¡Descarga Matemáticas basicas 1 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
gotipo institucional Universidad del Pací^ Manual de imagen fico
Unidad de aprendizaje 1
Nivelaci´on en Matem´aticas 2020-II
1. L´ogica proposicional
Definici´on 1 (Proposici´on). Una proposici´on es un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambas a la vez. La notaci´on usual para una proposici´on son las letras min´usculas p, q, r, · · ·.
Ejemplo 1. Los enunciados “el cielo es azul”, “el n´umero 2 es par” y “los perros ladran” son ejemplos de proposiciones. Pero los siguientes enunciados “¿Qu´e hacemos aqu´ı?”, “¡Viva el Per´u!” y “ no me mires” no son proposiciones.
Dada una proposici´on p representaremos sus posibles valores por medio de una tabla de verdad como la siguiente:
p V F
A continuaci´on, veremos c´omo combinar proposiciones obteniendo nuevas proposiciones, usualmente lla- madas proposiciones compuestas , pero aquellas que no son combinaci´on de otras son llamadas proposiciones simples. En ese sentido, podemos decir que una proposici´on compuesta es una combinaci´on de proposiciones simples.
Definici´on 2 (Negaci´on). Sea p una proposici´on, definimos su negaci´on , ¬p, como la proposici´on con los valores opuestos, cuya tabla de verdad es:
p ¬p V F F V
Ejemplo 2. Considerando la lista de proposiciones en la parte izquierda, veamos sus negaciones en la parte derecha.
La luna est´a hecha de queso.
Diciembre es el mes de la navidad.
En invierno hace fr´ıo.
La luna no est´a hecha de queso.
Diciembre no es el mes de la navidad.
No es cierto que en invierno hace fr´ıo.
Definici´on 3 (La conjunci´on). Sean p y q dos proposiciones, definimos la conjunci´on de ellas, denotada por p ∧ q, como la proposici´on “p y q” cuya tabla de verdad es como sigue
p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F
Ejemplo 3. Sean p = “El cielo est´a nublado en invierno” y q = “Llover´a hoy con seguridad”, luego la conjunci´on de ellas es “El cielo est´a nublado en inviero y llover´a hoy con seguridad”.
Ejemplo 4. Sean p = “Los perros ladran” y q =“los gatos maullan”, luego la conjunci´on de ellas es “ Los perros ladran y los gatos maullan”.
No es dif´ıcil deducir de la defici´on, por su tabla, que la conjunci´on es verdadera ´unicamente cuando las proposiciones que la conforman son verdaderas, y en cualquier otro caso es falsa.
Ejemplo 5. Sean p =“dos es par” y q =“dos es mayor que tres”. La conjunci´on de p y q es falsa, pues q es falsa.
Definici´on 4 (La disyunci´on). Sean p y q dos proposiciones, definimos la disyunci´on de ellas, denotada por p ∨ q, como la proposici´on “p o q”, cuya tabla de verdad es como sigue
p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F
Ejemplo 6. Sean p = “El cielo est´a nublado en invierno” y q = “Llover´a hoy con seguridad”, luego la disyunci´on es “El cielo est´a nublado o llover´a hoy con seguridad”.
Al igual que en la conjunci´on, no es dif´ıcil observar, de la tabla de la disyunci´on, que esta es falsa ´unicamente cuando las proposiciones que la componen lo son; en otro caso es verdadera.
Ejemplo 7. Sean p =“dos es par” y q =“dos es mayor que tres”. La disyunci´on de p y q es verdadera, pues p es verdadera.
Usualmente a la disyunci´on tambi´en la llaman la disyunci´on inclusiva, pues existe otro tipo de disyunci´on, que pasamos a definir a continuaci´on.
Definici´on 5 (La disyunci´on exclusiva). Sean p y q dos proposiciones, se define la disyunci´on exclusiva de ellas, denotada por p Y q, como la proposici´on “O p o q” con tabla de verdad como sigue
p q p Y q V V F V F V F V V F F F
Ejemplo 8. Sean p =“Malena est´a en la UP” y q =“Malena est´a en su casa”, luego la disyunci´on exclusiva de p y q es “O Malena est´a en la UP o est´a en su casa”.
Observemos que la disyunci´on exclusiva, p Y q, a diferencia de la disyunci´on p ∨ q, es verdadera ´unicamente cuando p y q tienen valores opuestos, siendo falsa cuando sus valores coinciden. Esto nos induce a pensar que la disyunci´on exclusiva de p y q significa la disyunci´on de ellas pero no ambas a las vez, es decir; p Y q significa (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q).
Definici´on 6 (La condicional). Sean p y q dos proposiciones, definimos la condicional de ellas, denotada por p → q, como la proposici´on “Si p entonces q”, con tabla de verdad dada por
p q p → q V V V V F F F V V F F V
En este caso, p se denomina el antecedente y q, el consecuente.
Ejemplo 9. Considerando p =“Juan gana la loter´ıa” y q =“Juan est´a feliz”, la condicional p → q ser´a “Si Juan gana la loter´ıa entonces est´a feliz”.
De la tabla de la condicional, observamos que ella es falsa ´unicamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en otro caso, es verdadera.
Ejemplo 10. Sean p y q dos proposiciones. Si p Y q es verdadera entonces p ∧ q es falsa y p ∨ q es verdadera.
Ejemplo 15. La bicondicional p ↔ q es equivalente a la conjunci´on de la condicional p → q y su rec´ıproca q → p, como podemos verificar en la siguiente tabla.
p q (p → q) ∧ (q → p) V V V V V V F F F V F V V F F F F V V V
Definici´on 10 (Tautolog´ıa). Una proposici´on compuesta es una tautolog´ıa cuando su tabla de verdad tiene solo valores verdaderos sin importar el valor de verdad de sus proposiciones simples.
Ejemplo 16. Sea p una proposici´on, luego la proposici´on p ∨ ¬p es una tautolog´ıa, pues de la siguiente tabla se observa que solo tienes valores verdaderos.
p p ∨ ¬p V V F V
Observemos por un lado que, la tabla de la bicondicional es opuesta a la tabla de la disyunci´on exclusiva, es decir p ↔ q ≡ ¬(p Y q). Por otro lado, se observa que la bicondicional es verdadera cuando las proposiciones que la componen tienen los mismos valores de verdad, esto nos dice que est´a relacionada con la equivalencia de proposiciones, de la siguiente forma:
“Dos proposiciones compuestas son equivalentes si y solo si su bicondicional es una tautolog´ıa”.
Ejercicios
- Si la proposici´on (p ∨ ¬q) → ¬p es falsa, determine el valor de verdad de ¬(p ∧ q) → p.
- Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones proposiciones:
(p → q) ∧ (q → p) ¬(p ∨ q)
¬p ∨ q ¬q → ¬p
¬(p ∧ q) ¬(p Y q)
- Si la proposici´on ¬[(p ∧ q ∧ r) → s] → (¬p ∨ s) es falsa, determine el valor de p, q, r y s.
- Sean p y q dos proposiciones, se define la proposici´on “p ∗ q” mediante la siguiente tabla. p q p ∗ q V V F V F F F V F F F V
D´e las tablas de verdad de las proposiciones “(p ∗ q) → (q ∗ p)” y “(p → q) ∗ (q → p)”.
- Sabiendo que p es la proposici´on “el n´umero tres es el primer n´umero primo”, q es la proposici´on “ dos es mayor que uno” y r es la proposici´on “el cero es un n´umero positivo”. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
(¬p ∧ ¬q) → (¬r ∨ q) [(p ∨ ¬r) ∧ q] ↔ (r ∨ q)
- Sean p, q, r, x, t proposiciones l´ogicas simples tales que la siguiente proposici´on
(p Y ¬q) → ¬q
es falsa. Determine el valor de verdad de la siguiente proposici´on:
[ (p ∧ ¬r) → x ] ∧ [ (x → q) Y (t → q)]
- Sean p y q dos proposiciones. Se define la proposici´on p ∗ q como verdadera, ´unicamente, cuando p y q son falsas. Construya la tabla de verdad de la proposici´on:
(p ∗ p) → (q ∗ q)
- Determine si las dos siguientes proposiciones son equivalentes:
(p → r) ∧ q q ∧ (¬p ∨ r)
- Simbolice las siguientes proposiciones, haciendo un diccionario:
No es cierto que Giuliana tiene 18 a˜nos y estudia econom´ıa Si Giuliana estudia econom´ıa, entonces no tiene 18 a˜nos. Si Giuliana tiene 18 a˜nos, entonces no estudia econom´ıa.
Determine cu´ales son equivalentes.
- Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitaci´on correspondiente. Se informa al prisionero que en cada habitaci´on puede haber un tigre o un gato. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva al gato. Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:
puerta 1: en esta habitaci´on hay un gato y en la otra un tigre. puerta 2: en una de estas habitaciones hay un gato y en una de estas habitaciones hay un tigre.
Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe elegir el prisionero.
- En una isla hay dos tipos de personas, la de los veraces (que siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre mienten). Un turista se encuentre con tres personas (A, B y C) de dicha isla y cada una le dice una frase.
A dice “B y C son veraces si y solo si C es veraz” B dice “Si A y C son veraces, entonces B y C son veraces y A es mentiroso” C dice “B es mentiroso si y solo si A o B es veraz”
Determinar quienes son veraces y quienes mentirosos.
- ¿Cu´ales de las siguientes proposiciones son tautolog´ıas?
a) [p → (q ∧ r)] ↔ [(q → p) ∧ (p → r)] b) (p → q) ↔ (¬q ∨ p) c) ((p ∨ q) ∧ (p ∧ q)) → p
d ) ¬(p → q) ↔ ¬(¬p ∨ q) e) ¬(p ∧ q) → (¬p ∨ q) f ) [(q ∧ p) → ¬p] ∧ ¬q
- Demuestre cada una de las siguientes equivalencias
p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- De las siguientes proposiciones, determine cu´ales son equivalentes entre s´ı:
Si Luis vive en Jes´us Mar´ıa, entonces Juan no estudia en la UP. No es cierto que Luis viva en Jes´us Mar´ıa y que Juan estudie en la UP. Luis no vive en Jes´us Mar´ıa y Juan no estudia en la UP.
Definici´on 12. Para escribir un conjunto por comprensi´on se necesita elegir un conjunto universal U y una propiedad p, y se expresa {x ∈ U : p(x)}
y se lee: el conjunto formado por los elementos de U que cumplen la propiedad p.
Ejemplo 19. El conjunto C, que consiste de los alumnos ausentes de la Universidad del Pac´ıfico se escribe
C = {x ∈ U : x est´a ausente},
donde U es el conjunto universal definido por los estudiantes de la Universidad del Pac´ıfico, y la propiedad que se desea, p, es de ausencia, leyendose p(x): x est´a ausente.
Ejemplo 20. El conjunto de funciones reales continuas se escribe como
{x ∈ U : x es continua},
donde U es el conjunto universal definido por las funciones reales, y la propiedad que se desea p es de conti- nuidad, leyendose p(x): x es continua.
La proposici´on “a es un elemento de A” se denota como a ∈ A, y la proposici´on “b no es un elemento de B” se denota como ¬(b ∈ B) o b /∈ B.
Ejemplo 21. Si A = {a, e, i, o, u}, entonces a ∈ A, b /∈ A, e ∈ A, f /∈ A.
Axioma 1. Existe un ´unico conjunto que no posee elementos el cual es llamado el conjunto vac´ıo y es denotado por {} o por ∅.
Ejemplo 22. El conjunto de personas vivas nacidas en 1500 es vac´ıo actualmente.
Ejemplo 23. El conjunto de alumnos de la Universidad del Pac´ıfico que tienen menos de 13 a˜nos es vac´ıo actualmente.
Cuantificadores
Actualmente es com´un escuchar el enunciado siguiente:
Todos los policias son corruptos.
Sabemos que dicho enunciado es una proposici´on falsa, siendo su negaci´on, “No es cierto que todos los policias son corruptos”, verdadera. Ahora, nos preguntamos: ¿existe una forma equivalente de escribir la negaci´on? Un error com´un es pensar que una forma equivalente de escribir la negaci´on es que ning´un policia es corrupto, cuando en realidad es
Existe al menos un policia que no es corrupto.
A continuaci´on, definamos los cuantificadores:
Definici´on 13 (Los cuantificadores). 1. La expresi´on “para todo” se denomina cuantificador universal y se denota por ∀.
- La expresi´on “existe” se denomina cuantificador existencial y se denota por ∃.
Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones usando un conjunto, variables y propiedades.
Ejemplo 24. Sea U el conjunto de los policias del Per´u, entonces p es la propiedad de ser “corrupto”; entonces la proposici´on ∀x ∈ U, [ p(x) ]
se traduce al lenguaje coloquial como “Todos los policias del Per´u son corruptos”.
Del Ejemplo 24, observamos que, si no es cierto que todos los miembros de un conjunto cumplen cierta propiedad entonces debe ser cierto que al menos uno de ellos no cumple dicha propiedad y viceversa. Esto quiere decir que los cuantificadores universal y existencial son opuestos el uno del otro. Esta idea se formaliza en la siguiente propiedad.
Propiedad 1. Para cada conjunto U y cada propiedad p, se cumplen las siguientes equivalencias:
¬(∀x ∈ U, [ p(x) ]) ≡ ∃x ∈ U, [ ¬p(x) ], ¬(∃x ∈ U, [ p(x) ]) ≡ ∀x ∈ U, [ ¬p(x) ].
Ejemplo 25. Sea U el conjunto de todos alumnos de la UP y p la propiedad de “estudiar econom´ıa”. Luego
∀x ∈ U, [ p(x) ]
se traduce, en lenguaje coloquial, como todos los alumnos de la UP estudian econom´ıa, que como bien sabemos es falso. As´ı, su negaci´on es ∃x ∈ U, [ ¬p(x) ]
verdadera, y ella se traduce, en lenguaje coloquial, como existe al menos un alumno de la UP que no estudia econom´ıa.
En ocasiones es necesario determinar si todo miembro de un conjunto tiene cierta propiedad, es decir dado un conjunto U y una propiedad p, {x ∈ U : p(x)} = U. En t´erminos l´ogicos se nos pide demostrar ∀ x ∈ U, [ p(x) ]. Cuando esto no es cierto la proposici´on anterior nos dice que debemos encontrar por lo menos un elemento a ∈ U tal que la proposici´on ¬p(a) es verdadera. Dicho elemento que prueba la falsedad del enunciado original es llamado un contraejemplo.
Ejemplo 26. Si consideramos U al conjunto de todos los profesores de la Universidad del Pac´ıfico (UP), y p la propiedad de “ense˜nar administraci´on”, entonces la proposici´on “todos los profesores de la UP ense˜nan administraci´on” es falsa, siendo en este caso el profesor “Mario Olano” nuestro contraejemplo, pues ´el ense˜na Nivelaci´on en Matem´aticas. Por supuesto, sabemos que existen muchos contraejemplos, pero basta con mostrar uno.
Ejemplo 27. Sea U un conjunto universal y p y q dos propiedades, la proposici´on
(∀x ∈ U, [ p(x) ]) ∧ (∀x ∈ U, [ q(x) ])
es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas, lo cual significa que todos los elementos de U cumplen las propiedades p y q, pero si es falsa significa que alguna debe ser falsa, es decir existe al menos un elemento que no cumple p o no cumple q; es decir,
(∀x ∈ U, [ p(x) ]) ∧ (∀x ∈ U, [ q(x) ]) ≡ ∀x ∈ U, [ p(x) ∧ q(x) ].
Dado que la negaci´on del cuantificador universal es el cuantificador existencial y la negaci´on de la conjunci´on es la disyunci´on, entonces:
(∃x ∈ U, [ p(x) ]) ∨ (∃x ∈ U, [ q(x) ]) ≡ ∃x ∈ U, [ p(x) ∨ q(x) ].
Definici´on 14 (Inclusi´on de conjuntos). Dados A y B, dos conjuntos de elementos del conjunto universal U , diremos que A est´a incluido en B (o que es un subconjunto de B) , lo cual denotaremos por A ⊂ B, si cada elemento de A es un elemento de B, es decir:
∀x ∈ U, [ x ∈ A → x ∈ B ].
U
B
A
Ejemplo 28. Si X es el conjunto de personas que viven en Lima y Y es el conjunto de personas que viven en el Per´u, entonces X est´a incluido en Y , es decir, X ⊂ Y.
- Si U es el conjunto universal de estudiantes del Per´u, p(x) la propiedad “el estudiante x es emprendedor” y q(x) la propiedad “el estudiante x es de la U.P.”. Determine la negaci´on de la proposici´on
∀x ∈ U, [p(x) → q(x)]
en l´ogica formal, sin usar condicionales, y enuncie su traducci´on al lenguaje coloquial.
- Escriba en l´ogica formal, detallando su conjunto universo y las propiedades de la proposici´on: “Si existen n´umeros naturales que son pares entonces existen n´umeros naturales que son impares, y si existen n´umeros naturales que son impares entonces existen n´umeros naturales que son pares”. Adem´as, escriba su negaci´on en l´ogica formal y en lenguaje coloquial.
- Sea U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∃x ∈ U, [ x + 3 < 10 ] b) ∀x ∈ U, ∀y ∈ U, [ x + y ≤ 7 ] c) ∃x ∈ U, ∀y ∈ U, [ x + y ≤ 10 ] d ) ∃x ∈ U, ∃y ∈ U, [ xy > x + y ] e) ∀x ∈ U, ∃y ∈ U, [ x + 2y > x^2 ]
3. Operaciones con conjuntos
Existen diversos m´etodos para introducir los n´umeros reales, todos y cada uno constituyen una parte im- portante de los fundamentos de las Matem´aticas, no describiremos ninguno de ellos aqu´ı, sino que admitiremos la existencia de dicho conjunto para a partir de ello introducir los n´umeros naturales, enteros y racionales. De la misma forma en que un conjunto puede ser definido por extensi´on o por compresi´on, los n´umeros reales se pueden definir construyendo expl´ıcitamente sus elementos o mencionando las propiedades que satisfacen. Si bien evitaremos la tarea de definir formalmente los n´umeros reales, no evitaremos el estudio de sus propiedades. Denotamos por R el conjunto de n´umeros reales, en el cual se define la suma de dos n´umeros reales a, b ∈ R se denota por a + b y el producto por a · b.
Propiedad 2 (Algebraicas).
∀a, b, c ∈ R, [a + (b + c) = (a + b) + c ∧ a · (b · c) = (a · b) · c] ∀a, b ∈ R, [a + b = b + a ∧ a · b = b · a] ∀a, b, c ∈ R, [a · (b + c) = a · b + a · c] ∀a ∈ R, [a + 0 = a ∧ a · 1 = a] ∀a ∈ R, ∃b ∈ R, [a + b = 0] ∀a ∈ R − { 0 }, ∃b ∈ R, [a · b = 1]
La primera propiedad es conocida como la propiedad asociativa de la suma y del producto. La segunda como la propiedad commutativa de la suma y el producto. La tercera como la propiedad distributiva. La cuarta como la existencia de los neutros de la suma y del producto. Finalmente, las dos ´ultimas son conocidas como la existencia de los inversos de la suma y del producto.
En esta parte, consideraremos como conjunto universal el conjunto de los n´umeros reales. Dentro de los reales, definimos el conjunto de los n´umeros naturales, denotado por N, como
N = { 1 , 2 , 3 , · · · }.
Los n´umeros naturales fueron el primer sistema de n´umeros que se form´o y se les usaba para contabilizar obje- tos. Como bien es conocido, los reales tienen dos operaciones cerradas llamadas “adici´on” y “multiplicaci´on”. Los naturales con estas operaciones tambi´en son cerradas, sin embargo, este conjunto no puede resolver la siguiente ecuaci´on:
x + 5 = 3 , (1)
por tal raz´on introducimos el conjunto de los n´umeros enteros, como una extensi´on de los naturales.
El conjunto de los n´umeros enteros, denotado por Z, es
Z = {· · · , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , · · · }
Los n´umeros enteros son cerrados bajo la suma y el producto de los n´umeros reales. Tambi´en resuelven la ecuaci´on (1). Sin embargo no se puede resolver la siguiente ecuaci´on en los enteros
5 x = 7 , (2)
por tal raz´on introducimos al conjunto de los n´umeros racionales, como una extensi´on de los enteros que nos permita resolver ecuaciones del tipo (2).
El conjunto de los n´umeros racionales, denotado por Q, es
Q = {x ∈ R : x = p/q donde p ∈ Z y q ∈ Z − { 0 }}
donde p/q = r/s si y solo si p · s = q · r. Los n´umeros racionales son cerrados bajo la suma y producto de los n´umeros reales y cumplen todas las propiedades algebraicas de los reales. En efecto pues, la suma y el producto en este caso de los racionales p 1 /q 1 y p 2 /q 2 resulta ser
p 1 q 1
p 2 q 2
p 1 · q 2 + p 2 · q 1 q 1 · q 2
y
p 1 q 1
p 2 q 2
p 1 · p 2 q 1 · q 2
respectivamente.
Ejemplo 29. Sean los n´umeros racionales 3 y − 4 /7 encuentre su suma y producto
y 3 ·
Sin embargo en los racionales no es posible resolver la ecuaci´on
x^2 = 2 , (3)
mostrando que existen n´umeros reales que no son racionales, es decir el complemento de los racionales en los reales es un conjunto no vac´ıo el cual es llamado los n´umeros irracionales. La prueba que
2 no es racional se puede ver en el libro Pre-C´alculo, de la Universidad del Pac´ıfico.
La relaci´on entre estos conjuntos num´ericos es N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Observaci´on 1. Usaremos de ahora en adelante la notaci´on R+^ para el conjunto {x ∈ R : x > 0 }, es decir el conjuntos de los n´umeros reales positivos.
En est´a parte daremos las definiciones cl´asicas la uni´on, la intersecci´on de conjuntos, el complemento de un conjunto y la diferencia entre conjuntos. Estableceremos tambi´en algunas propiedades que nos ayudar´an en la resoluci´on de problemas.
Definici´on 16 (Uni´on de conjuntos). Sea U un con- junto universal y A, B subconjuntos de U. La uni´on de A y B se define como el conjunto de elementos de U que est´an en A o est´an en B, es decir
A ∪ B = {x ∈ U : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
U
A B
Definici´on 17 (Intersecci´on de conjuntos).
- Determine los siguientes conjuntos A ∩ B, B ∪ C, E − F y C ∩ D, donde A, B, C, D, E y F son los conjuntos determinados en el item anterior.
- Siendo A, B, C, D, E y F los conjuntos del primer ejercicio, indique cuales son disjuntos.
- Determine por extensi´on el conjunto A = {x ∈ Z : x^2 − 1 = 0 ∨ x^2 − 4 = 0}.
- Considere como conjunto universal al conjunto de los n´umeros naturales, N, y sean:
p(x): x es potencia de 2 q(x): x es par
Exprese en notaci´on l´ogica las siguientes proposiciones:
Todo n´umero natural es par o potencia de 2. Existen n´umeros pares que no son potencia de 2.
- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, [ x^2 + y^2 ≥ 0 ] b) ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, [ x + y ≥ 0 ] c) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, [ x^2 + y^2 > 0 ] d ) ∃x ∈ Z, ∀y ∈ N, [ y > x ] e) ∀x ∈ Q, ∃y ∈ N, [ xy ∈ N ] f ) ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z, [ x + y ∈ N ] g) ∀x ∈ R − Q, ∀y ∈ R − Q, [ x + y ∈ R − Q ]
- Indique el valor de verdad de la siguiente proposici´on:
∀x ∈ Z, [ x^2 es par → x es par ]
- Determine por extensi´on cada uno de los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ R : − x ≤ x ≤ −x}, B = {x ∈ N : x^2 < 7 } y C = { 2 x ∈ Z : 4 x^2 − 1 = 0}
4. Conjuntos finitos
Los conjuntos se dividen en dos familias, los finitos y los infinitos. De manera intuitiva un conjunto es finito cuando es posible contar todos sus elementos acabando en alg´un momento. De lo contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplo 32. Si A es el conjunto de los meses del a˜no, entonces A es finito.
Los conjuntos infinitos usualmente estudiados son los conjuntos num´ericos presentados anteriormente.
N´umero de elementos de un conjunto finito
Sea A un conjunto finito denotaremos por n(A) a su n´umero de elementos.
Ejemplo 33. Si A es el conjunto de los meses del a˜no, entonces n(A) = 12.
Cuando queramos representar mediante un diagrama de Venn el n´umero de elementos de un conjunto finito convendremos en representarlo entre par´entesis, por ejemplo si A es un conjunto finito con n(A) = 12, haremos el siguiente diagrama de Venn
A
(12) o
A(12)
El siguiente diagrama de Venn, representa al conjunto A = { 12 }.
A
12
Ejemplo 34. Sean A y B dos conjuntos finitos tales que n(A) = 5, n(B) = 8 y n(A ∩ B) = 3. Luego, el diagrama de Venn asociado a estos dos conjuntos representando todos los datos es
A(5) B(8)
Tambi´en, observemos que la parte azul corresponde a A − B y la parte de rojo a B − A. Deduciendo de los datos que n(A − B) = 2 y n(B − A) = 5.
Observaci´on 2. Desde que el conjunto vac´ıo es el ´unico conjunto sin elementos, entonces n(∅) = 0.
As´ı, podemos decir que si tenemos dos conjuntos finitos A y B, entonces estos son disjuntos si y solo si no tienen elementos en com´un, es decir
A ∩ B = ∅ ↔ n(A ∩ B) = 0.
De forma natural surge la pregunta ¿el n´umero de elementos de la uni´on de dos conjuntos finitos es la suma de elementos de cada uno? La respuesta es negativa en general como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 35. Si A = { 1 , 2 , 3 } y B = { 3 , 4 , 5 }, observamos que n(A) = n(B) = 3 y el diagrama de Venn representando los conjuntos es
A B 1
Claramente A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y n(A ∪ B) = 5 6 = 6 = n(A) + n(B).
Ahora, si consideramos dos conjuntos disjuntos es l´ogico pensar que la cantidad de elementos tiene la uni´on de estos es la suma de la cantidad de elementos de cada conjunto, esto es formalizado en la siguiente propiedad.
Propiedad 3. Sean A y B dos conjuntos finitos disjuntos, se cumple n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Ejemplo 36. Sea A = {x ∈ N : x^2 < 5 } y B = { 3 x ∈ N : x ≤ 1 − 2 x}. Claramente A = { 1 , 2 } y B = { 3 }, siendo ellos disjuntos. As´ı, podemos verificar que n(A ∪ B) = 3 = n(A) + n(B).
Observaci´on 3. El n´umero de elementos de un conjunto finito siempre es un n´umero natural o cero.
Luego de la propiedad, nos surge otra interrogante ¿es posible calcular el n´umero de elementos de la uni´on de dos conjuntos finitos, sin conocer por extensi´on los conjuntos? La respuesta a tal interrogante la da el siguiente teorema.
Teorema 3. Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple
- n(A) = n(A − B) + n(A ∩ B).
- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
- En la Universidad del Pac´ıfico, se requiere que todos los estudiantes de primer ciclo cursen Matem´aticas I, Lenguaje I e Informatica I. Si se sabe que de 600 alumnos de primer ciclo: 400 cursan Matem´aticas I, 300 Lenguaje I y 250 Informatica I. Tambi´en se sabe, que 90 cursan Matem´aticas I y Informatica I, 240 Lenguaje I y Matem´aticas I y 50 Lenguaje I e Informatica I. ¿Cu´antos cursan las tres materias?
- Un club deportivo tiene 48 jugadores de f´utbol, 25 de b´asquet y 30 de tenis. Si el total de jugadores es 68, y solo 6 de ellos figuran en los tres deportes. ¿Cu´antos participan solo en un deporte y cu´antos exactamente en dos?
- En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50 consumen ´unicamente el producto A, 30 s´olo el producto B, el n´umero de personas que consumen s´olo B y C es la mitad del n´umero de personas que consumen s´olo A y C, el n´umero de personas que consumen s´olo A y B es el tripe del n´umero de las que consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen s´olo C. Determine el n´umero de personas que consumen s´olo dos de los productos y el n´umero de personas que no consumen ninguno de los tres productos.
- En una encuesta realizada a los estudiantes de la Universidad del Pac´ıfico sobre sus deportes preferidos, se obtuvo la informaci´on siguiente:
69 prefieren f´utbol. 46 prefieren tenis. 33 prefieren karate. 18 prefieren f´utbol y karate.
9 prefieren tenis y f´utbol. 12 prefieren tenis y karate. 3 prefieren los tres deportes. 19 no les gusta esos tres deportes.
Considerando la base anterior, responda a cada una de las preguntas siguientes a) ¿Cu´antos estudiantes fueron encuestados? b) ¿Cu´antos estudiantes prefieren unicamente karate? c) ¿Cu´antos estudiantes prefieren tenis y karate pero no f´utbol? d ) ¿Cu´antos estudiantes prefieren exactamente uno de los tres deportes?
