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UNIDAD TRANSVERSAL DE CIENCIAS B ASICAS´ MATERIA: Matem´aticas Financiera Modalidad distancia
ACTIVIDAD VIRTUAL SEMANA 1
Indicaciones generales:
- Formato de entrega: Se debe entregar en forma individual o grupal, seg´un se acuerde con el docente.
- se debe entregar un documento en formato pdf LEGIBLE.
- Si alguna de las condiciones de entrega no se cumple, la nota correspondiente de la actividad ser´a 0. 0.
- Se recomienda realizar el env´ıo de la actividad con suficiente tiempo de anterioridad con el fin de evitar dificultades en el env´ıo.
Esta actividad corresponde al trabajo que se debe desarrollar de forma aut´onoma durante la semana, en la sesi´on del d´ıa s´abado se resolver´an dudas y se realizar´a una evaluaci´on. La nota de la semana corresponde a la nota de esta actividad y a la evaluaci´on de acuerdo con los porcentajes definidos en los lineamientos del Curso. Realice una lectura completa de la actividad y siga las indicaciones.
- OBJETIVOS:
Explicar los conceptos de inter´es simple, tiempo, capital, monto, valor actual, tasa de inter´es, inter´es y descuento. Distinguir y explicar la diferencia entre descuento real y descuento comercial, as´ı como entre tiempo real y tiempo aproximado. Plantear y resolver ejemplos de c´alculo de tasa de inter´es, tiempo, capital, monto, valor actual y descuento a inter´es simple.
- TEMAS A DESARROLLAR DURANTE LA SEMANA:
Monto. Valor actual o presente. Inter´es.
Tasa y tipo de inter´es. Tiempo real y tiempo aproximado. Descuento.
3. INTRODUCCI ´ON Y CONCEPTOS B ´ASICOS: INTERES SIMPLE´
Las matem´aticas tienen un campo de acci´on muy importante en las finanzas. El pr´estamo de dinero o la compra de una mercanc´ıa a cr´edito implica una retribuci´on a quien ofrece el servicio. La mayor parte de los ingresos de los bancos y compa˜n´ıas financieras se obtienen de los intereses por pr´estamos o por el retorno de las utilidades. De acuerdo con lo establecido en la pr´actica comercial, en este tipo de intercambio intervienen las siguientes magnitudes.
Capital: Cantidad de dinero que se presta o se adelanta en una operaci´on financiera. Inter´es: Dinero que se obtiene de utilidad por el pr´estamo del capital. Tasa de inter´es: Raz´on porcentual que representa el inter´es que se paga por cada $100 de capital en la unidad de tiempo. Tiempo: Lapso que dura prestado el capital.
Situaci´on: Andr´es obtiene un pr´estamo por $2000000 que solicit´o a un banco, y acuerda pagarlo despu´es de dos meses, entreg´andole al banco $2040000. Este caso permite ejemplificar una operaci´on en la que interviene el inter´es simple. El supuesto fundamental del cual se parte es que el dinero aumenta su valor con el tiempo: Andr´es obtiene inicialmente $2000000 y pag´o, dos meses despu´es, $2040000, esto es, los $2000000 que le prestaron m´as $40000 de inter´es, que de acuerdo con el supuesto b´asico, es la cantidad en que aument´o el valor del pr´estamo original en dos meses. Desde el punto de
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vista del banco, esos intereses son su ganancia por el hecho de haber invertido su dinero en el pr´estamo, y desde el punto de vista de Andr´es, son el costo de haber utilizado los $2000000 durante dos meses. Los elementos que intervienen en una operaci´on de inter´es son, de acuerdo con el mismo ejemplo:
C : el capital que se invierte → C = $2000000. t : el tiempo o plazo → t = 2. I : el inter´es simple → I = $40000. M : el monto, determinado como el capital m´as intereses → M = $2040000. i : la tasa de inter´es.
La tasa de inter´es refleja la relaci´on que existe entre los intereses y el capital; en el ejemplo:
i =
Si se le multiplica por 100, este cociente indica que el capital gan´o 2 % de inter´es en dos meses, pues $40000 es el 2 % de $2000000. Luego, para convertir a la misma base, se acostumbra expresar tanto la tasa de inter´es i como el tiempo t en unidades de a˜no, por lo que, seg´un el ejemplo, t = 2 meses, y si el a˜no tiene 12 meses, el tiempo expresado en unidades de a˜no es:
t =
Adem´as,la tasa de inter´es, si es de 0.02 por bimestre, en 6 bimestres ser´a:
i = 0. 02 · 6 = 0.12 = 12 %
Es importante observar que tanto, 0.12 o 12 % son s´olo expresiones distintas de lo mismo, s´olo que la primera es la forma algebraica de plantearlo, mientras que su expresi´on porcentual es la que m´as se utiliza cuando se le maneja verbalmente. Adem´as, tambi´en es de uso com´un hablar de tasas porcentuales de inter´es (por ejemplo: con una tasa de 12 % anual ).
En resumen, con base en la situaci´on planteada se tiene que:
C = 2000000 I = 40000 t =
i = 0. 12 M = 2040000
y se puede observar que, en general:
M = C + I 2040000 = 2000000 + 40000
El inter´es es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo:
I = C · i · t
40000 = 2000000 · 0. 12 ·
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De esta manera, el monto se deduce de la siguiente manera:
M = C + I M = C + C · i · t M = C · (1 + i · t)
M = 2000000 ·
M = 2050000
Por tanto, deber´a pagar $2050000, de los cuales $2000000 son el capital que adeuda y $50000 los intereses de 3 meses.
Valor actual o presente
El valor actual, que equivale al capital, se puede encontrar despejando C en la f´ormula del monto, como sigue:
M = C · (1 + i · t)
C =
M
(1 + i · t) C = M · (1 + i · t)−^1
Ejemplo: Una persona participa en una “cadena” y le toca cobrar en el decimoctavo mes. Si dentro de 18 meses recibir´a $2600000, ¿cu´al es el valor actual de su cadena, si consideramos un inter´es simple de 20 % anual?
Soluci´on: En este caso, los datos que se tienen son:
M = 2600000 i = 0. 2 t =
De esta manera, el capital o valor actual se deduce de la siguiente manera:
C = M · (1 + ·i · t)−^1
C = 2600000 ·
C = 2000000
En este caso, $2000000 es el valor actual de $2600000, realizables dentro de 18 meses con un inter´es simple del 20 % anual.
Inter´es
Como ya sabemos el inter´es hace referencia a la cantidad de dinero que se obtiene de utilidad por el pr´estamo del capital.
Ejemplo: Una persona obtiene un pr´estamo por un valor de $5000000 y acepta liquidarlo a˜no y medio despu´es. Acuerda que mientras exista la deuda pagar´a un inter´es simple mensual del 1.5 %. ¿Cu´anto deber´a pagar de inter´es cada mes?
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Soluci´on: En este caso, los datos que se tienen son:
C = 5000000 i = 1.5 % = 0. 015 t = 1
De esta manera, el inter´es se deduce de la siguiente manera:
I = C · i · t I = 5000000 · 0. 015 · 1 I = 75000
Por tanto, tendr´a que pagar $75000 mensuales. Puesto que la tasa de inter´es y el plazo est´an expresados en meses (la misma unidad para ambos conceptos), el c´alculo del inter´es es directo.
Para resolver este mismo ejemplo, pero expresando las cantidades en periodos anuales (ya no mensua- les), se debe proceder de la siguiente manera.
C = 5000000 i = 0. 015 · 12 = 0. 18 t =
Ahora,
I = C · i · t
I = 5000000 · 0. 18 ·
I = 75000
Tasa y tipo de inter´es
El tipo de inter´es o tasa de inter´es es el precio del dinero, es decir, es el precio a pagar por utilizar una cantidad de dinero durante un tiempo determinado. Su valor indica el porcentaje de inter´es que se debe pagar por utilizar una cantidad determinada de dinero en una operaci´on financiera.
Ejemplo: Una persona compr´o un autom´ovil el 1 de enero en un valor de $49600000 y lo vendi´o 17 meses despu´es en $52762000. ¿Qu´e tasa de inter´es simple anual obtuvo en su inversi´on?
Soluci´on: En este caso, los datos que se tienen son:
C = 49600000 M = 52762000 t =
Despejando el valor del inter´es (i) de la expresi´on del monto, se tiene lo siguiente:
M = C + C · i · t
i =
M − C
C · t i =
i = 0. 045
As´ı, la tasa es de 0.045 anual simple. Observe que si se hubiera preguntado el tipo de inter´es la respuesta hubiese sido, convirtiendo simplemente a porcentaje, es decir, 4.5 %
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Descuento
El descuento es una operaci´on de cr´edito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias, que consta en que ´estas adquieren letras de cambio o pagar´es, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengar´ıa el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esta operaci´on se anticipa el valor actual del documento. Existen b´asicamente dos formas de calcular el descuento:
Descuento comercial: En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento o valor asignado. Descuento real o justo: A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal.
Ejemplo 1: Sara tiene un pagar´e por un valor de $1860000 (valor nominal del pagar´e) por concepto de una mercanc´ıa el cual vence el 24 de octubre, Sara desea retirar el documento el 24 de agosto. Si el banco realiza operaciones de descuento al 20 % anual. ¿Cu´anto dinero recibir´a Sara?
Soluci´on: En este caso se tiene que el descuento (D) es igual a:
D = M · i · t = M · d · t adem´as, M = C + D
en donde d representa la tasa de descuento. A continuaci´on, se muestra la soluci´on del ejercicio tanto, utilizando un descuento comercial (parte izquierda) como usando un descuento real o justo (parte derecha). En ambos casos, los datos que se tienen son:
M = 1860000 d = i = 0. 2 t =
Descuento comercial
Primero, se calcula el valor del descuento, para es- to se tiene que:
D = M · i · t
D = 1860000 · 0. 2 ·
D = 62000
De esta manera:
M = C + D C = M − D C = 1860000 − 62000 C = 1798000
Por lo tanto, Sara recibe $1798000, que es el valor comercial del documento el 24 de agosto.
Descuento real o justo En este caso, se utiliza la f´ormula del monto a in- ter´es simple (el inter´es real), obteniendo:
M = C · (1 + i · t) C = M · (1 + ·i · t)−^1
C = 1860000 ·
C = 1800000
De esta manera:
M = C + D D = M − C D = 1860000 − 1800000 D = 60000
Por lo tanto, Sara recibe $1800000, adem´as, se ob- serva que el descuento real o justo es un tanto inferior al descuento comercial.
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Ejemplo 2: Una empresa descont´o en un banco un pagar´e, recibiendo un total de $166500. Si el tipo de descuento es del 30 % anual y el pagar´e venc´ıa 4 meses despu´es de su descuento, ¿cu´al era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento?
Soluci´on: En este caso se tiene que el descuento (D) es igual a:
D = M · i · t = M · d · t y, M = C + D
en donde d representa la tasa de descuento. Adem´as:
D = M · d · t D = (C + D) · d · t D = C · d · t + D · d · t D − D · d · t = C · d · t D(1 − d · t) = C · d · t
D =
C · d · t (1 − d · t)
A continuaci´on, se muestra la soluci´on del ejercicio tanto, utilizando un descuento comercial (parte izquierda) como usando un descuento real o justo (parte derecha). En ambos casos, los datos que se tienen son:
C = 166500 d = i = 0. 3 t =
Descuento comercial
Primero, se calcula el valor del descuento, para es- to se tiene que:
D = C · d · t (1 − d · t)
D =
D = 18500
De esta manera:
M = C + D M = 166500 + 18500 M = 185000
Por lo tanto, el valor del documento en la fecha de su vencimiento ser´a de $185000.
Descuento real o justo En este caso, se utiliza la f´ormula del monto a in- ter´es simple (el inter´es real), obteniendo:
M = C · (1 + i · t)
M = 166500 ·
M = 183150
De esta manera:
M = C + D D = M − C D = 183150 − 166500 D = 16650
Por lo tanto, el valor del documento en la fecha de su vencimiento ser´a de $183150.
Finalmente, se observa que el descuento real o justo es inferior al descuento comercial.
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5.4) Salom´e tiene 2 deudas: i. Le debe $8000000 a un banco que cobra un inter´es del 1.5 % mensual. ii. Compr´o a cr´edito un autom´ovil; pag´o inicialmente determinado dinero y le qued´o un saldo de $32500000 que comenzar´a a pagar dentro de 8 meses; mientras tanto, debe pagar 12 % de inter´es simple anual durante ese lapso. ¿Cu´anto pagar´a en los pr´oximos seis meses por concepto de intereses? 5.5) Una persona adquiere un pr´estamo de $1500000 a 60 d´ıas, con 15 % de inter´es simple anual. Encuentre: i. el inter´es simple real. ii. el inter´es simple aproximado. 5.6) ¿En cu´anto tiempo se acumulan $480000, si se depositan el d´ıa de hoy $300000 en un fondo que paga un inter´es del 1.2 % simple mensual? 5.7) ¿A qu´e tasa de inter´es simple se duplica un capital en 20 meses? 5.8) El 11 de julio se firm´o un pagar´e por $1700000 con un inter´es del 18 % anual. ¿En qu´e fecha los intereses llegar´an a $150000?.Dar la respuesta en tiempo real y aproximado. 5.9) Sea un documento con un valor nominal de $3850000 que vence dentro de 5 meses. Si se descuenta o retira tres mes antes de su vencimiento con un tipo de descuento del 18 % anual, ¿Cu´al es el descuento comercial de un documento? ¿cu´al es el descuento real del documento?
- BIBLIOGRAF´IA:
D´ıaz Mata A. y Aguilera G´omez V. (2008) Matem´aticas financieras (cuarta edici´on) M´exico: Mc Graw Hill Bacca Currea G. Ingenier´ıa Econ´omica (octava edici´on) Bogot´a: Fondo Educativo Panamericano
