¡Descarga Matemáticas complejas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
[email protected]
Estadística
Datos no Agrupados
El presente trabajo es una recopilación, en su muy amplia mayoría, de ejercicios PSU propuestos –de los cuáles muchas veces el alumno se desazona ante el hecho de no saber resolverlos-. Es por ello que he preferido no solo resolverlos a modo de chequeo visual, sino que también por escrito, así como de explicarlos. De este modo, este material pretende ayudar -a modo de consulta- a internalizar los contenidos que van participando en cada solución. Aunque está ideado también para ser consultado por profesores, dado que, según mi experiencia personal, la preparación en la universidad ha sido más orientada a las matemáticas superiores en lugar de las necesidades prácticas de la educación media. Como sería trabajar directamente dichos contenidos y elaborar y planificar instrumentos de evaluación así como de guías, no solo por un período de uno, dos, o a lo más tres semestres, dado que tal período es insuficiente.
Para su presentación, he subdividido los ejercicios en los siguientes temas, por orden de complejidad y creciente dificultad.
Temas:
- Medidas de Tendencia Central 1.1. Ejercicios de Promedio Aritmético 1.2. Ejercicios de Mediana 1.3. Ejercicios Combinados de Mediana con Media 1.4. Ejercicios de Moda 1.5. Ejercicio Combinados de Moda con Mediana 1.6. Ejercicios Combinados entre Media, Mediana y Moda 1.7. Ejercicios de Cuartiles
- Medidas de Dispersión 2.1. Ejercicios de rango con medidas de tendencia central 2.2. Ejercicios de Desviación Estándar con medidas de tendencia central 2.3. Ejercicio de Desviación Media
1. Medidas de Tendencia Central
1.1. Ejercicios de Promedio Aritmético
- La media aritmética entre los datos: 10 - 15 - 12 - 8 - 4, es:
A) 7 B) 8,
C) 9
D) 9,
E) 8,
Solución: 10 +15 +12 + 8 + 4 49 x = = = 9, 5 5
Alternativa D).
- El promedio aritmético de los siguientes puntajes: 12, 15, 23, 18, 32, 48, 9 es: A) 61 B) 20, C) 22, D) 21, E) 25
Solución:
≈
x = = 22, 4 7 7 Alternativa C).
- Un alumno tiene dos notas en matemáticas (con escala de 1 a 7). Si el promedio es 5,5 y la suma de las notas es 11; ¿Cuáles son sus notas? A) 4,0 y 7, B) 5,5 y 5, C) 5,0 y 6, D) 4,5 y 6, E) Cualquiera de las anteriores
Solución: No se conoce ninguna nota, solo la suma de ellas y su promedio. Pues bien, todas las alternativas desde la A) hasta la D) cumplen con la suma 11 y promedio 5,5. Por lo tanto, la alternativa correcta es E).
- El gráfico de la figura representa los valores del IPC. (Índice de Precios al Consumidor) del primer semestre de un cierto año, ¿cuál es la media aproximada durante esos meses? A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) 0,
Solución: La media viene dada por 0,3+ 0 + +1,1+ 0,8 + 0,5 + 0, x = 6 3, = 6 = 0, Al momento de aproximar la centésima, esta es mayor o igual a cinco, por lo tanto se aproxima la décima a seis y el promedio aproximado es 0,6. Alternativa B).
- H es un conjunto de números consecutivos entre –5 y 6, incluyendo ambos números. ¿Cuál es la media aritmética de los elementos de H?
A)
C)
E)
B) 0,5 D) 0,
Solución: Por definición, la media es la suma de los números entre - 5 y 6 inclusive, dividido por la cantidad de números que hay entre ambos inclusive. i 6
i 5
i x N
=
= =−
∑ Donde N = Es la cantidad de datos entre - 5 y 6. Todos consecutivos.
= Los números distintos de cero son 6 – ( - 5) = 11. Más otro número que es el cero. = 12 números en total. Además, al sumar, los números entre - 5 y 5 se anulan mutuamente entre sí, quedando solo el número 6.
Por lo que
i 6
i 5
i
N
=
=− (^) =
∑ (^6) x = = 12
Alternativa B).
- Felipe, Paloma y Martina pesan 55, 35 y 18 kilogramos, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la media aritmética de sus pesos? I)
II) 3(10 + 2) III)
A) Sólo I. B) Sólo III. C) Sólo I y II. D) Sólo I y III. E) I, II y III.
Solución:
La media viene dada por
x = = 3 3
Analicemos cada expresión matemática:
Es la expresión que corresponde a la media. I) es verdadera.
6 II) es verdadera.
3(10 + 2) = 30 + 6 = 36 III) es verdadera.
Alternativa E).
- Si x es la media aritmética de los números r , s y t ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I) 3
r s t x
II) (x – r) + (x – s) + (x – t) = 0 III)
r s t x
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
Solución: (Analizando cada alternativa). I) es verdadera, por definición de media. II) (x - r) + (x - s) + (x - t) = 0 3x = r + s + t r + s + t x = 3 Que indica que x es la media de r, s y t. Por lo tanto, II) es verdadera.
III) Vamos a despejar x para ver si adquiere una expresión reconocida de media r + s + t + x +10 = /• 3 3x + 30 = r + s + t + 3x = r + s + t 20 r + s + t 20 x = 3
Lo que no corresponde con la definición de media. Luego, es sólo I) y II). Alternativa D).
- Cinco amigas se reúnen a almorzar. Si la media aritmética de sus edades es 34 años y las edades de tres de ellas son 28, 30 y 32. ¿Cuál es la media aritmética de las edades de las otras dos? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
Solución: Sean A, B, C, D y E las cinco personas. Entonces,
⇒ • 5
A + B + C + D + E
34 = A + B + C + D + E = 34
A + B + C + D + E = 170
Sean D y E las edades desconocidas de las dos personas, entonces, reemplazando las tres edades conocidas en la expresión anterior, tenemos 28 + 30 + 32 + D + E = 170 90 + D + E = 170 D + E = 80
El promedio de estas dos edades es
D + E 80
x = = = 2 2
Alternativa A).
- La media aritmética de tres números es 2n. Si dos de ellos son –4n y 8n, entonces ¿cuál es el tercero? A) 10n B) 4n C) 2n D) n E) –6n
Solución: Sea x el número buscado. Por definición de media, se tiene.
- ⇒ ⇒ 4n + 8n + x 2n = 6n = 4n + x 2n = x 3 Alternativa C).
- El promedio de 3 números es p, si uno de los números es q, otro es 3 veces la mitad de q, ¿Cuál es el valor del tercer número? A)
p − q
B)
p − q
C)
p − q
D)
p − q
E)
q p −
Solución: Sea x el término buscado. Del enunciado tenemos:
q 2q + 3q + 2x q + 3 + x (^) 5q + 2x p = 2 = 2 = / 6 3 3 6 6p = 5q + 2x 6p 5q = 2x 5q 3p = x 2 Alternativa D).
- Patricia ha obtenido en Matemáticas un promedio semestral de 5,5, con cuatro notas. Si obtuvo dos 6,0 y un 4,8. ¿Cuál fue la cuarta nota? A) 5, B) 5, C) 5, D) 5, E) 5,
Solución: 6, 0 + 6, 0 + 4,8 + x x = 4 16,8 + x 5, 5 = 4 22 = 16,8 + x 5, Alternativa D).
- Un grupo de 4 personas suben un ascensor haciendo una masa promedio de 68 Kg. En uno de los pisos se baja una de ellas y el peso promedio de los que siguen sube a 75 Kg. ¿Cuál es la masa de la persona que se bajó? A) 40 Kg. B) 47 Kg. C) 66 Kg. D) 28 Kg. E) 7 Kg.
Solución: Sean A, B, C y D las cuatro personas. Entonces,
⇒ •
A + B + C + D
68 = A + B + C + D = 68 4
A + B + C + D = 272
Sea D la persona que se baja en uno de los pisos, entonces A + B + C = 272 D - (I)
Además,
⇒
A + B + C
= 75 A + B + C = 225
(II)
Reemplazando el lado izquierdo de la igualdad (II) por su equivalente del lado derecho de la igualdad (I), obtenemos 272 – D = 225 272 – 225 = D 47 = D La masa de la persona que se bajó es de 47 Kg. Alternativa B).
- En una universidad, el equipo de babyfútol de Arquitectura enfrenta a su similar de Pedagogía -5 jugadores por equipo-. La edad promedio del equipo de Arquitectura es 19 años y el de Pedagogía 25 años. En el segundo tiempo se producen los siguientes cambios: En Arquitectura entra un jugador de 22 años y sale uno de 17 años. En Pedagogía sale uno de 25 años y entra uno de 20 años. ¿En que razón quedan los promedios de edad después de estos cambios? A) 5 : 4 B) 5 : 6 C) 3 : 4 D) 6 : 7 E) 1 : 1
Solución: S x = Donde S es la suma de los datos. En este caso, de las edades. n Para alumnos de Arqueología: A (^) ⇒ A
S
19 = S = 19•5 = 95
Donde SA es la suma de las edades de los alumnos de
Arqueología.
Entra uno de 22 y sale uno de 17. Esto es, la suma aumenta en 5 unidades.
SA = 100 ⇒ (^) A
x = = 2 5
Para alumnos de Pedagogía: P (^) ⇒ P
S
25 = S = 25•5 = 125
Donde SP es la suma de sus edades.
Sale uno de 25 y entra uno de 20. Es decir, la suma disminuye en 5 unidades.
SP = 120 ⇒ (^) P
x = = 2 5
La razón entre sus medias es A P
x 20 5 = = x 24 6 Alternativa B).
- Carlos olvidó una de sus ocho notas del primer semestre. Sin embargo, recuerda las otras siete, que son: 7— 6,2 — 5,8 — 6,5 — 6,3 — 6,1. — 5,6. Y sabe por otra parte que su promedio semestral es 6,1. Recordemos que en el cálculo del promedio semestral, se aproxima o trunca la centésima, por lo tanto, la nota que olvidó es: I) 5, II) Cualquiera nota dentro del intervalo [4.9 , 5.6] III) 5,
A) Solo I B) Solo II C) I y II D) I y III E) I, II y III
Solución: Si se aproxima la centésima, entonces 6,05 ≈ 6,1 y 6,14 ≈ 6,2. Por lo tanto debemos considerar que el promedio real debe ser cualquier nota perteneciente al intervalo [6.05, 6.14].
Veamos los valores extremos: Sea x la nota que Carlos olvidó. Cuando x = 6, 7 + 6,2 + 5,8 + 6,5 + 6,3 + 6,1 + 5,6 + x = 6, 8 43,5 + x = 48, 4
x = 48, 4 - 43, x = 4,
Cuando x = 6, 7 + 6,2 + 5,8 + 6,5 + 6,3 + 6,1 + 5,6 + x = 6, 8 43,5 + x = 49,
x = 49,12 - 43, x = 5,
La nota que olvidó Carlos está en el rango o intervalo [4.9, 5,62[
Las alternativas I) y II) tienen valores que están dentro del intervalo.
Por lo tanto, la alternativa correcta es C).
1.2. Ejercicios de Mediana
- La siguiente tabla registra –ordenados de mayor a menor- los puntajes por 38 estudiantes en un test de Biología.
Entonces, la mediana de la distribución es: A) 80, B) (112 + 44)/ C) 75
D) No existe mediana en este caso.
E) Ninguna de las anteriores.
Solución: Como hay un número par de estudiantes (38), la mediana es el promedio de las dos notas centrales (nº 19 y nº 20), es decir:
d
M = = = 80,
Alternativa A).
- La mediana de los siguientes datos es: x, x - 1, x + 2, x + 3, x - A) x B) x - 2 C) x + 3 D) x - 1 E) x + 2
Solución: Al ordenar los términos en forma ascendente x - 2, x - 1, x, x + 2, x + 3. El valor central corresponde a la mediana y dicho valor central es x. Alternativa A).
Nº Estudiantes Calificación Nº Estudiantes Calificación 1 Edgardo S. 112 20 David H. 80 2 Nancy M. 109 21 Eduardo F. 78 3 Carlos B. 106 22 José L. 75 4 Mildred C. 105 23 Rosa M. 75 5 Roberto C. 104 24 Marta V. 75 6 Silvia H. 100 25 Enrique S. 74 7 Jaime D. 97 26 Graciela S. 72 8 Juan D. 97 27 Manuel S. 71 9 Diego F. 95 28 Ricardo G. 70 10 Roberto G. 95 29 Pedro H. 69 11 Dolores T. 93 30 Roberto S. 68 12 Arnoldo T. 91 31 Bárbara B. 66 13 David A. 90 32 Lila S. 62 14 Carmen O. 89 33 Roberto D. 59 15 Roberto B. 84 34 Jorge P. 59 16 Raúl U. 84 35 Rafael P. 58 17 Juan C. 83 36 Gonzalo M. 51 18 Diana D. 82 37 Gabriel G. 47 19 Pablo S. 81 38 Patricio H. 44
1.3. Ejercicios Combinados de Mediana con Media
- De los siguientes datos: a – 2, a + 4, a – 3, la mediana y la media son, respectivamente A) 3 a – 1, a – 2 B)
a a
C)
a a
D) 3 a – 1, a + 4
E) a + 4, 3 a – 1
Solución: Para hallar la mediana, ordenamos de menor a mayor: a – 3, a – 2, a + 4. La mediana es el término central: a – 2. a - 2 + a + 4 + a - 3 3 a − 1 x = = 3 3
La alternativa que tiene a a – 2 y
3 a − 1 3
es B).
- Los puntajes obtenidos por 10 alumnos en un examen fueron: 57, 38, 60, 60, 57, 56, 88, 100, 55 y 58. Si se acordó que aprobaran aquellos alumnos cuyos puntajes fueran al menos un punto mayor que la mediana o la media aritmética, ¿cuántos alumnos aprobaron el examen? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución: Para obtener la media aritmética o promedio tenemos
x = 10 629 = 10 = 62, 63
La regla indica que aprueban aquellos que tienen a lo menos un punto más. Esto es, sobre 63 puntos. Hay dos alumnos que están sobre puntaje.
Mientras que la mediana se obtiene de ordenar de manera ascendente (o descendente) y ver el o los términos centrales. 38 – 55 – 56 – 57 – 57 – 58 – 60 – 60 – 88 – 100
La mediana viene dada por el promedio de los valores centrales, (57+58)/2 = 57,5 ptos. Los alumnos que están sobre el puntaje y con un punto de diferencia (esto es, a partir de 57,5 + 1 = 58,5 ptos.) son cuatro alumnos.
El conectivo “o” hace referencia al criterio más amplio, tal como lo es una unión de conjuntos o de criterios. A diferencia del conectivo “y”, que considera a conjuntos y criterios más pequeños. En nuestro caso, tenemos criterios que consideran a dos o cuatro alumnos. Entre estos, el criterio más amplio son cuatro alumnos. Alternativa C).
1.4. Ejercicios de Moda
- La frecuencia que presenta la moda de la muestra {2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 7} es: a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 7
Solución: La moda es 4, pues se repite un mayor número de veces que los otros números. La frecuencia con la cual se repite es 3. Alternativa B).
- La moda de la siguiente muestra
a -1 , -1,2,3, -(x + 2)o
1-a
A) -
B) 2/
C) 2
D) 3
E) No tiene moda la muestra.
Solución: El primer y último dato tienen expresiones interesantes.
El primer dato es
1 ( 1 ) 1 1 1
a^ a a a
− −^ −
El último dato es -(x + 2) o= - 1 (por propiedad a^0 = 1. En este caso el signo menos está fuera de la base y de la influencia del exponente cero). Por lo tanto, la muestra está compuesta por: -1, -1, 2, 3, - Y el dato que más se repite es - 1. Por lo tanto, la moda es tal valor y la alternativa correcta es A).
1.6. Ejercicios Combinados entre Media, Mediana y Moda
- Los datos siguientes corresponden al tiempo en minutos que un trabajador debe esperar su medio de movilización para ir al trabajo durante quince días laborales: 20, 5, 12, 8, 5, 8, 4, 10, 3, 8, 6, 18, 2, 10, 14. Entonces la Media, la Mediana y la Moda para este conjunto de datos son respectivamente:
Solución: La suma de todos los tiempos de espera es 133 mm., por lo que su promedio es: 133 8, 15
x = =
Ordenamos de menor a mayor los quince tiempos de espera para obtener la mediana: 2 – 3 – 4 – 5 – 5 – 6 – 8 – 8 – 8 – 10 – 10 – 12 – 14 – 18 - 20
La Mediana es el valor de la variable que ocupa la posición central. En este caso, Md = 8.
El valor que aparece con mayor frecuencia es la moda, de manera que Mo = 8. Por lo tanto, los datos pedidos son: 8,86 ; 8; 8 Alternativa D).
- Si a la serie de datos 7 — 6 — 5 — 4 — 5 se le agregaran dos datos, entonces su Mediana seria 6, su Promedio 7 y su Moda 5. Los datos que se deben agregar podrían ser: I. 5 y 17 II. 9 y 13 III. 8 y 14
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III
Solución: Una vez que se han agregado dos datos a la serie, el conjunto tendría 7 datos. Si el promedio de los datos debe ser 7, entonces la suma de todos los datos debe ser 49. Como la suma de los 5 datos originales es 27, los dos datos que se agreguen deben sumar la diferencia: 49 – 27 = 22. Además, si se ordena la serie: 4 — 5 — 5 — 6 — 7. Para que 6 sea la mediana, los datos que se agreguen deben ser mayores o iguales que 6. Solamente las alternativas II) y III) satisfacen tales condiciones. La opción correcta es E).
Media Mediana Moda A) 8,83 8 8 B) 8 (^) 8,86 8
C) 8,86 5 10 D) 8,86 8 8 E) 8,5 8 10
- a , b y c representan respectivamente la media, la mediana y la moda de las alturas de 10 personas, tal que b < a < c. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) Hay más personas cuyas alturas son mayores que a. B) La persona más alta tiene estatura c. C) a es el promedio de b y c. D) La persona más baja tiene estatura menor que a. E) Si todas las personas estuviesen ordenadas ascendente o descendentemente, la persona del medio tendría estatura a.
Solución: Fíjese que da lo mismo si las estaturas fuesen de personas, caballos, etc. Lo que importa es la comparación entre sí de la media, la mediana y la moda, dentro de una muestra. La afirmación que tiene sentido, si los números de la muestra no son todos iguales, es que existirá algún valor por lo menos, que será menor que la media. Con mayor si este fuese el menor valor. Alternativa D).
- Entre los valores de una muestra siempre está presente: I) La media. II) La moda. III) La mediana.
A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo III. D) I y III. E) Ninguna.
Solución: A través de un simple contraejemplo, abordaremos cada una de las alternativas. Dada la muestra 1, 2, 3 y 4.
x = = 4 4
= 2,5 Valor que no se halla en la muestra. I) es falsa.
- La muestra no tiene moda. Por lo tanto, II) es falsa.
- La mediana viene dada por el promedio de los términos centrales
MD =
que como vimos y vemos, no se halla en la muestra. Por lo
tanto, III) también es falsa.
Alternativa E).
