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Capítulo 1
La integral inde nida
1.1. Funciones primitivas e integral inde nida
De nición 1.1.1. Sea f (x) una función continua en [a, b]. Una función F (x) es una primitiva de f (x) si F ′(x) = f (x) ∀ x ∈ [a, b].
Ejemplo 1.1.2. 1) F (x) = x^2 es una primitiva de f (x) = 2x.
- G(x) = sen(x) es una primitiva de g(x) = cos(x).
Ejercicio 1.1.3. 1) ¾Es F (x) = 4x + 2x^2 una primitiva de f (x) = 4(1 + x)?.
Encontrar una primitiva de f (x) = 4x + 5
¾Son primitivas de f (x) = 3x^2 + sen(x) las siguientes funciones?
a) F (x) = x^3 − cos(x) + 3. b) G(x) = x^3 − cos(x) + 5.
No todas las funciones poseen función primitiva ya que, dada una función, puede no existir otra que la tenga por derivada. Sin embargo, caso de existir una primitiva, ésta no será única; de hecho, si una función tiene primitiva, tendrá in nitas:
Proposición 1.1.4. Si F (x) es primitiva de f (x) entonces G(x) = F (x)+C, con C constante, también es primitiva de f (x).
Demostración. Veamos que si F ′(x) = f (x) entonces G′(x) = f (x). Si G(x) = F (x) + C entonces G′(x) = [F (x) + C]′^ = F ′(x) + [C]′^ = f (x) + 0 = f (x).
El recíproco también es cierto:
2 CAPÍTULO 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA
Teorema 1.1.5. Si F (x) y G(x) son dos funciones primitivas de una misma función f (x) entonces F (x) − G(x) = C siendo C constante.
De nición 1.1.6. Si F (x) es una primitiva de f (x), al conjunto de todas las primitivas de f (x), F (x) + C (C constante), se le llama integral inde- nida de f (x) y se representa como
f (x)dx = F (x) + C, integral de f (x) diferencial de x. Aquí, la función f (x) se llama integrando.
Nota 1.1.7. Es importante comprender que el concepto de integral inde - nida se re ere a un conjunto de funciones. Como tal, habrá que expresarlo mediante una función primitiva más una constante genérica C.
Ejemplo 1.1.8. 1)
2 xdx = x^2 + C.
cos xdx = sen x + C.
Propiedades: [ ∫ f (x)dx
]′
= f (x). (1.1) ∫ (f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx. (1.2)
k · f (x)dx = k ·
f (x)dx para toda constante k ∈ R. (1.3)
Esta última propiedad se puede expresar también del siguiente modo (que es como será utilizada habitualmente): ∫ f (x)dx =
k
k · f (x)dx para toda constante k ∈ R.
Ejemplo 1.1.9.
(2 − ex)dx =
2 dx −
exdx = 2
dx −
exdx = 2x − ex^ + C.
1.2. Primitivas inmediatas de funciones elemen-
tales
Como podemos observar en (1.1), se puede considerar la integral inde - nida como una operación inversa a la del cálculo de la función derivada (o la diferencial). Para calcular la función derivada no utilizamos directamente la de nición sino que partimos habitualmente de las derivadas, ya conocidas, de
4 CAPÍTULO 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA
1.3.1. Cambio de variable
Se trata de transformar el integrando, mediante la sustitución de la va- riable, en una expresión que se pueda integrar de forma inmediata. Dada
f (x)dx, si x = u(t) donde u(t) es cualquier función con derivada continua, no nula y que admite inversa t = u(x) entonces: ∫ f (x)dx =
f (u(t)) · u′(t)dt (1.4)
Si sabemos calcular
f (u(t)) · u′(t)dt = F (t) + C entonces, deshaciendo el cambio,
f (x)dx = F (v(x)) + C.
Ejemplo 1.3.1. 1)
∫ (^) dx 9+x^2 dx. Hacemos el cambio^ x^ = 3t. Calculando las diferenciales a ambos lados de la igualdad tenemos que dx = 3 dt. Sustituyendo,
∫ (^) dx 9+x^2 dx^ =^
∫ (^3) dt 9+(3t)^2 =^
1 3
∫ (^) dt 1+t^2 =^
1 3 arctg(t) +^ C^ = 1 3 arctg(
x 3 ) +^ C.
∫ (^) x+ 1+(x^2 +4x)^2 dx. Hacemos el cambio^ t^ =^ x
(^2) + 4x. Calculando las dife- renciales a ambos lados de la igualdad tenemos que dt = (2x + 4)dx. Sustituyendo,
∫ (^) x+ 1+(x^2 +4x)^2 dx^ =∈^
dt 2 1+t^2 =^
1 2
∫ (^) dt 1+t^2 =^
1 2 arctg(t) +^ C^ = 1 2 arctg(x
(^2) + 4x) + C.
∫ (^) dx √ 2 −x. Hacemos el cambio t^2 = 2 − x. Calculando las diferenciales a ambos lados de la igualdad tenemos que∫ 2 tdt = −dx. Sustituyendo, √dx 2 −x =^
∫ (^) − 2 tdt t =^
− 2 tdt = − 2 t + C = − 2
2 − x + C. Nótese que en 1) hacemos el cambio tal y como se indica en la introducción teórica x = u(t) donde u(t) = 3t. En 2) estamos usando el cambio de variable al revés, intercambiando los papeles de las variables x y t: hacemos un cambio t = u(x) y sustituimos
f (u(x)) · u′(x)dx =
f (t)dt. En 3) estamos sutituyendo una función de x por una función de t. Pode- mos pensar que hacemos dos cambios en uno t^2 = y = 2 − x. El procedimiento práctico es el mismo en todos los casos. Hacemos el cambio u 1 (x) = u 2 (t) y u′ 1 (x)dx = u′ 2 (t)dt. A través de estas dos igualdades convertimos la integral respecto a la variable x en una integral respecto a la variable t (½nótese que, una vez hecho el cambio, ya no aparece la variable x en la integral!).
Ejercicio 1.3.2. a)
∫ (^) dx ∫ x^2 √^1 −x^2. Haciendo^ x^ =^ sen(t)^ (dx^ =^ cos(t)dt), dx x^2 √ 1 −x^2 =^ −cotg(arcsen(x)) +^ C.
b)
∫ (^3) x 2 2 x^3 +9 dx. Haciendo^ t^ = 2x
(^3) + 9 (dt = 6x (^2) dx), ∫^3 x^2 2 x^3 +9 dx^ =^
1 2 ln(2x
9) + C.
1.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 5
1.3.2. Integración por partes
Sean u = f (x), v = g(x) dos funciones derivables. Consideramos el producto u · v = f (x) · g(x). Diferenciando, d(u · v) = d(f (x) · g(x)) = (f (x)g′(x) + f ′(x)g(x))dx. Simbólicamente: d(u · v) = udv + vdu. Integrando ambos miembros tenemos que ∫ d(u · v) =
udv +
vdu
de donde ∫ udv = u · v −
vdu. (1.5)
En la práctica, tenemos que separar el integrando en forma de producto de dos funciones, una va a ser u y la otra va a ser dv. A partir de éstas, calculamos du (diferenciando u) y v (integrando dv). No hay una regla concreta sobre cómo escoger las funciones u y dv. Dado que siempre es más sencillo derivar que integrar, primero escogeremos dv y luego u. Típicamente, tomaremos como dv, en este orden, una exponencial, un seno o un coseno, un polinomio... Tomaremos como u, en este orden, cualquier logaritmo, un polinomio, un seno o coseno...
Ejemplo 1.3.3. 1)
x sen(x)dx. Tomamos u = x, dv = sen(x)dx. De aquí, du = dx, v =
sen(x)dx = − cos(x). Aplicando la fórmula de la integración por partes, (1.5), tenemos que
∫ x^ sen(x)dx^ =^ −x^ cos(x)^ − (− cos(x))dx = −x cos(x) + sen(x) + C.
xexdx. Tomamos u = x, dv = exdx. De aquí, du = dx, v =
exdx = ex. Aplicando la fórmula de la integración por partes, (1.5), tenemos que
xexdx = xex^ −
exdx = (x − 1)ex^ + C.
Ejercicio 1.3.4. 1)
xn^ ln(x)dx. Tomamos u = ln(x), dv = xndx. Re- solviendo,
xn^ ln(x)dx = x
n+ n+
ln(x) − (^) n+1^1
√arcsen(x)dx. Tomamos^ u^ =^ arcsen(x),^ dv^ =^ dx. Resolviendo,^ xarcsen(x)+ 1 − x^2 + C.
Al resolver una integral por partes a veces ocurre que aplicando el método una vez no se resuelve pero al aplicar el método una segunda vez vuelve a aparecer la integral de partida. Obtenemos así una expresión del tipo: ∫ f (x)dx = G(x) −
f (x)dx
1.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 7
B) Si grado(Q(x)) > grado(P (x)). Este caso tiene diferentes tratamientos según el tipo de descomposción del denominador.
I) Fracciones simples (raíces reales simples). Si Q(x) = (x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − xn) con xi 6 = xj ∀ i 6 = j. En este caso se descompone la fracción:
P (x) Q(x)
A 1
x − x 1
A 2
x − x 2
An x − xn
y calculamos las constantes (únicas) A 1 , A 2 ,... , An que satisfacen la igualdad. Las constantes A 1 , A 2 ,... , An se obtienen sumando las fracciones a la derecha de la igualdad e igualando nume- radores: P (x) = A 1 (x − x 2 ) · · · ((x − xn)) + A 2 (x − x 1 )(x − x 3 ) · · · (x − xn) + · · · + An(x − x 1 ) · · · (x − xn− 1 ). Podemos resolver el sistema o, usando un atajo, resolver las ecua- ciones que se obtienen dando a la x los valores x 1 , x 2 ,... , xn. Una vez determinadas las constantes A 1 , A 2 ,... , An resolver: ∫ P (x) Q(x)
dx =
A 1
x − x 1
dx +
A 2
x − x 2
dx + · · · +
An x − xn
dx =
= A 1 ln |x − x 1 | + A 2 ln |x − x 2 | + · · · + An ln |x − xn| + C. Ejemplo 1.3.6.
∫ (^5) x− 2 2 x^2 − 3 x− 5 dx. Si descomponemos el denomina- dor, se obtiene que 2 x^2 − 3 x − 5 = 2(x + 1)(x − 52 ). Eliminamos la constante del denominador para que se ajuste al modelo.
∫ (^5) x− 2 2 x^2 − 3 x− 5 dx^ =^
1 2
∫ (^5) x− 2 (x+1)(x− 52 ) dx. Descomponemos la fracción (^) (x+1)(^5 x−x^2 − 5 2 )^
= (^) xA+1^1 + (^) xA−^2 2
A 1 (x− 52 )+A 2 (x+1) (x+1)(x− 52 ). Igualando los numeradores, tenemos que: 5 x − 2 = A 1 (x − 52 ) + A 2 (x + 1). Calculamos las constantes A 1 , A 2 dando valores a la x: ◦ Si x = 52 entonces 252 − 2 = 72 A 2 , de donde A 2 = 3. ◦ Si x = − 1 entonces −7 = − 27 A 1 , de donde A 1 = 2. Por tanto,
∫ (^5) x− 2 2 x^2 − 3 x− 5 dx^ =^
1 2
∫ (^5) x− 2 (x+1)(x− 52 ) dx^ =^
1 2
( (^) x+1^2 + (^) x−^3 2
)dx = ∫ (^) dx x+1 +^
3 2
∫ (^) dx x− 52 = ln^ |x^ + 1|^ +^
3 2 ln^ |x^ −^
5 2 |^ +^ C.
8 CAPÍTULO 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA
II) Una raíz múltiple, es decir, si Q(x) = (x − a)n. En este caso hacemos la descomposición
P (x) (x − a)n^
A 1
x − a
A 2
(x − a)^2
An (x − a)n
Calculamos A 1 , A 2 ,... An y resolvemos:
P (x) (x − a)n^
dx =
A 1
x − a
dx+
A 2
(x − a)^2
dx+· · ·+
An (x − a)n^
dx =
= A 1 ln |x − a| −
A 2
x − a
A 3
(x − a)^2
An n − 1
(x − a)n−^1
Ejemplo 1.3.7. Calculamos
∫ (^2) x+ (x−1)^2 dx. Hacemos la descomposi- ción: 2 x+ (x−1)^2 =^
A 1 x− 1 +^
A 2 (x−1)^2 , de donde,^
2 x+ (x−1)^2 =^
A 1 (x−1)+A 2 (x−1)^2. Igualando los numeradores tenemos que 2 x + 1 = A 1 (x − 1) + A 2. Podemos resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas o dando valores a la x. Damos el valor x = 1 y, como ya no hay más valores que anulen factores en la expresión A 1 (x − 1) + A 2 tomamos otro valor cualquiera, por ejemplo x = 0. ◦ Si x = 1 entonces A 2 = 3. ◦ Si x = 0 (y como A 2 = 3) entonces 1 = −A 1 + 3, de donde A 1 = 2. Por tanto,
∫ (^2) x+ (x−1)^2 dx^ =^
x− 1 dx^ +^
(x−1)^2 dx^ = 2 ln^ |x^ −^1 | −^
3 x− 1 + C.
III) Si el denominador tiene raíces simples y múltiples, es decir, si Q(x) = (x − a 1 ) · · · (x − an)(x − b 1 )p^ · · · (x − bm)q. Entonces la descomposición proviene de la combinación de los dos casos anteriores:
P (x) Q(x)
A 1
x − a 1
An x − an
B 11
x − b 1
B 1 p (x − b 1 )p^
Bm 1 x − bm
Bmq (x − bm)q
Ejercicio 1.3.8.
∫ (^) x (^3) +x+ (x−2)(x+1)^2 dx.
10 CAPÍTULO 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA
Caso 3) Si H(sen(x), cos(x)) es par en el seno y en el coseno, esto es, si H(± sen(x), ± cos(x)) = H(sen(x), cos(x)). En este caso hacemos el cambio tg(x) = t, de donde:
sen(x) = √1+tt 2
cos(x) = √1+^1 t 2
dx = (^) 1+dtt 2
Ejemplo 1.3.11.
∫ (^) sen (^2) (x) cos^4 (x) dx. Realizando el cambio anterior,
∫ sen^2 (x) cos^4 (x)
dx =
∫ (^) t^2 1+t^2 1 (1+t^2 )^2
dt 1 + t^2
t^2 dt =
t^3 3
+ C =
tg^3 (x) 3
+ C.
Caso 4) Integrales de la forma
senn(x)dx ó
cosn(x)dx con n ∈ N.
- Si n es par, en la expresión de f (x) sustituímos sen^2 (x) = 1 −cos(2 2 x), cos^2 (x) = 1+cos(2 2 x).
- Si n es impar, en la expresión de f (x) sustituímos sen^2 (x) = 1 − cos^2 (x), cos^2 (x) = 1 − cos^2 (x).
Ejemplo 1.3.12.
sen^3 (x)dx =
sen(x)(1 − cos^2 (x))dx =
sen(x)dx− ∫ sen(x) cos^2 (x)dx = − cos(x) + cos
(^3) (x) 3 +^ C.
1.3.5. Integración de funciones irracionales
- Integrales de la forma
H
[
x,
ax+b cx+d
)p q 2 (^2) ,
ax+b cx+d
)p q 2 (^2) , ...
]
dx.
Nótese que se trata de funciones que dependen de la varible x y de una única fracción con expresiones lineales de x eleva- da a distintos exponentes. Esta fracción axcx++db puede adoptar diferentes formas según qué parámetros se anulen. En parti- cular, si c = 0 y d = 1, el denominador desaparece, lo cual puede hacer más difícil reconocer este tipo de integral.
Se resuelven haciendo el cambio axcx++db = tn, con n = mcm(q 1 , q 2 , ...).
1.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 11
Ejemplo 1.3.13. 1)
∫ √ (^3) x+1+ √ x+1 dx. Aquí,^ a^ = 1,^ b^ = 1,^ c^ = 0^ y^ d^ = 1. Como q 1 = 3 y q 2 = 2, hacemos el cambio x + 1 = t^6 , de donde dx = 6t^5 dt. Así,
∫ √ (^3) x+1+ √ x+1 dx^ =^
∫ (^) t (^2) + t^3 6 t
(^5) dt = 6 ∫^ (t (^4) + 2t (^2) )dt = 6 t^5 5 +4t
3 +C =
6(x+1) 56 5 + 4
x + 1 + C.
∫ (^) dx √x− √ (^4) x. Hacemos el cambio x = t^4 , dx = 4t^3.
Así
∫ (^) dx √x− √ (^4) x =
∫ (^4) t 3 t^2 −t dt^ = 4(
t^2 2 +^ t^ −^ ln^ |t^ −^1 |) +^ C^ = 4(
√x 2 +^
√ (^4) x −
ln | 4
x − 1 |) + C.
∫ (^) x √ 2 x+3 dx. Hacemos el cambio^2 x^ + 3 =^ t
(^2) ⇒ x = t^2 −^3 2 ,^2 dx^ = 2 tdt ⇒ dx = tdt. Así,
∫ (^) x √ 2 x+3 dx =
∫ t^22 −^3 t tdt^ =^
1 2
(t^2 − 3)dt = 12 (t 3 3 −^3 t) +^ C^ = 1 6 (2x^ + 3)
3 (^2) − (^32)
2 x + 3 + C. 4
∫ √ (^) x x+
1 (x+1)^2 dx. Hacemos el cambio^
x x+1 =^ t
(x+1)^2 dx^ = 2tdt. Así,
∫ √ (^) x x+
1 (x+1)^2 dx^ =^
t · 2 tdt = 2 t
3 3 +^ C^ =^
2 3
x x+
+ C.
- Un único factor irracional de la forma:
a − bx^2. Hacemos el cambio: bx^2 = a sen^2 (t), dx =
√a b cos^ tdt.
Ejemplo 1.3.14.
3 − x^2 xdx. El cambio es x^2 = 3 sen^2 t, dx =
3 cos(t)dt. Así,
3 − x^2 · xdx =
3 − 3 sen^2 t ·
3 sen t
3 cos tdt =
1 − sen^2 t · 3 sen t cos tdt = 3
sen t cos^2 tdt =
√ 3 cos^3 t+C^ = 3(1 − x 2 3 )
(^32)
Capítulo 2
Integral de nida
2.1. Introducción
Veremos ahora la primera aplicación de la integral que es calcular el área del recinto delimitado por la función y el eje OX en un intervalo [a, b]. No incluiremos aquí detalles ni guras de la construcción que permite de - nir la integral de Riemann. Intentaremos exponer la idea en clase y dejeremos a la iniciativa del alumno la posibilidad de consultar cualquier referencia o página web donde se ilustran adecuadamente los conceptos de partición de un intervalo, suma inferior de Riemann y la suma superior de Riemann. Nos limitaremos, por completitud, a incluir las de niciones formales. Dado un intervalo cerrado [a, b] se llama partición del intervalo a cualquier sucesión nita P = {x 0 , x 1 , ..., xn} tal que a = x 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ xn = b. Sea f (x) una función de nida en un intervalo cerrado [a, b] y acotada en él y sea P = {x 0 , x 1 , ..., xn} una partición de [a, b].
- Se llama suma inferior de Riemann al número real s =
∑n i=1 mi(xi^ − xi− 1 ) donde mi es el ín mo de f (x) en [xi− 1 , xi].
- Se llama suma superior de Riemann al número real S =
∑n i=1 Mi(xi^ − xi− 1 ) donde Mi es el supermo de f (x) en [xi− 1 , xi].
En particular, si f (x) es continua,
1') Se llama suma inferior de Riemann al número real s =
∑n i=1 mi(xi^ − xi− 1 ) donde mi es el mínimo de f (x) en [xi− 1 , xi].
2') Se llama suma superior de Riemann al número real S =
∑n i=1 Mi(xi^ − xi− 1 ) donde Mi es el máximo de f (x) en [xi− 1 , xi].
14 CAPÍTULO 2. INTEGRAL DEFINIDA
2.2. Integral de Riemann
La integral inferior de Riemann es el supremo de las sumas inferiores de f (x) en [a, b] y se denota
∫ (^) b a f (x)dx. La integral superior de Riemann es el ín mo de las sumas inferiores de
f (x) en [a, b] y se denota
∫ (^) b af^ (x)dx.
De nición 2.2.1. Una función f de nida en [a, b] se dice que es integrable Riemann en [a, b] cuando
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) b
a
f (x)dx.
Se representa por (^) ∫ b
a
f (x)dx
y se lee integral de nida de f (x) diferencial de x entre a y b.
Propiedades:
- Si f es integrable Riemann en [a, b] y a ≤ c ≤ b entonces f es integrable Riemann en [a, c] y [c, b] y se veri ca que: ∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) c
a
f (x)dx +
∫ (^) b
c
f (x)dx.
∫ (^) a a f^ (x)dx^ = 0.
∫ (^) b a f^ (x)dx^ =^ −^
∫ (^) a b f^ (x)dx.
- Si f, g son funciones integrables Riemann en [a, b] entonces, f + g tam- bién lo es y ∫ (^) b
a
(f (x) + g(x))dx =
∫ (^) b
a
f (x)dx +
∫ (^) b
a
g(x)dx.
- Si f es integrable Riemann en [a, b] y k ∈ R, entonces k · f también lo es y (^) ∫ b
a
k · f (x)dx = k ·
∫ (^) b
a
f (x)dx.
- Si ∫ f es integrable Riemann en [a, b] y f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces b a f^ (x)dx^ ≥^0.
16 CAPÍTULO 2. INTEGRAL DEFINIDA
Demostración. Aplicamos la de nición de derivada.
F ′(t) = l´ımh→ 0 F^ (t+h h)− F^ (t)= l´ımh→ 0
∫ (^) t+h a f^ (x)dx−
∫ (^) t a f^ (x)dx h = = l´ımh→ 0
∫ (^) t a f^ (x)dx+
∫ (^) t+h t f^ (x)dx−
∫ (^) t a f^ (x)dx h = l´ımh→^0
∫ (^) t+h t f^ (x)dx h. Por el teorema de la media,
∫ (^) t+h t f^ (x)dx^ =^ f^ (r)(t^ +^ h^ −^ t) =^ f^ (r)h^ con
r ∈ [t, t + h]. Entonces, F ′(t) = l´ımh→ 0
∫ (^) t+h t f^ (x)dx h =^
f (r)·h h = l´ımh→^0 f^ (r) = f (t). Así, F ′(t) = f (t), es decir, la función integral de nida asociada a f (x) es una primitiva de f (x).
Regla de Barrow: Permite conocer el valor de una integral de nida si se conoce una primitiva del integrando.
Proposición 2.3.5 (Regla de Barrow). Si f (x) es una función continua en [a, b] y F (x) es una primitiva en [a, b] de f (x), se veri ca que:
∫ (^) b
a
f (x)dx = F (b) − F (a).
Demostración. Si G(t) es una primitiva de f (t), entonces
∫ (^) t a f^ (x)dx^ =^ G(t)+ C con C constante. Tomando x = 0,
∫ (^) a a f^ (x)dx^ = 0 =^ G(a) +^ C, luego C = −G(a). Por tanto,
∫ (^) t a f^ (x)dx^ =^ G(t)^ −^ G(a). Haciendo^ x^ =^ b^ tenemos que
∫ (^) b a f^ (x)dx^ =^ G(b)^ −^ G(a).
Así, para resolver una integral de nida primero resolvemos la integral inde nida. Después, tomando una primitiva cualquiera F (x), la evaluamos
en los extremos del intervalo y calculamos el número resultante
[
F (x)
]b a
F (b) − F (a).
Ejemplo 2.3.6. 1)
0 x
(^2) dx =
[
x^3 3
] 5
0
3 3 −^
03 3 =^
625
∫ π 2 0 sen^ xdx^ =
[
− cos(x)
]π 2
0
= − cos(π 2 ) + cos(0) = 1.
0 e
x (^2) dx =
[
e
x 2
] 4
0
= e^2 − 1.
- Hallar el valor medio de f (x) = x^2 en el intervalo [0, 2]. El valor medio se calcula mediante la expresión vista en el teorema de la media, 2.3.3.
μ =
0
x^2 dx =
[x 3 3
] 2
0
2.4. CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL DEFINIDA 17
2.4. Cambio de variable en la integral de nida
Si tenemos una integral defnida
∫ (^) b a f^ (x)dx^ y, para calcular una primitiva de f (x), hacemos un cambio de variable x = u(t) donde existen α, β ∈ R tales que a = u(α), b = u(β), u y u′^ son continuas en el intervalo [α, β] y f [u(t)] está de nida y es continua en [α, β] entonces:
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) β
α
f [g(t)]g′(t)dt
Ejemplo 2.4.1. I =
0
1 − x^2 dx. Hacemos x = sen t, dx = cos tdt. Obte- nemos que:
I =
∫ (^) β
α
1 − sen^2 t cos tdt =
∫ (^) β
α
cos^2 tdt =
∫ (^) β
α
1 + cos(2t) 2
dt =
[ (^) t 2
sen(2t) 4
]β
α
Para calcular α, β debemos obtener los valores entre los que se mueve la variable t sabiendo que la variable x = sen(t) se mueve entre los valores 0 y
Así, si 0 = x = sen t entonces t = 0 y si 1 = x = sen t entonces t = π 2. Por tanto,
I = [ t 2 + sen(2 4 t)]
π 2 0 =^
π 4 +^
sen π 4 −^0 −^
sen 0 4 =^
π
(Obtendríamos el mismo resultado si deshacemos el cambio antes de sus-
tituir los extremos en la integral de nida. Así, I = [arcsen 2 (x)+ sen(2arcsenx 4 )]^10 = arcsen(1) 2 +^
sen(2arcsen1) 4 −^
arcsen(0) 2 −^
sen(2arcsen0) 4 =^
π 4 ).
Ejemplo 2.4.2. 1)
0 √^ dx 2 −x. Hacemos el cambio^2 −^ x^ =^ t
(^2) , dx = − 2 tdt. Calculamos los nuevos límites de integración: si x = 0, a^2 = 2 − 0 luego a =
2 y si x = 1, b^2 = 2 − 1 luego b = 1. Por tanto, ∫ (^1)
0
dx √ 2 − x
√ 2
− 2 t t
dt = [− 2 t]^1 √ 2 = −2 + 2
0 xe
−x^2 dx. Hacemos el cambio x (^2) = t, 2 xdx = dt. Además, si x = 0 , t = 0 y si x = 1, t = 1. Por tanto,
0 xe
−x^2 dx = ∫^1 0
1 2 e
−tdt = [−^12 e−t]^10 = −^12 e−^1 + 12 = 12 (1 − e−t).
Ejercicio 2.4.3.
∫ π 4 0
sen x cos x dx.
2.6. CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 19
Ejemplo 2.6.1. 1) Calculamos el área determinada por el sector de la parábola f (x) = −x^2 + 4x − 3 que queda por encima del eje OX. Calculamos los puntos de corte con el eje OX resolviendo la igualdad f (x) = 0. En este caso, si −x^2 + 4x − 3 = 0 entonces x = 1 o x = 3. El área buscada será, por tanto,
1 (−x
(^2) + 4x − 3)dx =
[
− x
3 3 + 2x
3 x
] 3
1
x
y
f(x)=-x^2 +4x+
O (^1 )
Figura 2.2: La parábola corta al eje OX en x = 1 y x = 3.
- Calculamos el área delimitada por la función y = cos x y los ejes en el intervalo [0, π 2 ].
x
y
y=cos x
1
O π/
Figura 2.3: Área delimitada por la función y = cos x y los ejes.
A =
∫ π 2 0 cos^ xdx^ = [sen^ x]
π 2 0 = 1.
20 CAPÍTULO 2. INTEGRAL DEFINIDA
Ejercicio 2.6.2. Hallar, geométricamente y mediante el cálculo integral, el área del trapeio determinado por y = x + 1, x = 1, x = 5, y = 0.
B). Si f (X) cambia de signo un número nito de veces en el intervalo [a, b] entonces el área de los sectores en los que la función es negativa se obtiene, mediante la integral de nida, con signo menos. Supongamos que los puntos de corte de la función f (x) con el eje OX, es decir, las soluciones a la ecuación f (x) = 0 son x 1 , x 2 y que la función es la representada en la gura 2.4.
x
y
y=f(x)
a x 1 _ x 2 b
+ (^) + O
Figura 2.4: La función f (x) cambia de signo dos veces en el intervalo.
Por las propiedades de la integral de nida se obtiene que
A =
∫ (^) x 1
a
f (x)dx −
∫ (^) x 2
x 1
f (x)dx +
∫ (^) b
x 2
f (x)dx.
Ejemplo 2.6.3. 1) Calcular el área delimitada por la función y = sen x y el eje OX entre x = 0 y x = 2π. Si representamos la función observamos que sen x ≥ 0 ∀x ∈ [0, π] y sen x ≤ 0 ∀x ∈ [π, 2 π]. Por tanto, A =
∫ (^) π 0 sen^ xdx^ −^
∫ (^2) π π sen^ xdx^ = [−^ cos^ x]
π 0 −^ [−^ cos^ x] 2 π π = 4.
- Calcular el área determinada por la curva y = x^3 y el eje OX entre x = − 1 y x = 2. (Ver gura 2.5) A = −
− 1 x
(^3) dx + ∫^2 0 x
(^3) dx = −[x^4 4 ]
0 − 1 + [ x^4 4 ]
2 0 =^ 17
C) Si se desea calcular el área, A, delimitada por las curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a, b] con 0 ≤ g(x) ≤ f (x) ∀x ∈ [a, b], es inmediato
