Cálculo de Áreas de Regiones Planas: Ejercicios y Aplicaciones, Exámenes de Matemáticas

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MATEM ATICA 2: Horarios 661 y 663 Semestre 2022 2´

Semana 13

Areas de Regiones Planas^ ´

Teorema

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b], tales que

f (x) ≤ g (x), para todo x ∈ [a, b] y R la regi´on limitada por los

gr´aficos de f y g, y por la rectas x = a, x = b; entonces el ´area

de R es

A (R) =

∫^ b

a

(g (x) − f (x)) dx

Ejemplo

Calcule el ´area de la regi´on R limitada por los gr´aficos de las

funciones

f (x) = x

2 − 2 x − 8, g (x) = −x

2

• 2x − 2

Soluci´on: Puntos de intersecci´on de los dos gr´aficos

x^2 − 2 x − 8 = −x^2 + 2x − 2 ⇔ x^2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = − 1

Los puntos son (3, −5) y (− 1 , −5).

A (R) =

∫^3

− 1

[(

−x

2

• 2x − 2

x

2 − 2 x − 8

)]

dx

A (R) =

∫^3

− 1

− 2 x

2

• 4x + 6

dx =

u

2 .

Punto de intersecci´on de la recta tangente y la recta y = 2

x − 1 = 2 ⇔ x = 3

A (R) =

∫^3

1

(x − 1 − ln (x)) dx +

∫^ e^2

3

(2 − ln (x)) dx

El siguiente resultado se obtiene al integrar por partes

∫

ln (x) dx = x ln (x) − x + C

Entonces

A (R) =

x^2

2

− x ln (x)

∣^3

1 + (3x^ −^ x^ ln (x))

e^2 3

A (R) =

− 3 ln (3)

3 e

2 − 2 e

2 )^

− (9 − 3 ln (3))

A (R) =

e

2 − 5

u

2 .

Ejemplo

Calcule el ´area de la regi´on limitada por las gr´aficas de

y = x^2 + 1, y = 9 − x^2 , y = 4x + 13

Soluci´on:

Intersectando las par´abolas

x^2 + 1 = 9 − x^2 ⇔ x = ± 2

Los puntos de intersecci´on son

Intersectando

y = x^2 + 1 con y = 4x + 13

x^2 − 4 x − 12 = 0 ⇒ (x − 6) (x + 2) = 0 ⇔ x = 6 ∨ x = − 2

Los puntos de intersecci´on son

Ejemplo

Calcule el ´area de la menor de las regiones determinada por las

gr´aficas de

y = x^2 − 4 x + 5 (1) y = (^12)

x^2 − 4 x + 6

x + y = 15 (3)

Soluci´on: Intersectando (1) y (2)

x

2 − 4 x + 5 =

x

2 − 4 x + 6

2 x^2 − 8 x + 10 = x^2 − 4 x + 6

x^2 − 4 x + 4 = 0

(x − 2)

2 = 0

x = 2, y = 1

Intersectando (1) y (3)

x^2 − 4 x + 5 = 15 − x

x

2 − 3 x − 10 = 0

(x − 5) (x + 2) = 0

x = 5, x = − 2

A partir del gr´afico se tiene que el ´area de la menor de las

regiones es

A =

∫^5

2

[

x

2 − 4 x + 5

x

2 − 4 x + 6

]

dx +

∫^6

5

[

(15 − x) −

x

2 − 4 x + 6

]

dx

Simplificando

A =

∫^5

2

x^2 − 2 x + 2

dx +

∫^6

5

x^2 + x + 12

dx

Integrando

A =

x^3 − x^2 + 2x

∣^5

x^3 +

x^2

2

• 12x

∣^6

5

A =

u^2.