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EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 3
(Matrices)
1.- Sea la matriz cuadrada A de dimensión 4 y elementos reales definida mediante:
,
i j (^) j i
si i j
a
a si i j
−
^ ≥
siendo a un número real. Se pide calcular el valor de:
2 3 4
B = A − A + A − A +…
Solución :
A es la matriz estrictamente triangular superior siguiente:
2 3
2
a a a
a a
a
A
y sus sucesivas potencias son:
2 3 3
2
2 3 4
a a a
a
^
^
A A A
es decir, es nilpotente de orden 4, por lo que sólo será necesario sumar los tres primeros
términos de B :
2 3
2 3 2
a a a
a a
a
B A A A
2.- Hallar todas las matrices cuadradas de dimensión 2 y elementos reales tales que
su cuadrado sea la matriz identidad.
Solución :
Sea una matriz genérica X de dimensión (2,2) y elementos reales:
a b
c d
X
( )
( )
2
2
2
a b a b a bc b a d
c d c d c a d d bc
^ +^ +
^
X
lo que obliga a que se cumpla:
( )
( )
2
2
a bc
b a d
c a d
d bc
La segunda ecuación se cumple tanto si b =0 como si a + d =0. Veamos ambos
casos:
Caso b = 0: de la primera y de la cuarta ecuación deducimos que a = ±1 , d = ± 1 y de
la tercera:
a d c arbitrario
a d c
Caso b ≠ 0: de la segunda ecuación deducimos que d = –a y de la primera o de la
cuarta:
2
1 a
c
b
En definitiva, el cuadrado de cualquiera de las siguientes matrices es la matriz
identidad:
2
a b
a
c c a
b
−^ −
OTA: Si se hubiese empezado a discutir el sistema a partir de la tercera ecuación se
hubiera obtenido:
Caso c = 0: de la primera y de la cuarta ecuación deducimos que a = ±1 , d = ± 1 y de
la segunda:
a d b arbitrario
a d b
Caso c ≠ 0: de la tercera ecuación deducimos que d = –a y de la primera o de la cuarta:
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 T
T T T T T T T T
0 = A − A = A − A A − A = A − AA − A A A = A − AA − A A A
Premultiplicando por AA
T
:
( )
( ) ( )
2
2 2
T T T T T T T
T T T T
T T T T
0 AA A AA AA AA A A AA A
AA A AA AA A AA
AA AA AA AA
5.- Dada la matriz:
a
b
A
donde a , b ∈ R. Se pide:
a) Determinar a y b para que A sea singular.
b) Determinar a y b para que A sea idempotente.
Solución:
a) La condición para que una matriz A sea singular es que det( A ) = 0, luego:
( ) ( )
det 0 1 1 0
a
a
A = b = b = b a − =
Por tanto, A es singular si b = 0 ó a = 1.
b) A es idempotente si A
2
= A , luego:
2
2
2
a a
a
b
a a a a b a (^) b a
b b b b b b (^) b
a b (^) b b
a
b
^ + =
^ ^
A
Obviamente, estas nueve condiciones no pueden satisfacerse simultáneamente
para ningún valor de a y b (en particular, obsérvese que la penúltima es 2=1), luego la
matriz A no puede ser idempotente.
6.- Dada la matriz
b
b
B , con b ∈ R, calcular B
n
.
Solución:
b
b b
b
B I M
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1 2 2
0
n
n n^ n^ i^ i n^ n^ n
i
n n n n
b b b b b
i
− − −
=
∑
B I M I M I M I M I M …
Por otra parte:
2
M
luego:
( ) ( ) ( )
1
1 0 1 1
n n
n n n n n n
n
n n b nb
b b b b nb
b
−
− −
^
^
B I M I M I M I M
OTA : En general, la no conmutatividad del producto matricial hace que no sea
aplicable la fórmula de Newton para la obtención de la potencia n-ésima de la suma de
dos matrices. Sin embargo, en este caso uno de los sumandos es la matriz identidad,
una de cuyas propiedades es precisamente la de conmutar con cualquier matriz de su
misma dimensión, haciendo válidos los cálculos realizados en la resolución de este
ejercicio.
7.- Dada la matriz
x
x x
x x x
X , con x ∈ R, calcular X
n
.
Solución :
( )
x
x x x x
x x x
^
^
X I M
2
2
a bc
ab bd b a d
ca dc c a d
cb d
+^ =^ ⇒^ +^ =
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 1
(^2 )
c a d ó
b
c a d ó
c c
d a b b
c a d ó
b a b
a
c c a
b (^) a
b
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
A A
A A
A A
A
a d
d a b c
a d
^ ^
A
A
9 .- Calcular utilizando el método de Gauss-Jordan e indicando todas las
operaciones realizadas , la inversa de la matriz:
A
Solución:
1 2
F ↔ F
3 1 3
F − F → F
2 2
F → F
3 2 3
F − F → F
3 3
− F → F
1 3 1
2 3
F F F
F F F
1
−
A
10 .- Calcular utilizando el método de Gauss-Jordan e indicando todas las
operaciones realizadas , la inversa de la matriz:
A
Solución:
2 1
F ↔ F
1 1
F → F
3 1 3
F − F → F
3 2 3
F − F → F
2 3
F ↔ F
3 2 2
− 2 F + F → F
2 1 1
− F + F → F
1
−
A
12.- Calcular utilizando el método de Gauss-Jordan e indicando todas las
operaciones realizadas , la inversa de la matriz:
A
Solución:
1 2
F ↔ F
1 1
F → F
2 2
F → F
3 3
F → F
3 1 3
F − F → F
1 3 1
F − F → F
1
−
A
13.- Dada la matriz:
1 2 0 4
0 2 1 1
1 0 0 2
2 0 1 0
A
Se pide determinar su inversa utilizando el método de Gauss-Jordan e indicando todas las
operaciones realizadas.
Solución:
3 1 3
4 1 4
1 2 0 4 1 0 0 0 1 2 0 4 1 0 0 0
0 2 1 1 0 1 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0
1 0 0 2 0 0 1 0 2 0 2 0 2 1 0 1 0
2 0 1 0 0 0 0 1 0 4 1 8 2 0 0 1
F F F
F F F
−^ →
(^) − → − − −
− − −
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
3 2 3
4 2 4
1 2 0 4 1 0 0 0
0 2 1 1 0 1 0 0
2 0 0 1 1 1 1 1 0
0 0 3 6 2 2 0 1
F F F
F F F
+ →
− −
⋮
⋮
⋮
⋮
4 3 4
1 2 0 4 1 0 0 0
0 2 1 1 0 1 0 0
3
0 0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 3 1 1 3 1
F F F
− →
(^) − −
− − −
⋮
⋮
⋮
⋮
