EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I
HOJA 4
Ejercicio 1. Se consideran los vectores
u1= (1,−1,0,1), u2= (0,2,1,0), u3= (−1,1,1,1), u4= (2,2,1,0)
de R4. Expresa, si es posible, los vectores u= (1,1,−1,−3) yv= (1,2,0,0) como
combinación lineal de los ui. A la vista de los resultados que has obtenido, ¿son los
uisistema generador de R4? ¿Son linealmente independientes?
Ejercicio 2. Se consideran los vectores
u1= (2,0,1,1), u2= (0,−1,2,1), u3= (1,1,0,2)
de R4. ¿Pueden formar sistema generador de R4? Encuentra, si es posible, un valor
de αpara que el vector u= (3,0,0, α)sea combinación lineal de los ui. Encuentra,
si es posible, un valor de βpara que el vector v= (0,−β, β, 2) sea combinación
lineal de los ui.
Ejercicio 3. Dados los vectores
u1= (1,2,1), u2= (−1,0,2), u3= (0,2,1),
estudiar si son linealmente independientes. Si añadimos un vector más a la colección
anterior, ¿seguirán siendo linealmente independientes? ¿Y si quitamos un vector en
lugar de añadirlo?
Ejercicio 4. Determinar para qué valor de αson linealmente dependientes los
siguientes vectores:
u1= (0,1, α, 0), u2= (−1,0,1, α), u3= (1,0, α, 1), u4= (−1,1,0,1).
¿Para qué valores de αforman base de R4los vectores ui?
Ejercicio 5. Para cada una de los siguiente subespacios determina una base, su
dimensión, y unas ecuaciones implícitas:
1) H1:= L((2,1,0,2),(−1,2,0,1)),
2) H2:= L((0,1,−2,1),(−1,2,1,0),(−1,4,−3,2)),
3) H3:= L((2,1,0),(−1,2,1)).
Responde además las siguientes cuestiones.
i) ¿Pertenece el vector u= (1,−1,−3,1) aH1o a H2?
ii ) ¿Y el vector v= (0,1,2) aH3?
iii ) Calcula, si es posible, para qué valores de αpertence w= (α, 1,1) aH3.
iv ) Pon ejemplos de vectores que no pertenezcan a H1,H2yH3.
v) Pon ejemplos de vectores que sí pertenezcan a H1,H2yH3.
Ejercicio 6. Encuentra bases y ecuaciones implícitas de los siguientes subespacios.
1) H1=L((1,2,1)),
2) H2=L((−1,0,2,2),(1,1,0,1),(−1,2,6,8)),
3) H3=L((1,0),(0,1)),
4) H4=L((2,−1,2,1),(−1,0,2,1),(3,−2,6,3)).
Ejercicio 7. Dados unos vectores u1, u2, . . . , umde Rn, demuestra que puede es-
cribirse el vector 0como combinación lineal suya. Teniendo esto en cuenta, responde
a la siguiente pregunta: dada una colección de vectores de Rnentre los cuales está
el vector 0, ¿pueden ser linealmente independientes?
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