¡Descarga apuntes de interpolacion y más Apuntes en PDF de Matemática para Informática solo en Docsity!
cambios del relieve submarino para escoger los datos necesarios en la representación del modelo batimétrico y así realizar la selección del mejor método a través de la evaluación y comparación del error medio cuadrático (EMC), y evaluar la calidad del modelo, a través de los criterios de calidad de validación cruzada, la exactitud altimétrica y la incertidumbre total vertical.
El resultado del estudio permitió establecer la confiabilidad del magnetómetro G-882, como herramienta admisible para representar las profundidades marinas.
Palabras clave: batimetría, exactitud altimétrica, geoestadistica, incertidumbre total vertical, métodos de interpolación, validación cruzada.
ABSTRACT
The National navy´s ship providence ARC has the G- magnetometer, from which extracted data from the seafloor depth of the fault inferred Rocha Rosario islands, points were represented by geostatistical interpolation methods such as IDW, Kriging, Shepard and B-Spline that generated the corresponding Bathymetric Digital Models based on the corrections associated with the tides and ellipsoidal heights. On this basis, it was assessed that the seafloor is not a substantial influence on the goodness of fit of the model generated, hence it was necessary to identify the various changes of undersea to choose the necessary data on the bathymetric model representation and so the selection of the best method through the assessment and comparison of Root Mean Squared (EMC), the criteria of quality and cross validation, accuracy and uncertainty total altimeter vertical.
The result of the study allowed to establish the reliability of G- magnetometer as a tool to represent the allowable depths.
Key words: Bathymetry, altimetry accuracy, geostatistics, vertical total uncertainty, interpolation methods, cross-validation.
INTRODUCCIÓN
Los levantamientos hidrográficos han experimentando cambios fundamentales en la obtención de la información debido al avance tecnológico en los sistemas de medición, como por ejemplo los sistemas multihaz acústicos y laser aerotransportados, que proporcionan cobertura y medición casi total del fondo marino, en comparación con muestreos hechos por perfiles batimetricos. Así, la selección de datos se encuentra condicionada directamente a la distribución y densidad de los mismos, los cuales son tomados a través de las sondas monohaz, multihaz y sondas de barrido lateral, estas últimas se usan para definir aéreas que requieren más detalle y exactitud, representando en los levantamientos batimetricos la obtención del posicionamiento vertical (Z) y el posicionamiento horizontal (X,Y) a través del Global Positioning System (GPS), que es realizado in situ y de forma concreta para cada punto, estando el modelo limitado por su escala y software empleado, donde el
resultado del modelo digital batimétrico (MDB) para la misma área puede variar según los parámetros de control seleccionados que permitan establecer el cálculo del error entre el modelo generado y la superficie real.
En el procesamiento de datos de la profundidad del mar se deben tener en cuenta las correcciones por mareas y alturas elipsoidales que afectan el posicionamiento vertical y horizontal de las muestras obtenidas, para una posterior representación espacial. Para la interpolación de este tipo de datos que contienen el atributo altitud se implementaron los métodos convencionales geoestadisticos IDW, Kriging, Shepard y B-Spline, aplicando el error medio cuadrático y criterios de calidad como la validación cruzada, la exactitud altimétrica y la incertidumbre total vertical en la generación y selección del mejor MDB, el cual fue interpolado por el método B- Spline, arrojando una representación de la superficie del lecho marino mas “fiel” a la realidad.
Batimetría
La batimetría se define como el “estudio de las profundidades oceánicas, lacustres y corrientes de agua continuas como ríos, mediante el trazado de mapas de isobatas” (Real Academia de la Lengua Española, 2001); sin embargo, algunos autores la definen como ciencia y otros como una técnica de medición que facilita la obtención de valores de profundidad del agua, ya sea marina, lacustre o fluvial, determinando la topografía del fondo subacuático.
La batimetría requiere la elección de un sistema de referencia que precise y defina la ubicación de un punto en el plano x, y, z (Martínez y Sánchez, 2005), donde de la verdadera cota del punto levantado se determina a partir diferentes correcciones que permiten reducir los sondeos al datum o cota de referencia.
Los levantamientos batimetricos se diferencian de los terrestres porque los primeros no cuentan con una estabilidad para los instrumentos durante la observación, ni tampoco para estacionar una y otra vez en un determinado punto debido al movimiento de la masa
Este tipo de modelos se describen como una función bivariable continua P = f(x, y), donde P es la profundidad en un punto de coordenadas (x, y). MÉTODOS DE PREDICCIÓN ESPACIAL Los métodos de predicción espacial se fundamentan en el procedimiento que permite calcular el valor de una variable y su posición a partir de valores muestreados de la misma variable en otras posiciones del espacio, a través de algoritmos matemáticos que facilitan el cálculo de los mismos. En el presente estudio se trabajaron como métodos de predicción espacial los métodos IDW, Kriging, Shepard y el B-Spline, con el objeto de predecir aéreas sin información. MÉTODO PONDERACIÓN DE LA DISTANCIA INVERSA (IDW ) El IDW se fundamenta en asignar pesos a los datos muestreados que van a ser interpolados para determinar el dato central en función inversa a la distancia que los separa (Giraldo-Henao, 2003). La formula general es:
Donde Zj es el valor estimado para el punto j, n , el numero de puntos necesarios para la interpolación, zj el valor en el punto i-esimo y kj el peso asociado al dato i en el calculo del nodo j. Los pesos k varían entre 0 y 1 para cada dato y la suma total de ellos es la unidad. La función de proporcionalidad entre el peso y la distancia se muestra en la siguiente fórmula:
Siendo la fórmula del peso un exponente de ponderación que controla la forma en la que el peso asignado al dato disminuye con la distancia, es decir, que si el exponente o la potencia van disminuyendo los pesos asignados serán menores, por el contrario, si la potencia aumenta la diferencia en los pesos será mayor (Droj, 2008).
MÉTODO KRIGING
Este método de interpolación define la altitud como una variable regionalizada, suponiendo que funciones de correlación espacial pueden explicar en su totalidad o parcialmente la variación espacial de esta, que es la variable estimada que se va a representar a través de funciones homogéneas que se deducen de toda el área de análisis, es decir, los valores próximos de z (Giraldo-Henao, 2003).
Estas funciones homogéneas son derivadas teniendo en cuenta la distancia d que existe entre los datos medidos a través de la semivarianza, analizando así la correlación espacial entre ellos en función de d y estimando una media ponderada:
Donde un conjunto de k datos se sitúan en torno del punto interpolado y l representa los pesos asignados a cada uno de ellos. La ventaja del método es el criterio de asignar a cada dato su valor ponderado junto a la asignación de un valor de error a cada punto interpolado, lo que permite aplicar criterios estadísticos brindando una buena definición del área de análisis. Los supuestos estimados en este tipo de métodos suponen que la altitud en un punto este determinada por los valores de los puntos mas próximos distribuidos a distancias variables, y que en función de ellas habrá una mayor o menor inferencia. MÉTODO SHEPARD El método de Shepard utiliza el método de distancia inversa a través de mínimos cuadrados ponderados, dado que su uso elimina o reduce el “ojo de buey”, que son contornos generados dentro del modelo. La ecuación utilizada en este método es la siguiente:
Donde Zj es el valor estimado para el punto j,n j , n el número de puntos necesarios para la interpolación, Z (^) i el valor en el punto i- esimo, y kij el peso asociado al dato i en el cálculo del nodo j. La ecuación del peso es:
Donde P es un numero real positivo arbitrario, llamado el exponente de ponderación, que controla la forma en la que el peso asignado al dato disminuye con la distancia, donde generalmente se deja el 2 como valor predeterminado, aunque este puede ser modificado; h (^) ij es la distancia desde el punto de dispersión hasta el punto de interpolación, donde la suma de pesos sea igual a la unidad (Gordon y Wixon, 1978).
Aunque la función de peso arriba indicada es la forma clásica de la función de peso en la interpolación de la distancia inversa ponderada, a partir de ella se deduce la siguiente ecuación:
El siguiente control latice mas fino F 1 , el que se utiliza para obtener la función f 1 aproxima las diferencias a Δ1P = {(xi,yi,Δ1zi)}. Entonces, la suma de f 0 + f 1 produce una menor desviación para cada (xi , yi ) en
En general, para cada nivel k en la jerarquía, el punto de ajuste Δ k^ P = {(xi, |y (^) i,Δk^ zi)} es aproximado por una función fk definida sobre el control de latices F (^) k, donde:
Y D 0 , z (^) i, = z (^) i,. Este proceso empieza desde el latice menos refinado f 0 , y continua incrementalmente hacia el latice mas fino f (^) k, con el conjunto de vectores nodos son definidos por las siguientes ecuaciones:
La función final de aproximación f es definida como la suma de las funciones. Debido al sistema de jerarquías que maneja el método B- Spline para generar las funciones mas aproximadas a la función de ajuste de la superficie, se obtiene una aproximación desde la curva de interpolación B-Spline mas “rugosa y dura” para representar la superficie hasta la más fina de las funciones de interpolación para representar la suavidad de la misma. Mientras la jerarquía avanza de nivel, el control latice aplicado por cada multinivel, suaviza e interpola el conjunto de puntos que componen la superficie generando una representación aproximada de la realidad. En los modelos digitales batimetricos, el algoritmo se comporta de tal manera que cada ajuste Dkzi que se realiza a cada punto interpolado, permite que dicho control aplicado a la distancia entre datos sea lo suficientemente pequeño con relación a la distribución de los datos, debido a que cada nivel jerárquicamente posicionado “suaviza” o “robustece” cada red de datos interpolada por el método B-Spline (Lee et al. 2005). METODOLOGÍA Área de estudio El área de estudio corresponde a la zona continental del norte de Colombia (Zona UTM 18 norte), departamento de Bolívar, Cartagena, ubicada en el archipiélago de Islas del Rosario, en el sector cercano a Punta Gigante, sobre la Falla Rocha inferida, entre las coordenadas
10°06’30” N y 10°16’30” N de latitud y 75°52’00” W 75°38’00” W de longitud, la cual cubre una área de 5 km2 de lecho marino.
Adquisición de los datos
La adquisición de la información comienza bajo el proyecto de investigación denominado “Metodología de adquisición y procesamiento de datos geomagnéticos marinos”, en un convenio interadministrativo entre el Centro de Investigaciones Oceanográficas e Hidrográficas de la Armada Nacional y la Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”, que permitió adquirir los datos con el magnetómetro G-882, sobre la plataforma ARC providencia, buque que posee la infraestructura para realizar este tipo de tareas científico-marinas.
El magnetómetro G-882, equipo diseñado para detectar anomalías del campo magnético (generadas por cuerpos que posean material de hierro), recibe los datos geográficos con el GPS doble frecuencia que posee el buque para detectar en tiempo real la medición en posición. Los datos tomados por el magnetómetro son enviados a través de un cable a una botella telemétrica garantizando que la información sea grabada en tiempo real; la información se envía a un modem para que la codifique y luego la grabe en un computador para su posterior procesamiento e interpretación, mediante el software MagLog Magnetometer Logging (Geometrics, 2005).
De la información adquirida se seleccionaron como atributos primordiales para generar las correcciones y los modelos batimetricos la longitud, latitud, fecha, hora, profundidad (profundidad del magnetómetro, medida desde el winche que lo sostiene hasta el magnetómetro), altura (altura del magnetómetro con respecto al lecho marino) y altura GPS (altura medida GPS, conocida como la altura elipsoidal h del punto capturado por el magnetómetro).
Tratamiento de los datos
