 u(x, y) @x 2
@ 2 u(x, y) @y 2
y equivalentemente
@ @x
@v(x, y) @x
@x
@u(x, y) @y
@y
@u(x, y) @x
@y
@v(x, y) @y
@ 2 v(x, y) @x 2
@ 2 v(x, y) @y 2
es decir, hemos demostrado que las partes reales e imaginarias de una funci´on anal´ıtica son necesariamente arm´onicas. La importancia de este resultado radica, en primer lugar, que no son arbitrarias las funciones u(x, y) y v(x, y) con las cuales construimos f (z). Ambas deben satisfacer la ecuaci´on de Laplace. En segundo lugar que ambas est´an ligadas por las condiciones de Cauchy-Riemann, y esto implica que al conocer una de las funciones arm´onicas conjugadas, siempre es posible encontrar (salvo una constante de integraci´on) la otra.
Ejemplo
Para ilustrar lo anterior, supongamos la siguiente funci´on arm´onica conjugada u(x, y) = 2x x 3 + 3xy 2 correspondiente a la parte real de f (z). Es f´acil comprobar que es una funci´on arm´onica, ahora construyamos la parte imaginaria v(x, y). Esto es
u(x, y) = 2x x 3 + 3xy 2 )
@u(x, y) @x
@v(x, y) @y
= 2 3 x 2 + 3y 2 ) v(x, y) = 2y 3 x 2 y + y 3 + (x)
entonces
@v(x, y) @x
= 6 xy+
@ (x) @x
= 6 xy =
@u(x, y) @y
@ (x) @x
= 0 ) (x) = C ) v(x, y) = 2y 3 x 2 y+y 3 +C.
La segunda curiosidad, consecuencia de las ecuaciones (1.3), es que para una funci´on compleja gen´erica f (z) = u(x, y) + iv(x, y), en la cual adem´as se cumple que u(x, y) = const y v(x, y) = const, entonces se cumplir´a que: ru(x, y) · rv(x, y) = 0.
ru(x, y)·rv(x, y) =
@u(x, y) @x
i + @u(x, y) @y
j
@v(x, y) @x
i + @v(x, y) @y
j
@u(x, y) @x
@v(x, y) @x
@u(x, y) @y
@v(x, y) @y
y por obra de las condiciones de Cauchy-Riemann es inmediato comprobar que se anulan
ru(x, y) · rv(x, y) =
@u(x, y) @x
@u(x, y) @y
@u(x, y) @y
@u(x, y) @x
Es decir, u(x, y) =const y v(x, y) =const, corresponden a trayectorias mutuamente ortogonales. Esta “cu- riosidad” nos permite construir sistemas de coordenadas alternativos en el plano complejo y, sobre todo
Figura 1.1: Los distintos contornos que identifican los puntos de corte
Los puntos alrededor de los cuales se construye un circuito cerrado en el diagrama de Argand y la funci´on no retoma su valor inicial se denominan puntos de corte y las l´ıneas de corte (o simplemente cortes) ser´an aquellas l´ıneas que separan regiones en las cuales una determinada funci´on es univaluada. Es claro que los puntos de corte son puntos singulares, en los cuales la funci´on deja de ser anal´ıtica y existir´an si ✓ toma, valores 0 ✓ 2 n⇡. Es decir, puede dar n vueltas. En este caso, para nuestra funci´on f (z) = z 1 /^2 , la l´ınea de corte ser´a cualquiera que comience en z = 0 y contin´ue para |z|! 1. Por simplicidad es costumbre tomar las l´ıneas de corte a lo largo de los ejes reales o complejos. De este modo aparece ilustrado en la Figura 1.1 cuadrante superior derecho la l´ınea de corte que sigue el eje positivo de las x. La situaci´on se torna m´as interesante cuando estas definiciones se analizan a la luz de funciones con m´as de un punto de corte. Consideremos la funci´on
f (z) =
p z 2 + 1 ) f (z) =
p (z i)(z + i) ⌘
q (r 1 e i✓^1 ) (r 2 e i✓^2 ) =
p r 1 r 2 e i✓^1 /^2 e i✓^2 /^2 =
p r 1 r 2 e i(✓^1 +✓^2 )/^2
analicemos entonces, varios contornos en el plano de Argand. Otra vez la Figura 1.1 ilustra en el cuadrante inferior los distintos contornos C 1 , C 2 , C 3 y C 4. Tal y como se aprecia en esa figura, se dan cuatro casos:
De este modo para construir los cortes que impidan que nuestra funci´on sea multivaluada podremos selec- cionar: z (^) corte > i y z (^) corte < i , o i < zcorte < i
Un punto donde la funci´on f (z) no es anal´ıtica se denomina un punto singular. Estos puntos pueden ser: Singularidades aisladas: s´ı una funci´on es anal´ıtica en todo el entorno de un punto z 0 , excepto en el propio punto z 0 , entonces se dice que el punto z 0 es una singularidad aislada o un punto singular de la funci´on f (z). Por ejemplo, para la funci´on f (z) = 1/z, sabemos que es anal´ıtica en todo punto excepto en z = 0. La ´unica singularidad de la funci´on esta en el punto z = 0 y este punto es entonces una singularidad aiaslada. Singularidades no aisladas: Si una funci´on contiene un conjunto de singularidades aisladas en una vecindad de un punto z 0 , entonces se dice que z 0 es una singularidad no aislada. Es decir, una singularidad no aislada de una funci´on es un punto l´ımite del conjunto de sus singularidades.
Clasificaci´on de las singularidades aisladas
Observemos que: a) la funci´on f puede no estar definida en z 0 y por esta raz´on la funci´on no es anal´ıtica en z 0. b) la funci´on puede estar definida en z 0 pero de valor diferente al l´ım (^) z!z 0 f (z). Con lo cual la funci´on no es cont´ınua en z 0 y por lo tanto no es anal´ıtica en z 0. c) la funci´on puede estar definida en z 0 y su valor igual al del l´ım (^) z!z 0 f (z). En este caso la funci´on no es singular en z 0. Por lo tanto, s´ı f tiene una singularidad removible en z 0 entonces una de las posibilidades (a) o (b) debe ser la causa de que la funci´on no sea anal´ıtica o regular en z 0. Si una funci´on g es igual a f en todos los puntos, excepto en z 0 , y
g(z 0 ) = l´ım z!z (^0) f (z) ,
entonces g no es singular en z 0 , esto significa que la singularidad de f puede ser removida mediante la redefinici´on de la funci´on f en z 0.
donde n es un n´umero entero positivo. Un polo de orden 1 se denomina un polo simple.
para ning´un entero positivo de n.
