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Tema 2. N´umeros enteros
1 El conjunto de los n´umeros enteros
Los n´umeros enteros son
... − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ...
Forman un conjunto que suele representarse por Z.
- Como se ve, el conjunto de los n´umeros enteros se obtiene a˜nadiendo a los n´umeros naturales los n´umeros − 3 , − 2 , − 1.
- Cada n´umero entero pertenece a uno de los siguientes tipos y s´olo a uno:
∗ Negativo: − 1 , − 2 , − 3 ... ∗ Nulo: 0 ∗ Positivo: 1, 2 , 3 ...
Debe quedar claro que 0 no es ni negativo, ni positivo.
- Cada n´umero entero m tiene un opuesto −m. Por ejemplo, 3 y −3 son opuestos. El 0 es opuesto de s´ı mismo. Dado el entero m su opuesto es −m y el opuesto de −m es m. Simb´olicamente, −(−m) = m.
- Una observaci´on de mucha importancia: cuando se escribe m para referirnos a un n´umero entero, puede ocurrir que m sea positivo, nulo o negativo, y en consecuencia −m ser´ıa negativo, nulo o positivo. Es decir, −m no tiene por qu´e ser negativo, ni m positivo.
- El valor absoluto del n´umero entero m es el mismo m si m es natural, o −m si m es negativo. Se representa por |m|. Por ejemplo | 5 | = 5 y | − 9 | = 9.
1.1 Significados de los n´umeros enteros
- Los n´umeros enteros tienen muchos significados, lo mismo que ocurr´ıa con los n´umeros naturales. Utilizaremos diferentes contextos: dinero, temperatura, nivel del mar, carretera, cronolog´ıa, ascensor...
- El n´umero −7 se utiliza para expresar situaciones (estados) muy diferentes. Por ejemplo:
- Debo 7 euros
- Hace 7 grados bajo cero
- Est´a a 7 metros bajo el nivel del mar
- Est´a en el kil´ometro 7 al oeste del pueblo ∗ Naci´o el a˜no 7 antes de Cristo (aC) ∗ Est´a en el piso 7 del s´otano
- El n´umero −6 puede usarse para expresar variaciones o comparaciones en contextos distintos. Por ejemplo:
- He perdido 6 euros
- La temperatura ha disminuido 6 grados
- Ha descendido 6 metros bajo el nivel del mar
- El coche est´a a 6 kil´ometros al oeste del pueblo ∗ Isabel naci´o 6 a˜nos antes que Jer´onimo ∗ Laura vive 6 pisos m´as abajo que Manuel
2 Adici´on de n´umeros enteros
2.1 Suma de enteros
- Dos n´umeros enteros pueden sumarse y obtener otro n´umero entero. La suma de enteros es conmutativa, como ocurr´ıa con los naturales: no cambia si se altera el orden de los sumandos.
- Veamos con algunos ejemplos c´omo se comporta la suma.
- Pensemos en el contexto del ascensor. Si estoy en el piso 3 y bajo 7 pisos llegar´e al piso −4. Esto se expresa diciendo
3 + (−7) = − 4.
- La anterior suma suele escribirse de manera m´as simple
3 − 7 = − 4.
Realmente estamos restando 7 de 3 y obtenemos −4. Esto no se pod´ıa hacer en el ´ambito de los n´umeros naturales, en el conjunto N.
- El n´umero 0 mantiene la propiedad de que
m + 0 = m
para todos los n´umeros enteros m.
- Claramente m + (−m) = −m + m = 0.
2.3 Sumar = restar
- Cuando trabajamos con n´umeros naturales, hay situaciones en las que podemos restar, pero otras no. Podemos decir que 7 − 4 = 3, pero no podemos calcular 4 − 7, ya que no hay ning´un n´umero natural que al sumarlo a 7 nos d´e 4.
- Con n´umeros enteros s´ı podemos calcular 4 − 7, pues el n´umero −3 sumado a 7 nos da 4: 4 = 7 − 3. Es decir, siempre se puede restar dos n´umeros enteros.
- Realmente, con n´umeros enteros es lo mismo sumar y restar. Sumar −3 al n´umero 4 es los mismo que restar 3 del 4:
4 + (−3) = 4 − 3 = 1.
- Otro ejemplo: consideremos el n´umero −9. Es lo mismo sumarle 5 que restarle −5:
−9 + 5 = − 9 − (−5) = − 4.
- Si pensamos en el ascensor: es lo mismo decir que el ascensor “sube” −3 pisos que decir que “baja” 3 pisos.
- Lo anterior puede expresarse as´ı:
m + n = m − (−n) = −(−m) + n = −(−m − n).
2.4 Propiedad de simplificaci´on de la adici´on
- La propiedad de simplificaci´on para la suma que ten´ıamos con n´umeros naturales se mantiene con n´umeros enteros: para m, n, p n´umeros enteros, se tiene
m + p = n + p ⇒ m = n.
- Algunos ejemplos: 4 + p = n + p ⇒ 4 = n. m − 2 = n − 2 ⇒ m = n. −1 + 3 = −1 + p ⇒ 3 = p.
- Un ejemplo en el que se usa la propiedad de la simplificaci´on: si −4 + m = −15, podemos escribir −4 + m = − 4 − 11 y por tanto m = −11.
- Otro modo de razonar en el anterior ejemplo, usando la resta: si −4 + m = −15, podemos sumar 4 (restar −4) a ambos lados de la igualdad y queda −4 + m + 4 = −15 + 4, es decir m = −11.
3 Multiplicaci´on de enteros
- Dos n´umeros enteros pueden multiplicarse y obtener otro n´umero entero.
- De la misma manera que con los naturales, ahora tenemos la propiedad conmutativa de la multiplicaci´on: no importa el orden de los factores.
- Si m y n son naturales (positivos o nulos) ya sabemos lo que significa m × n = m · n = mn. Por ejemplo: 2 × 3 = 6. Suele expresarse esto diciendo que “m´as por m´as es m´as”.
- Si m es natural y n es negativo el producto es la suma m veces del n´umero n
mn = n︸ + n +︷︷ · · · + n︸ m veces
Por ejemplo: 4 × (−5) = − 5 × 4 = −20. Se dice que “m´as por menos es menos”.
- Si tanto m como n son negativos, el producto coincide con el producto de los opues- tos, que son positivos: mn = (−m)(−n). Ejemplo: (−3) × (−6) = 3 × 6 = 18. Suele hablarse de “menos por menos es m´as”.
- Justifiquemos la regla anterior de que “menos por menos es m´as”. Expresaremos el tiempo futuro con n´umeros positivos y el pasado con negativos. Durante los ´ultimos 7 meses he perdido 5 euros cada mes, as´ı que hace 7 meses ten´ıa
(−7) × (−5) = 35
euros m´as que ahora.
- Otro ejemplo que ilustra que es razonable que “menos por menos es m´as”. Durante el ´ultimo mes la temperatura ha bajado 2 grados cada d´ıa. La temperatura ha bajado en los ´ultimos 7 d´ıas
(−7) × (−2) = 14
grados.
- Tambi´en se puede dar una justificaci´on abstracta de que “menos por menos es m´as”. Desde luego deseamos que las reglas de la mutiplicaci´on de naturales se mantengan con los enteros. Sean m y n n´umeros enteros. Entonces
0 = p.0 = p(n + (−n)) = pn + p(−n) ,
luego −(pn) = p(−n). An´alogamente,
0 = (p + (−p))n = pn + (−p)n ,
as´ı que −(pn) = (−p)n. Es decir
−(pn) = p(−n) = (−p)n.
Podemos afirma entonces que el opuesto de un producto es el producto del opuesto de uno de ellos por el otro.
- El 0 juega un papel muy especial en el producto. ¿Qu´e significado podemos darle a 3 : 0? Ning´un n´umero m al multiplicarlo por 0 dar´a 3, de modo que no tiene sentido dividir 3 por 0.
- Como 0 × 0 = 0, podr´ıa decirse que 0 : 0 = 0. Sin embargo hay razones que han llevado a los matem´aticos a desechar esa posibilidad, razones que podremos explicar con cierto detalle cuando estudiemos los n´umeros racionales. Por ahora tenemos que dejar claro que ¡no puede dividirse por 0!
- Una situaci´on diferente es 0 : 3, que es 0 ya que 0 × 3 = 0.
- Podemos resumir lo que ocurre con el 0 escribiendo:
m : 0 no est´a definido , 0 : m = 0 cuando m 6 = 0.
3.3 Propiedad de simplificaci´on de la multiplicaci´on
- Con los n´umeros enteros se tiene tambi´en la propiedad de simplificaci´on de n´umeros no nulos en la multiplicaci´on:
mp = np y p 6 = 0 ⇒ m = n.
- Recordemos que es fundamental en la propiedad de simplificaci´on que sea p diferente de 0. Se tiene (−4) × 0 = 9 × 0, pero no podemos afirmar −4 = 9, pues es falso.
- Ejemplo del uso de la propiedad de la simplificaci´on: si 3 × m = −15, podemos escribir 3 × m = 3 × (−5), por tanto m = −5.
- El anterior ejemplo, usando la divisi´on: 3 × m = −15, podemos dividir a ambos lados de la igualdad por 3 y obtener m = −5.
3.4 Sacar factor com´un
- La propiedad de sacar factor com´un o propiedad distributiva del producto respecto a la suma, que es v´alida para n´umeros naturales, contin´ua siendo v´alida para n´umeros enteros.
- Tenemos que 2 × (−3) + 2 × 4 = −6 + 8 = 2 , 2 × (−3 + 4) = 2 × 1 = 2. Luego 2 × (−3) + 2 × 4 = 2 × (−3 + 4). La expresi´on de la izquierda es una suma de productos y el 2 es un factor en ambas sumas. Se puede“sacar factor com´un” el 2.
- Simb´olicamente mn + mp = m(n + p).
4 Potencias
- Hemos estudiado ya lo que significa mn, siendo m y n n´umeros naturales no ambos nulos. Deseamos extender la noci´on de potencia a mn^ para la base m y el exponente n n´umeros enteros.
- No se define 0^0. Recordemos que 0n^ = 0 y que n^0 = 1 para n natural, de modo que habr´ıa dos “posibilidades razonables”: 0^0 = 0 y 0^0 = 1. A la vista de esto, los matem´aticos han preferido no asignar ning´un valor.
- Si m es negativo y n positivo se define
mn^ = mm︸ ︷︷ · · · m︸ n veces
Si n = 0, como ya se razon´o, ponemos m^0 = 1.
- Ejemplo: (−3)^4 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = 81.
- Ejemplo: (−2)^5 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = − 32.
- Para definir mn^ con m no nulo y n negativo, hemos de esperar al estudio de los n´umeros racionales.
- En resumen, ya sabemos lo que significa un entero no nulo m elevado a un natural n, que es la repetici´on de m como factor n veces, si n 6 = 0, y m^0 = 1.
- Se mantiene la propiedad de que el producto de potencias de la misma base es la potencia con la misma base y de exponente la suma de los exponentes:
mn^ mp^ = mn+p^.
- Ejemplo: (−3)^4 × (−3)^5 = (−3)^9.
- Para calcular la potencia de una potencia se multiplican los exponentes. En general,
(mn)p^ = mnp^.
- Por ejemplo: ((−3)^4 )^5 = (−3)^4 ×^5 = (−3)^20.
5 Orden entre n´umeros enteros
- Los n´umeros enteros est´an ordenados de manera natural:
· · · < − 3 < − 2 < − 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < · · ·.
- Los s´ımbolos <, >, ≤ y ≥ mantienen el mismo significado que con los n´umeros naturales.
- En el siguiente dibujo se ha representado el n´umero 2 tres veces y el −3 dos veces:
- Hay dos formas de representar una suma. Por ejemplo, la suma −3 + 2 = −1 se puede representar con una flecha hacia la derecha que va del punto −3 al punto − 1 y tiene longitud 2.
- La suma −3+2 = −1 tambi´en puede representarse como una flecha hacia la izquierda (situada donde queramos) de longitud 3, a continuaci´on una flecha hacia la derecha de longitud 2, que “anula” parcialmente la flecha −3 y se obtiene como suma la flecha hacia la izquierda de longitud 1.
- El producto se representa como repetici´on de flechas consecutivas, teniendo en cuenta su signo.
- Tambi´en el lenguaje algebraico puede usarse en la representaci´on de los enteros. Si m se representa con un punto y n con una flecha (hacia la izquierda si es negativo o hacia la derecha si es positivo) con origen en m, entonces p = m + n se representa con un punto que es el extremo de la flecha.
