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La teoría básica de aplicaciones lineales, incluyendo definiciones, ejemplos, demostraciones y propiedades de núcleo, imagen y rango. Además, se abordan conceptos relacionados como matriz asociada, isomorfismo y cambio de base.
Tipo: Apuntes
1 / 20
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1
Matemáticas I para la Empresa
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2
Aplicaciones lineales
1. Def, núcleo, imagen y rango - Sea denomina aplicación lineal, función lineal, u
homomorfismo entre espacios vectoriales, a toda
aplicación cuyo dominio y recorrido sean
espacios vectoriales.
3
1.1 Definición
1. Def, núcleo, imagen y rango - Proposición. - Sean E y F dos espacios vectoriales - f una función de E en F - Es aplicación lineal si para todo par de vectores
4
1.1 Definición
Aplicaciones lineales
1. Def, núcleo, imagen y rango
7
1.2 Propiedades
vectorial final: (0 ) 0 E F
f =
r r
de dicho vector: f ( − x ) = − f ( x ),∀ x ∈ E
r r r
vectores imágenes con los mismos coeficientes:
1 1 2 2 1 1 2 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( ) n n n n
f λ x + λ x + + λ x = λ f x + λ f x + +λ f x
r r r r r r
Ejemplo
anterior
1. Def, núcleo, imagen y rango
8
1.2 Propiedades
Aplicaciones lineales
1 2
, ,..., n
x x x
r r r
del espacio vectorial E , son linealmente
1 2
( ), ( ),..., ( ) n
f x f x f x
r r r
también son
linealmente dependientes.
1 2
, ,..., n
x x x
r r r
del espacio vectorial E , son linealmente
1 2
( ), ( ),..., ( ) n
f x f x f x
r r r
pueden ser
linealmente dependientes o independientes.
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
9
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
n
n
m m m mn m V B
a a a
a a a
a a a
1 1 2 2 1 1 2 2
n n m m
r r r r r r r r r
f : E → F
{ 1 2 }
, ,..., n
B = b b b
r r r
1 2
, ,..., m
V = v v v
r r r
dim( E ) = n dim( F )= m
* La matriz A permite calcular coordenadas de f(x) en base V a partir de
las coordenadas de x en base B
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
Aplicaciones lineales
Ejemplo
y = f ( , x y z , ) = ( x + 2 y − z y , + z x , + y −2 ) z
r
1. Def, núcleo, imagen y rango
13
1.3 Núcleo de una aplicación lineal
Ejemplo
y = f ( , x y z , ) = ( x + 2 y − z y , + z x , + y − 2 ) z ⇒
r
Encuentre una base del núcleo de f
Paso 1. Obtenemos la matriz
asociada a la aplicación lineal
Paso 2. Aplicamos
la definición
1. Def, núcleo, imagen y rango
14
1.3 Núcleo de una aplicación lineal
Aplicaciones lineales
1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0
z λ ; y λ ; x 3 λ
−^ −^ −
→ →
− − −
→ = = − =
1. Def, núcleo, imagen y rango
15
1.4 Imagen de una aplicación lineal
Im( f ) = (^) { y ∈ F / ∃ ∈ x E / f ( ) x = y }
r r r r
Proposición: La imagen de una aplicación lineal f , f : E → F , Im( f ),es un
subespacio vectorial del espacio vectorial F.
1. Def, núcleo, imagen y rango 1.5 Rango de una aplicación lineal
Aplicaciones lineales
Se denomina rango de una aplicación lineal f a la dimensión del subespacio imagen,
y se representa por:
Sobreyectiva o epimorfismo : Si todo elemento del conjunto final F es imagen, por f , de
al menos de un elemento del conjunto inicial E.
1. Def, núcleo, imagen y rango
19
1.7 Clasificación de aplicaciones lineales
f : E → F
1. Def, núcleo, imagen y rango
20
1.7 Clasificación de aplicaciones lineales
Aplicaciones lineales
f : E → F
Inyectiva o monomorfismo : Si dos elementos distintos del conjunto inicial E tienen
dos imágenes distintas en el conjunto F.
1 2 1 2
1 2 1 2
Biyectiva o isomorfismo : Si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Es decir, en una
aplicación biyectiva cada elemento del conjunto final F es imagen de un elemento, y
sólo uno, del conjunto inicial E.
1. Def, núcleo, imagen y rango
21
1.7 Clasificación de aplicaciones lineales
f : E → F
1. Def, núcleo, imagen y rango
22
1.7 Clasificación de aplicaciones lineales
Aplicaciones lineales
dim( )
dim( )
E n
f E F
F m
Si ( ) dim( ( )) es suprayectiva
Si ( ) dim( ( )) 0 es inyectiva
Si ( ) es biyectiva
rg A m Im f m f
rg A n Ker f n n f
rg A m n f
25
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
Proposición: Sean E y F dos espacios vectoriales con dim( E ) = dim( F ). Sea
( m n , )
A ∈ M la matriz regular asociada a la aplicación lineal biyectiva f : E → F
respecto de las bases B y V. Entonces
1
A
−
es la matriz asociada a la aplicación lineal
inversa
1 f : F E
− → respecto de las bases V y B.
2.2. Matriz A
26
2.2. Matriz A
Aplicaciones lineales
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
Ejemplo
Calcúlese la aplicación lineal inversa
f :
→
27
2.2. Matriz A
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
( )
1
2 1
( , ) 2 ,
1 1
x
f x y x y x y
y
−
−
⇒ = = − −
−
28
2.3. Suma de aplicaciones
lineales
Aplicaciones lineales
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
2 3
2 0 0
0 1 1
A
×
⇒ =
2 3
1 0 1
0 1 0
B
×
−
⇒ =
3 0 1
( )( ) /
0 2 1
f g x Cx C A B
−
r r
f :
→
g :
→
31
2.4. Producto de un escalar
por una aplicación lineal
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
32
2.5. Composición de
aplicaciones lineales
Aplicaciones lineales
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
2 3
2 0 0
0 1 1
A
×
⇒ =
2 2
0 1
1 0
C
×
⇒ =
r r r
o
f :
→
f :
→
Ejemplo
33
2.5. Composición de
aplicaciones lineales
2. Matriz asociada a una aplicación lineal
34
3.1. Matriz de paso de bases
Aplicaciones lineales
3. Cambio de base
{ 1 2 }
, ,..., n
B = b b b
r r r
{ } 1 2
n
V = v v v
r r r
f : E → F x ∈ E
r
1 2
( , ,..., ) V n
x = α α α
r
1 2
B n
r
B V
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
n
n
n (^) B n n nn n V
p p p
p p p
p p p
β α
β α
β α
L
L
M M M O M M
L
permite pasar de V a B mientras que permite pasar de B a V
1
P
−
37
3.2. Cambio de base en una aplicación lineal
3. Cambio de base
1
−
38
3.2. Cambio de base en una aplicación lineal
Aplicaciones lineales
3. Cambio de base
c
c
→
→
1
−
1
− ' '
1 1 1
1 1 0
1 0 0
x B PxB xB
= =
r r r
'
1 2
3 5
V V
y y
=
r r
1
1 2 5 2
3 5 3 1
Q Q
−
−
= ⇒ =
−
f : f^^ ( , x y z^ ,^ )^^ =^ (3^ x^ −^2 y^ −^ 4 , z x^^ −^5 y^ +3 ) z
→
39
3.2. Cambio de base en una aplicación lineal
3. Cambio de base
1
−
