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Derivadas parciales (Parte IV)
Junio de 2020, El Salvador
Extremos relativos de una función: máximos y mínimos.
Sea una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), y un punto 𝑝 0
(𝑎, 𝑏) que es un extremo local de la función,
cumple que para los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) de un entorno de 𝑃𝑜 se tiene: 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) < 0 , el punto
es máximo, por el contrario si 𝑓(𝑥, 𝑦) – 𝑓(𝑎, 𝑏) > 0 , el punto es mínimo.
Una función 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un valor máximo absoluto en su dominio D perteneciente a los reales,
si existe un punto 𝑄(𝑥 0
, 𝑦
0
) dentro del dominio, para el cual se cumple que 𝑓(𝑥
0
, 𝑦
0
) >
𝑓(𝑥, 𝑦) … … …. para cualquier par ordenado (𝑥, 𝑦) en 𝐷. Una función 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un valor
mínimo absoluto en su dominio 𝐷 perteneciente a los reales, si existe un punto 𝑄(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) dentro
del dominio, para el cual se cumple que: 𝑓(𝑥, 𝑦) > 𝑓(𝑥 0
, 𝑦
0
) …………. para cualquier par
ordenado (𝑥, 𝑦) en 𝐷.
De la misma manera que ocurre en las funciones de una variable, los extremos de una
función de dos variables, tienen como condición necesaria anular la derivada parcial.
Formalmente diremos que: Si 𝑓(𝑥, 𝑦) alcanza su máximo (o su mínimo) en el punto
(𝑥 0
, 𝑦
0
) del interior de un subconjunto del dominio de la función. Si existen las derivadas
parciales, entonces se cumple que:
A partir de este resultado diremos que un punto (𝑥
0
0
) es un punto crítico si en él, se
anulan las derivadas parciales.
Criterio de clasificación de puntos críticos
Nos interesa establecer criterios que permitan decidir a cuál de estos tipos pertenece el
punto crítico encontrado. Para ello, buscaremos un método que utilice las derivadas de
segundo orden.
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑥
2
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑦
2
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
o en este notación 𝑧
𝑥
𝑦
𝑥𝑦
𝑦𝑥
Las derivadas 𝑧
𝑥𝑦
𝑦𝑥
son llamadas " derivadas mixtas ",
- Si las segundas derivadas parciales de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) son continúa en un entorno del
punto (𝑎, 𝑏) y se cumple que 𝑓 𝑥
(𝑎, 𝑏) = 0 y 𝑓
𝑦
(𝑎, 𝑏) = 0 (es decir, (𝑎, 𝑏) es un punto
crítico), entonces definido 𝐷 como:
D =𝑓
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑦
2
Si 𝐷 > 0 y 𝑓
𝑥𝑥
(𝑎, 𝑏) > 0, entonces (𝑎, 𝑏) es un mínimo local.
Si 𝐷 > 0 y 𝑓
𝑥𝑥
< 0, entonces (𝑎, 𝑏) es un máximo local.
Si D < 0, entonces (𝑎, 𝑏) es un punto de silla.
Si 𝐷 = 0 el criterio no es concluyente.
Derivadas parciales (Parte IV)
Junio de 2020, El Salvador
Ejemplo 1
Clasificar los puntos críticos de la función 𝑓
( 𝑥, 𝑦
) = 2 𝑥
2
2
− 𝑥
4
− 𝑦
4
Solución
𝑥
3
2
𝑦
3
2
Todos los siguientes puntos son críticos:
Ahora calcularemos: 𝑓 𝑥
𝑦
𝑥𝑦
𝑥𝑥
2
𝑦𝑦
2
𝑥𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
2
Punto (0,0); 𝐷( 0 , 0 ) = 16 > 0 y 𝑓
𝑥𝑥
( 0 , 0 ) = 4 > 0 (0,0) es un mínimo local
Punto (0,1); 𝐷
= − 32 < 0 ; ( 0 , 1 ) es un punto de silla
Punto (0,-1); 𝐷
= − 32 < 0 ; ( 0 , − 1 ) es un punto de silla
Punto (1,0); 𝐷( 1 , 0 ) = − 32 < 0 ; ( 1 , 0 ) es un punto de silla
Punto (-1,0); 𝐷(− 1 , 0 ) = − 32 < 0 ; (− 1 , 0 ) es un punto de silla
Punto (1,1); 𝐷( 1 , 1 ) = 64 > 0 y 𝑓 𝑥𝑥
(1,1) = - 8 < 0; (1,1) es un máximo local
Punto (1,-1); 𝐷( 1 , − 1 ) = 64 > 0 y 𝑓 𝑥𝑥
(1,-1) = - 8 < 0; (-1,1) es un máximo local
Punto (-1,1); 𝐷(− 1 , 1 ) = 64 > 0 y 𝑓
𝑥𝑥
(-1,1)= - 8 < 0; (-1,1) es un máximo local
Punto (-1,-1); 𝐷(− 1 , − 1 ) = 64 > 0 y 𝑓
𝑥𝑥
(-1,-1) = - 8 < 0; (-1,-1) es un máximo
local
Derivadas parciales (Parte IV)
Junio de 2020, El Salvador
𝑥𝑥
𝑦𝑦
2
Punto (-1/3, - 1/3); 𝐷(−
1
3
, −
1
3
) = 3 > 0 y 𝑓
𝑥𝑥
(−
1
3
, −
1
3
) = 2 > 0
(-1/3, - 1/3) es un mínimo local.
Ejemplo 4
Clasificar los puntos críticos de la función 𝑓
( 𝑥, 𝑦
) = 𝑥𝑦𝑒
𝑥+ 2 𝑦
Solución
𝑓 𝑥
(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
= 0 ⇔ 𝑦 + 𝑥𝑦 = 0 ⇔ 𝑦(𝑥 + 1 ) = 0 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = − 1 (1)
𝑓 𝑦
( 𝑥, 𝑦
) = 𝑥𝑒
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
= 0 ⇔ 𝑥 + 2 𝑥𝑦 = 0 ⇔ 𝑥
( 1 + 2 𝑦
) = 0 , 𝑥 = 0 , 𝑦 = −
1
2
(2)
El punto siguiente es crítico: ( 0 , 0 ); (− 1 , − 1 / 2 )
Ahora calcularemos: 𝑓 𝑥𝑥
; 𝑓
𝑦𝑦
; 𝑓
𝑥𝑦
𝑓 𝑥𝑥
( 𝑥, 𝑦
) = 𝑦𝑒
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
= 𝑒
𝑥+ 2 𝑦
( 2 𝑦 + 𝑥𝑦
) = 𝑦(𝑥 + 2 )𝑒
𝑥+ 2 𝑦
𝑓
𝑦𝑦
(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥𝑒
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
; 4 𝑥( 1 + 𝑦)𝑒
𝑥+ 2 𝑦
𝑓 𝑥𝑦
(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
𝑥+ 2 𝑦
= 𝑒
𝑥+ 2 𝑦
( 1 + 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑥𝑦)
𝑓 𝑥𝑦
( 𝑥, 𝑦
) = 𝑒
𝑥+ 2 𝑦
(
( 1 + 𝑥
)
( 1 + 𝑥
) ) = 𝑒
𝑥+ 2 𝑦
( 1 + 𝑥
) ( 1 + 2 𝑦)
𝐷
( 𝑥, 𝑦
) =𝑓
𝑥𝑥
( 𝑎, 𝑏
) 𝑓
𝑦𝑦
( 𝑎, 𝑏
) = 4 𝑥𝑦(𝑥 + 2 )( 1 + 𝑦)𝑒
2 𝑥+ 4 𝑦
− 𝑒
𝑥+ 2 𝑦
( 1 + 𝑥
) ( 1 + 2 𝑦)
Punto ( 0 , 0 ); 𝐷
( 0 , 0
) = − 1 < 0 (0, 0) es un punto de silla
Punto (− 1 , −
1
2
) ; 𝐷
( − 1 , − 1 / 2
) = 4 (− 1 ) (−
1
2
) (− 1 + 2 ) ( 1 −
1
2
) 𝑒
2 (− 1 )+ 4 (−
1
2
)
𝐷(− 1 , − 1 / 2 ) = 2 ( 1 ) (
1
2
) 𝑒
− 2 − 2
= 𝑒
− 4
0 y 𝑓
𝑥𝑥
(− 1 , −
1
2
) = −
1
2
(− 1 + 2 )𝑒
− 1 + 2 (−
1
2
)
𝐷
( − 1 , − 1 / 2
) = 𝑒
− 4
0 y 𝑓
𝑥𝑥
(− 1 , −
1
2
) = −
1
2
𝑒
− 2
< 0
(− 1 , −
1
2
) es máximo.
Derivadas parciales (Parte IV)
Junio de 2020, El Salvador
Tarea
I. Suponga que (1,1) es un punto crítico de una función con segundas derivadas
continuas, que puede decir de f.
𝑎. 𝑓
𝑥𝑥
(1,1) = 4; 𝑓
𝑥𝑦
(1,1) = 1; 𝑓
𝑦𝑦
(1,1) = 2
𝑏. 𝑓
𝑥𝑥
(1,1) = 4; 𝑓
𝑥𝑦
(1,1) = 3; 𝑓
𝑦𝑦
(1,1) = 2
II. Suponga que (0, 2) es un punto crítico de una función con segundas derivadas
continuas, que puede decir de f.
𝑎. 𝑔
𝑥𝑥
(0,2) = −1; 𝑔
𝑥𝑦
(0,2) = 6; 𝑔
𝑦𝑦
(0,2) = 1
𝑏. 𝑔
𝑥𝑥
(0,2) = −1; 𝑔
𝑥𝑦
(0,2) = 2; 𝑔
𝑦𝑦
(0,2) = −
𝑐. 𝑔
𝑥𝑥
(0,2) = 4; 𝑔
𝑥𝑦
(0,2) = 6; 𝑔
𝑦𝑦
(0,2) = 9
III. Encontrar los puntos máximos y mínimos de las siguientes funciones en varias
variables
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
4
4
− 4𝑥𝑦 + 1
b. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 10𝑥
2
𝑦 − 5𝑥
2
− 4𝑦
2
− 𝑥
4
− 2𝑦
2
c. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
2
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑥
2
− 𝑦
2
e. 𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑥𝑦)
f. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥(𝑒
𝑥
− 1)
g. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
4
h. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥
4
2
− 𝑦
2
i. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥
3
− 3𝑥 + 3𝑥𝑦
2
j. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥
3
3
− 3𝑥
2
− 3𝑦
2
− 9𝑥
k. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
4
− 2𝑥
2
3
− 3𝑦
l. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝐶𝑜𝑠𝑥
m. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑒
−𝑥𝑦
n. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥
2
2
)𝑒
−𝑥
