¡Descarga ejercicios matematicas y más Ejercicios en PDF de Biología solo en Docsity!
TEMA 3 – ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
1 x
x 1
2 x 1
2
b) x
4
- 26x
2
+ 25 = 0 c) 4.(5x + 1)
2
- 9 = 0 d) 2x
4
+ 9x
2
e x
4
4 x
2
3 0 f)
x
x
g)
3 x 2 x 4
h)
x
x 1
2 x
i) x
4
- 9x
2
= 0 j)
x 1 5 x
k) x 3
x
x
l) 3x
4
- 10x
2
m) 1
7 x 5
x 5
( 2 x 5 )( 3 x 1 )
2
n)
x x 2 2
ñ)
x
x 2
x 2
o) 5
2 x
x p) 2 x 6 x 1 3 q)
x 1
2 x
x 1
x
r) 1 2
x
3
s) x 4 x 1 3 t) x(4x + 1)(2x – 7)(x
2
- 4) = 0 u) x(9x
2
- 1)(2x + 3 ) = 0 v)
x 1 x 5
w)
2
2 x x 1 x 5 x 6 0 x) 7
x 2
5 x 1
x
y) x
4
3 x
2
4 0 z) 5 x 1 3 5 x
2 x 3
4 x
2 x 3
Solución:
a) Multiplicamos los dos miembros por 6:
2 2
3 2 x 1 2 x 1 1 x 6 x 3 2 x 2 1 x
2
x x x
1 2
Las soluciones son y.
x x
b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x
2
z :
2
z z z
2
2
Si 1 1 1
Si 25 25 5
z x x
z x x
Las soluciones de esta ecuación son x
1
1, x
2
1, x
3
5 y x
4
c) Sabemos que si a
2
b
2
, entonces, o bien a b o bien a b.
En este caso:
2
2 2 2
x x x
Así:
x x x x
x x x x
1 2
Las soluciones son y.
x x
d) 2x
4
2
2
2
z
2
2
Si no hay solución real.
Si 4 4 2
z x
z x x
Las soluciones pedidas son x
1
2 y x
2
e Hacemos el cambio: x
2
z x
4
z
2
Así obtenemos:
2
z z z
2
2
Si 3 3 3
Si 1 1 1
z x x
z x x
1 2 3 4
Por tanto, hay cuatro soluciones: x 3, x 3, x 1, x 1
f) x 4 5 x
4 x
5 x
2 x
2 x
x
x
x
2
2
2
x
x x x
x
g) 3 x 2 x 4 3 x 2 4 x. Elevamos al cuadrado y operamos:
2
2 2 2
3 x 2 4 x 9 x 2 16 8 x x 9 x 18 16 8 x x
2
x
x x x
x
6 x(x 1 )
5 x(x 1 )
6 x(x 1 )
6 (x 1 )
6 x(x 1 )
12 x
x
x 1
2 x
h )
2
2 2 2
12 x 6 x 6 5 x 5 x 7 x 11 x 6 0
x
x
x
i) x
4
2
= 0 x
2
(x
2
x 9 0 x 9 3
x 0 x 0
2
2
Hay tres soluciones: x 1
0, x 2
3, x 3
j) x 1 5 x x 1 x 5
Elevamos al cuadrado y operamos:
2
2
2 2
x 1 x 5 x 1 x 10 x 25 0 x 11 x 24
3 no válida
x
x
x
k)
x
3 x
x
x
x
x
x 3
x
x
2
2 2
1 3 x 3 x 0 x 3 x 2
x
x
x
p) 6 x 1 3 2 x Elevamos ambos miembros al cuadrado:
2 2 2
6 x 1 9 12 x 4 x 4 x 18 x 8 0 2 x 9 x 4 0
x
Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación:
2 1 1 4 1 2 3 es solución
x
8 24 1 8 25 8 5 13 x 4 no es solución
La única solución es.
x
q) Hacemos común denominador:
2 2 2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
Comprobamos las soluciones:
3 es solución.
es solución.
1 2
Las soluciones son 3 y.
x x
r) Multiplicamos ambos miembros por x
3
3 3
3
3 81 3x x 27 x 3
x
Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial:
1 3 1 2 3 es solución
x
s) x 4 3 x 1 Elevamos ambos miembros al cuadrado:
x 4 9 x 1 6 x 1 6 x 1 4 3 x 1 2
Volvemos a elevar al cuadrado:
x x x x
Comprobamos si es, o no, solución:
Ambos miembros coinciden, luego es la solución buscada.
x
t) Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así:
2
2
x
x x
x x x x
x x
x x
Las soluciones son 0, , , 2 y 2.
x x x x x
u) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que:
x 0
2 2
x x x
x x
1 2 3 4
Las soluciones son 0, , y.
x x x x
v) x 1 x 5 x 1 x 5 Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
x 1 x 5
2
x 1 x
2
10 x 25 x
2
11 x 24 0
x
Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación:
8 1 8 9 8 3 8 5 x 8 es solución.
3 1 3 4 3 2 3 1 x 3 no es solución.
w) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir:
x 0
x 1 0 x 1 x 1
2
x x x
Las soluciones son x 0, x 1, x 2 y x 3.
x) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por x x 2 :
x
x x x x x
x x
x 2 5 x
2
x 7 x
2
14 x 12 x
2
14 x 2 0 6 x
2
7 x 1 0
x
Comprobamos si son o no solución, sustituyendo en la ecuación inicial:
1 6 7 1 es solución.
x
1 2 6 : 6 1 7 es solución.
x
y) Haciendo x
2
z , obtenemos z
2
3 z 4 0
z
Así: z 4 x
2
4 x 2
z 1 x
2
1 no hay solución.
Las soluciones son: x 1
2, x
2
z) 5 x 1 3 5 x 5 x 1 3 5 x Elevamos al cuadrado ambos miembros:
Solución:
a Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema:
x y
x y x y
x x y x y
y
Despejamos y de la 1ª ecuación y de la 2ª, e igualamos:
x
y
x x
x x
x
y
x x x x y
La solución es: x 7, y 5
b) 6 1
x
y x y x y
x y x y
y x
Aplicamos el método de reducción en x multiplicando la segunda ecuación por 6:
x y
x y
y y y
Luego: 3 6y 3 6 3 4 1
x
La solución es: 1,
x y
c Despejamos x de la 2ª ecuación y sustituimos en la primera:
y x y x
y y y y
x y x y
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
2 y 1 2 4 y
2
2 y 1 4 16 y 16 y
2
16 y
2
14 y 3 0
y
Así:
y x
y x
Comprobamos si ambas soluciones son válidas sustituyendo en la 1ª ecuación:
2 1 2 0 2 2 2, es solución del sistema.
x y
, no es solución del sistema.
x y
d) Simplificamos cada una de las ecuaciones del sistema:
x y
x y x y
y y x x y
x
Aplicamos el método de reducción en y , multiplicando por 2 la 2ª ecuación:
x y
x y
x x x y
La solución del sistema es: , 1
x y
e Despejamos x de la 2ª ecuación y sustituimos en la primera:
2
xy y
y y y y y y
x y
2
3 y 10 y 3 0
y
Así:
y x
y x
Las soluciones del sistema son:
1 1
2 2
x y
x y
f) Método de sustitución Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
y x
x x
x x
Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 2:
x x x x
Se calcula el valor de y :
y y y
Comprobamos con la calculadora:
2 128 a
b/c
23 20 a
b/c
3 a
b/c
2 128 a
b/c
23 5 20 a
b/c
g) Comenzamos por simplificar el sistema:
x
x y x y
y
y x
y x y x
Utilizaremos el método de reducción en x , multiplicando la primera ecuación por 1:
x y
x y
y y
Calculamos el valor de x : x 7 2 y x 7 2 · 7 x 7 14 x 7
La solución que cumple el sistema es: x 7, y 7
Comprobamos dicha solución:
h) Utilizaremos el método de reducción en y ; para ello multiplicamos la 2ª ecuación por 3:
x y
x y
x x x
Calculamos y sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación:
y y y y
La solución buscada es: ,
x y
Comprobamos la solución:
l) Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para aplicar el método de reducción:
2 2
2 2
2 2
x y
x y
y y y
2 2
Como x 6 y 5
2
2
si 1 6 5 1 1
si 1 6 5 1 1
y x x
y x x
Las soluciones son:
1 1
2 2
3 3
4 4
x y
x y
x y
x y
m) Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:
2
2 2 4 2
2
y
x
x x x x
x x
2 4 2
Hacemos el cambio: x z x z
Así obtenemos:
2
z
z z z
z
2
2
Si 3 2
Si 9 9 9 3
Si 3 2
Si 2 3
Si 4 4 4 2
Si 2 3
x y
z x x
x y
x y
z x x
x y
n)
El sistema inicial es equivalente a
x y
x y
Aplicamos el método de igualación:
y x
x x x x
y x
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la última igualdad:
2 2
x 2 x 2 x 2 x 2 0
x x
x x x x
x x
Si 2 3
Si 1 2
x y
x y
Comprobamos las soluciones sobre el sistema:
x y
x y
1 1
2 2
Luego ambas soluciones son válidas: 2 3
x y
x y
ñ) Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:
2 2
y x
x x x x x x x x
y
x
y
Las soluciones son:
1 1
2 2
x y
x y
o) Empezamos simplificando la primera ecuación multiplicándola por xy ::
2 2
6 x 6 y 13 xy
Como xy 6:
2 2 2 2
6 x 6 y 13 6 x y 13
Por tanto, el sistema a resolver es:
2 2
x y
xy
Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera:
y
x
2 4 2
2
x 13 x 13 x 36 0
x
Ecuación bicuadrada:
2
x
x
x
Si 3 2
Si 2 3
x y
x y
Si 3 2
Si 2 3
x y
x y
Comprobemos si las dos primeras soluciones son, o no, válidas:
Análogamente se cumpliría para las otras dos. Luego, las soluciones son:
1 1
2 2
3 3
4 4
x y
x y
x y
x y
PROBLEMAS
EJERCICIO 4 : Un grupo de amigos alquilan un piso por 600 € al mes para vivir en él. Con el fin de ahorrar en los gastos del
piso, deciden que dos personas más compartan con ellos el piso; de esta manera pagarían 80 € menos. Calcula cuántas
personas van a vivir inicialmente en el piso y la cantidad que pagaría cada una por el alquiler.
Solución:
x nº de personas que alquilan el piso
y precio que paga cada una por el alquiler
El sistema a resolver será:
Aplicamos el método de sustitción:
y
x
x
y
x x x x
x
600 x 600 x 2 80 x x 2 600 x 600 x 1200 80 x
2
160 x
80 x
2
160 x 1 200 0 x
2
2 x 15 0
x
NO SIRVE
Luego el número de personas que alquilan el piso es 5, y cada una paga mensualmente
EJERCICIO 5 : Hace cinco años, la edad de un padre era seis veces superior a la del hijo; sin embargo, en la actualidad solo
es 5 años más que el triple de la edad del hijo. Calcula las edades actuales de ambos.
Solución:
EDAD DEL HACE 5 AÑOS HOY
PADRE 6 x 6 x 5
HIJO x x 5
En la actualidad: edad del padre 3 · edad hijo 5
6 x 5 3 x 5 5 6 x 5 3 x 15 5 3 x 15 x 5
La edad actual del padre es de 35 años, y la del hijo, 10 años.
2
2 2
x y x y
x x y
Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
y 7 x
2 2
2 2 2 2
x 2 x 7 x x 4 x 4 x 49 x 14 x
2 2
x 14 x 4 x 49 4 0 x 18 x 45 0
x
Calculamos el valor de y :
Si 3 7 3 4
Si 15 7 15 8 no sirve una longitud no puede ser negativa
x y
x y
Luego las dimensiones del rectángulo son 3 cm y 4 cm.
EJERCICIO 10 : Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cuál alquilan un autocar cuyo precio es de 540 €. Al
salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 € menos. Calcula el número de
estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno.
Solución:
x “nº de estudiantes que van a la excursión”
y “precio que paga cada estudiante”
El sistema a resolver será:
Aplicamos el método de sustitución:
y
x
y
x
2
x x x x x x x x
x x
2 2
3 x 18 x 3 240 0 x 6 x 1080 0
30 no sirve
x
El precio por alumno será:
y
Luego, van 36 estudiantes a la excursión y cada uno paga 15 €.
EJERCICIO 11 : Un bodeguero quiere mezclar vino de calidad superior cuyo precio es de 6 €/ l con otro más corriente de 2 €/ l****.
Dispone en total de 315 l****. Calcula el número de litros de cada clase para que la mezcla cueste 4,4 €/ l****.
Solución:
x litros del vino que cuesta 6 €/ l ,
y litros del vino que cuesta 2 €/ l ,
El sistema a resolver será:
x y x y x y
x y x y x y
x x
Luego, y 315 189 126. Ha de mezclar 189 l de vino bueno con 126 l del más corriente.
EJERCICIO 12 : Pablo tiene unos ingresos anuales de 24 000 €. Parte de ese dinero está en una cuenta en la que le dan el 4%
anual; el resto lo gasta. Calcula la cantidad de dinero gastado y ahorrado, sabiendo que al final del año recibe 360 € de
intereses.
Solución:
x “Dinero gastado”
y “Dinero ahorrado”
4 de 360 360 9 000
x y x y
x y
y
y y
Gasta 15 000 € y ahorra 9 000 €.
EJERCICIO 13 : Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que tiene 48 cm
2
de área y que su diagonal mide 10 cm.
Solución: Llamamos x a la base e y a la altura del rectángulo.
2 2 2
Por tanto, tenemos que:
x y
x y
Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
2
2 2 4 2 4 2
2
y
x
x x x x x x
x x
Hacemos el cambio: x
2
z x
4
z
2
Así obtenemos:
2
z z z
2
2
Si 64 64 64 8 8 6
Si 36 36 36 6 6 8
z x x x y
z x x x y
Observa que las soluciones negativas no son válidas, pues x representa una longitud.
El rectángulo es, por tanto, de 8 cm x 6 cm.
EJERCICIO 14 : Un rectángulo tiene 60 cm
2
de área. Su perímetro es de 34 cm. Halla sus dimesiones.
Solución: Llamamos x a la base del rectángulo e y a su altura.
Por tanto, tenemos que:
x y
x y x y
Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera:
2 2
y x
x x x x x x
x y
x
x y
El rectángulo es, por tanto, de 12 cm x 5 cm.
EJERCICIO 15 : El producto de dos números es 28 y la suma de sus cuadrados es 65. ¿De qué números se trata?
Solución: Llamamos x e y a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que:
2 2
x y
x y
Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
2
2 2 4 2
2
y
x
x x x x
x x
Hacemos el cambio: x
2
z x
4
z
2
Así obtenemos: z
2
65 z 784 0
z
z
z
2
2
Si 7 4
Si 49 49 49 7
Si 7 4
Si 4 7
Si 16 16 16 4
Si 4 7
x y
z x x
x y
x y
z x x
x y
i) Igualamos, por separado, numerador y denominador a cero:
Numerador: x + 2 = 0 x = - 2 (Lo pintamos)
Denominador: x
2
= 0 x = 0 (No lo pintamos)
Por tanto, la solución es , 2 .
j)
2 2
x 3 x 6 8 2 x x 5 x 14 0
2
Resolvemos la ecuación x 5 x 14 0:
x
La solución será: (-,-7) (2,+)
k) Resolvemos la ecuación x
2
3 x 4 0:
x
x
x
La solución de la inecuación es , 4 1,
l) Hallamos las raíces de x
2
3 x resolviendo la ecuación:
2
x
x x x x
x x
La solución de la inecuación es , 0 3, .
m) Hallamos las raíces de la ecuación:
x x
x x
x x
La solución de la inecuación es 1, 2.
n) Hallamos las raíces del numerador y del denominador:
x 1 0 x 1 (No se coge)
x 3 0 x 3 (No se coge)
La solución de la inecuación es (, 1 ) (3, ).
ñ) Hallamos las raíces de x x 4 resolviendo la ecuación:
x
x x
x x
La solución de la inecuación es 4, 0.
SISTEMAS INECUACIONES
EJERCICIO 18 : Halla el conjunto de soluciones de los sistemas de inecuaciones:
a)
3x 6 2
x
x
b)
x
x
c)
x
x
d)
x
x
e)
x
x
Solución:
a) Resolvemos cada inecuación por separado; la solución será el conjunto de puntos que cumplan ambas inecuaciones.
x x x
x x x x x
La solución al sistema es el intervalo 6, 2.
b) Resolvemos independientemente cada inecuación y buscamos las soluciones comunes:
x x x
x x x
El sistema no tiene solución, puesto que no hay valores que cumplan ambas inecuaciones a la vez.
c) Resolvemos cada inecuación y buscamos las soluciones comunes:
x x x
x x x
La solución del sistema es ,.
