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EJERCICIOS DE MATRICES
RANGO DE UNA MATRIZ
- Calcula el rango de la matriz
A
^
SOLUCIÓN
Obtener una matriz escalonada por filas Se puede cambiar el orden de las filas de la matriz: F 1 (^) F 4 1 0 0 0 4 1 3 1 3 2 4 1 1 3 1 2
A
^
2 ' 2 1 3 ' 3 1 4 ' 4 1
4 3
F F F F F F F F F
(^) (^) (^)
^
3 ' 3 2 4 ' 4 2
2 3
F F F F F F
(^) (^)
1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 10 1 0 0 10 1
^
Al ser F 4 (^) F 3 rg A ( ) 3
- Calcula según valores de m el rango de la matriz
m m m m A m m m m m
^
^
SOLUCIÓN
Se escalona la matriz A: F 2 '^ F 1 F 2 ; F 3 ' F 1 F 3
m m m m m m m m m
^
;^2
m A m m m m m
^
Para m^ ^0
A
^
rg A ( ) 1
Para m^ ^1
A
^
rg A ( ) 2
Para m^ ^2
A
^
rg A ( ) 2
Para m^ ^ 0,1,2^ ^ rg A (^ )^ ^3
- Dada la matriz^2 2
A m m m
m m m
^
a) Halla los valores del parámetro m para que el rango de A sea menor que 3.
b) Estudia si el sistema
x
A y
z
tiene solución para cada valor de m del
apartado (a) SOLUCIÓN
a) El determinante de la matriz se iguala a 0 para obtener los valores del parámetro m.
2 2 2 2 2
m A m m m m m m m m m
^
Para 0 y 1 ( ) 3 Para 0 y 1 ( ) 3
m m rg A m m rg A
^ ^ ^
b) El sistema de ecuaciones según valores de m, se escribe
Para 0 : 0 0 0 1 , * 0 0 0 1 , ( ) 1, * 2 0 0 0 1 0 0 0 1 A
x m y A rg A rg A z
^ ^ ^ ^ ^
^ ^
Sistema incompatible.
Para 1 1 1 1 1 , * 1 1 1 1 , ( ) 1, * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A
x m y A rg A rg A z
^ ^ ^ ^ ^
^ ^
Sistema compatible indeterminado al ser de igual rango la matriz del sistema y la ampliada pero menor que el número de incógnitas.
1 2
x P x y z y u u z
^ ^
OPERACIONES MATRICIALES
- Resolver las cuestiones a) Expresión general de las matrices A que satisfacen la ecuación 0 1 0 0 1 0 2 0 0 2
A
b) Halla todas las matrices A que conmutan con la matriz
B ^
SOLUCIÓN
2 2 2
t
a a ab ac A b a b c ba b bc c ac bc c
^
^
^
^
Por otra parte 2 2 2 1
a a b c b a b c c
1 1 1 p veces
p 1
A
a a a a A b a b c b a b c b a b c b a b c A c c c c
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A p A ; p
- Dadas las matrices
B ^ ^ C ^
Busca una matriz X tal que B X B C
SOLUCIÓN 2 3 1 1 3 1 1 1 2
B B ^
1 1 1 3 1 4 1 3 6 20 1 2 3 2 1 2 5 15
B X B C X B C B
X
^
^ ^ ^ ^ ^
X
- Sea M ^11 ^11 11 ^11 a) Hallar las matrices MM t^ y M Mt
b) Hallar las matrices MM t^ n y (^) M Mt (^) ^ n para n SOLUCIÓN a) Las matrices MM t^ y M Mt por la teoría se sabe que son simétricas
2
1 1 (^1 1 1 1 1 1 4 0 4) ; 1 0 1 1 1 1 1 1 0 4 0 1 1 1 1 1 2 0 2 0 (^1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 ) 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 1 1 0 2 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 (^0 1 0 1) ; 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1
t
t
MM I I
M M J
J J
^ (^) ^ (^) ^ ^ (^) (^) (^) ^ ^ ^ (^) (^) ^ ^
1 0 1 0 (^0 1 0 1 ) 1 0 1 0 0 1 0 1
J
b) Hallar las matrices MM t^ n y (^) M Mt (^) ^ n para n
En primer lugar: MM t ^2 =4I4I=4 I^2 MMt n^ =4 In además J^^2 ^2 J
(^2 2 2 2 ) (^3 3 4 2 4 )
t t
M M J J J J J
M M J J J J J
22 1 M Mt^ n n J
POTENCIAS DE MATRICES
- Halla la potencia n-ésima de la matriz
A
^
SOLUCIÓN
2
3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1
Suponer n^ 3 n^ n^ 3 n^ 3 n^ 3 n^ (3 ) 3 n
A A
A A A A A A A A
A ^ ^ A A ^ A A ^ A ^ A A
^ ^ ^ ^ ^ ^
An 3 n ^1 A
- Dada la matriz
A
^
Se pide:
a) Encuentra la expresión general de la potencia n-ésima de A siendo n un número natural.
(^33)
N
^ ^ ^
. Nilpotente de índice 3
0 1 0 0 0 2 (^ 1) 0 0 0
A^ n x n^ n n n
^ ^ ^ ^ ^ ^
(^22) 13 3 2 4 2 (2^ 1) a n ^ n^^ n n n n n ;
n n
n n n A x n
^
En el caso n 1 1
1 2 1 (^1 0 1 ) 0 0 1
A x
^
Es posible siempre que x 0
- Sea la matriz
0 0 0 0 0 0
x A y z
^ a) Calcula A^2^ , A^3^ , A ^1 (para x 0, y 0, z 0). b) Calcula Ak , k en función de A y A ^1.
SOLUCIÓN a) Calcula A^2^ , A^3^ , A ^1 (para x 0, y 0, z 0).
2
3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x x xz A y y xy z z yz xz x xyz A xy y xyz xyzI yz z xyz
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A^3^ A^2 A xyzI A^2^ xyzA ^1
1 2
0 1 0
0 0 1 (^1 0 )
y A A xyz z
x
^
b) Calcula Ak , k en función de A y A ^1.
3 3 p (^) ( ) p (^) ; 3 p (^1) ( ) p (^) ; 3 p (^2) ( ) p (^2) ( ) p 1 1
A xyzI A xyz I A ^ xyz A A ^ xyz A xyz ^ A
- Dada la matriz
A
^
Se pide:
a) Encuentra la expresión general de la potencia n-ésima de A siendo n un número natural.
b) Razona si la matriz An tiene inversa para n , n 1 Calcula dicha
inversa. SOLUCIÓN
a) Cálculo de An
2
3
A
A
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
Suponer que se cumple hasta^1
A^ n ^ n An An A n
^ ^ ^
A^ n n
^
b) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes An A A A A A A 1 Por tanto existe matriz inversa
1
A^ n^ ^ A n n
^
- Sea k un número natural y sean las matrices
A B C
^ ^ ^
a) Calcula Ak b) Halla la matriz X que verifique Ak X B C
Por lo que A B será invertible para cualquier otro valor del parámetro .
b) Encuentra los valores de para que B A sea invertible
2
B A
^
^
^
B A 16 2 2 2 ( 3) 4 ( 3) 8 2 2 0
B A NO SERÁ INVERTIBLE PORQUE B A 0. SE ANULA EL
DETERMINANTE B A PARA TODO VALOR DE .
- Dada la matriz
m A m m m
^
a) Calcula los valores del parámetro m para los que A tenga inversa. b) Para m = 0 Calcula A^3^ ; A ^1 ; A^9.
c) Para m = 0 Calcula la matriz X que verifica A X b ; siendo
b
SOLUCIÓN
a) La matriz no tiene inversa si A 0.
2 2
2 No tiene inversa 1 0 2 0 2 1 2 Tiene inversa
m m A m m m m m m
b) Para m = 0.^2
A
^ ^ ^
^
3 2
A A A
^
I
; A^3^ 2 I
1
A
A A A I A A I
1
A
^
^ 9 3 3 3 A A 2 I 8 I^9
A
^
c) Para m = 0 existe inversa.
1
X A b
^ ^ ^
X
^
MATRICES ESPECIALES
- Calcula la inversa de la matriz cos cos
sen A sen
^
comprobando que es
una matriz ortogonal. SOLUCIÓN Esta matriz es ortogonal por tanto la inversa coincide con la traspuesta
1 cos cos
sen A sen
^
Las matrices ortogonales tienen por columnas vectores unitarios tales que el producto escalar dos a dos de los vectores columnas es cero.
El determinante de una matriz ortogonal vale 1 ó -1: A A ^1 A A t A A A^2 1 A 1
- Sea A una matriz invertible tal que A I 0 y A I 0. Demostrar que la matriz B es singular si se verifica: A B A ^1 B
Solución
1 1 2 (^2 0) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0
A B A B A A B A A B A B B
A I B A I A I B
A I A I B B
^
Como B 0 la matriz B es singular.
- Sean A B , M 2 ( )tales que (^) A es simétrica y (^) B antisimétrica. Indica de forma razonada entre las siguientes matrices cuales son simétricas y cuales
antisimétricas: a ) A B B A ; b ) A B B A ; c A ) 2^ ; d B )^2
SOLUCIÓN
A es simétrica si At A ; B es antisimétrica si B t B
a ) A B B A
A B B A ^ t^ ( A B ) t^ ( B A ) t^ Bt At At B t B A A ( B ) ( A B B A ) Luego es antisimétrica.
b ) A B B A
^ A B ^^ ^ B A ^ ^^ t^ ^ (^ A B ^ )^^ t^ ^ (^ B A ^ )^^ t^ ^ Bt^ ^ At^ ^ At^ ^ Bt^ B A^ ^^ ^ A^ (^ B^ )^^ ^ (^ A B ^^ ^ B A ) Luego es simétrica. c A )^2 : (^) A^2^ t^ (^) At (^) ^2 A^2. Luego es simétrica
c) A es ortogonal y simétrica A es involutiva Ortogonal A ^1 At ; Simétrica: At A A ^1 A Involutiva
- Prueba que la matriz A es involutiva si y sólo si In An (^) I (^) n An (^0) n SOLUCIÓN Directo: Si A es involutiva se deduce que I A (^) I A 0
2 2 0
I I
I A I A I I A A I A I I
Recíproco: Si se verifica (^) I A (^) I A 0 se deduce que A es involutiva
2 ^2 0
I A I A 0 I A A A 0 A I por tanto involutiva
MATRIZ INVERSA
- Halla la matriz inversa de
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
A
(^) ^ (^) (^) SOLUCIÓN
(^2 ) (^34 ) 1 4
12 23 3 2 1
'' ''
' '
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
FF FF FF (^) FF
FF FF FF F
A I (^)
^ (^) (^) ^ ^ ^ (^) (^) (^) (^) (^) (^)
1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
(^) (^) (^) (^)
1
0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
A
^ ^ (^) ^ (^) (^)
DETERMINANTES
- Hallar en función de a el valor del Determinante
2 3 2 4 3 2
a a a a a a a a a a
SOLUCIÓN
a a a a a a a
4 ' 4 3 3 ' 3 2 ' 2 2 1
C C C
C C C
C C C
3
a a a a a a
- Calcula el determinante de la matriz 4^ ii , ij
a x A (^) a b i j
^
SOLUCIÓN
x b b b A b^ x^ b^ b b b x b b b b x
A cada columna restar la anterior
x b x b x b b x b x b b x b x b
Sumar a la primera fila las demás
x b b x b b x b x b b x b x b
= ( x 3 )( b x b )^3
- Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si A es antisimétrica y n impar,
hallardet A
SOLUCIÓN
det (^) A (^) det (^) At pero At A , por tantodet (^) A (^) det (^) At (^) det( A ) Se saca factor común -1 en cada una de las n filas de A : det( A ) ( 1) det( n A ) Por ser n impar resulta( 1) n 1 det( A ) det( A ) ( 1) det( n A ) det( A )det( A ) 0
- Dada la matriz A Mn ( ) cuyo determinante es^1 2
(^) A . Calcula:
a) 3 A ; b) A^3 ; c) 4 A ^1
Solución
a) 3 3 3 1 2 A ^ n^ A n ^
x x x x x x x x x x x x
x^2^ ( x 2)( x 2) 0
- Sean (^) A B , Mn ( ) dos matrices congruentes. Demostrar que si (^) A es simétrica B también lo es. Solución Dos matrices congruentes verifican: B Pt A P . P es la matriz de paso
t t t^ t t t t t B P A P P A P P A P Luego B es también simétrica. Se han aplicado las propiedades de la matriz traspuesta y el hecho de que una matriz simétrica coincide con su traspuesta.
- Comprobar que dos matrices A B , Mn ( ) semejantes tienen el mismo determinante. Solución Dos matrices semejantes verifican: B P ^1 A P . P es la matriz de paso
B P^1 A P P^1 A P A P^1 A P
^
Se ha aplicado que el determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes y que el determinante de la inversa es el inverso del determinante.
- Sea A Mn ( )una matriz idempotente demuestra que su determinante vale 0 ó 1 Solución La matriz idempotente verifica: A^2 A.
Además^2
A
A A A A A A A A
A
