Matematicas para maestro, Apuntes de Ciencias de la Educación

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MATEM ATICAS B ´ ASICAS PARA´

MAESTRO

Aqu´ellos que educan bien a los ni˜nos merecen recibir m´as honores que sus propios padres, porque aqu´ellos s´olo les dieron la vida, ´estos el arte de vivir bien. Arist´oteles.

El conocimiento no se da ni se transmite, sino que se construye o reconstruye. Ning´un hombre os puede revelar nada, fuera de lo que yace dormido en el alba de vuestro conocimiento. El maestro que pasea a la sombra del templo entre sus disc´ıpulos, no les da parte de su sabidur´ıa, sino m´as bien de su fe y de su amor. Si realmente es sabio, no os pedir´a que entr´eis en la mansi´on de la sabidur´ıa, sino que os conducir´a hasta el umbral de vuestra propia mente... Porque la visi´on que tiene un hombre no facilita sus alas a ning´un otro hombre. Khalil Gibran, El profeta.

El maestro mediocre, dice El buen maestro, explica El maestro superior, demuestra El gran maestro, inspira William Arthur Ward (escritor estadounidense)

Las matem´aticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza – una belleza fr´ıa y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte m´as d´ebil de nuestra naturaleza... capaz de decidida perfecci´on y hasta lo sublime pura como s´olo el arte m´as grande puede mostrar. Bertrand Russell, Premio Nobel de Literatura.

4 0. Contexto de la asignatura

las siguientes competencias:

“Competencias matem´aticas b´asicas (num´ericas, c´alculo, geom´etri- cas, representaciones espaciales, estimaci´on y medida, organiza- ci´on e interpretaci´on de la informaci´on, etc.). Conocer el curr´ıcu- lo escolar de matem´aticas. Analizar, razonar y comunicar pro- puestas matem´aticas. Planear y resolver problemas vinculados con la vida cotidiana. Valorar la relaci´on entre matem´aticas y ciencias como uno de los pilares del pensamiento cient´ıfico. Desarrollar y evaluar contenidos del curr´ıculo mediante recursos did´acticos apropiados y promover las competencias correspondientes en los estudiantes.”

En la p´agina web de la Universidad de La Rioja, en la presentaci´on del Grado en Educaci´on Primaria, se explicita que:

“El objetivo fundamental del t´ıtulo es formar profesionales para la atenci´on educativa al alumnado de Educaci´on Primaria”.

En consonancia con todo lo anterior est´a dise˜nada la materia Ense˜nanza y Aprendizaje de las Matem´aticas y en concreto esta asignatura(Matem´aticas B´asicas para Maestro), que “Contribuye a la formaci´on en Matem´aticas del Profesor de Educaci´on Primaria” y en la que “se introducen conceptos b´asicos e instrumentales del curr´ıculo en Educaci´on Primaria”. Tambi´en se explican algunos contenidos de historia de las matem´aticas, de medida de magnitudes y de ´algebra aunque de forma transversal y se ampliar´an en otras dos asig- naturas que se cursar´an en cursos posteriores (Matem´aticas y su Did´actica I y II).

As´ı pues, es imprescindible para un futuro maestro que conozca (y domine) los contenidos matem´aticos del curr´ıculum de Educaci´on Primaria. Conse- guirlo forma parte de nuestra obligaci´on como profesores.

¡Atenci´on! Actualmente hay profesores de primaria (maestros) que est´an im- partiendo asignaturas de primer ciclo de secundaria. Deb´eis estar preparados por si, en un futuro, os toca a vosotros.

0.2 La Educaci´on primaria en Espa˜na. Las matem´aticas dentro de la educaci´on primaria 5

0.2. La Educaci´on primaria en Espa˜na. Las

matem´aticas dentro de la educaci´on pri-

maria

Leyes, decretos y normas que regulan la educaci´on primaria en Espa˜na y determinan su curr´ıculo:

Ley Org´anica 2/2006, de 3 de mayo de Educaci´on (LOE).

Ley Org´anica 8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE).

Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, en el que se concretan las ense˜nanzas m´ınimas de la Educaci´on Primaria.

Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el curr´ıculo b´asico de la Educaci´on Primaria.

Decreto 24/2014, de 13 de junio, por el que se establece el curr´ıculo de la Educaci´on Primaria en la Comunidad Aut´onoma de La Rioja. (Desarrolla la LOMCE)

En general, las Leyes, los Reales Decretos, las Ordenes (de ministerios o de´ la administraci´on auton´omica) tienen un objetivo regulador. Es decir, dic- tan normas y preceptos que debemos cumplir. Es habitual que quienes est´an concernidos conozcan los preceptos, sin embargo toda norma tiene un por- qu´e. Los porqu´es suelen estar explicitados en las introducciones de las leyes y de los decretos. Obviamente, los motivos responden a las ideolog´ıas e in- tereses de quienes los han debatido y promulgado y, en las democracias, a las mayor´ıas que han conseguido sacarlos adelante en las c´amaras legislativas correspondientes.

Es pues conveniente leer las introducciones de las leyes y decretos (adem´as las introducciones suelen incluir res´umenes de los mismos).

En las introducciones de las normas anteriores se explicitan las razones por las que es preciso incluir las matem´aticas en los estudios de primaria. Se resalta, esencialmente, la doble funci´on que se viene dando desde hace tiempo al aprendizaje escolar de las matem´aticas. Se aprende matem´aticas:

porque son ´utiles en otros ´ambitos (en la vida cotidiana, en el mundo laboral, para aprender otras cosas... )

0.3 Contenido de Matem´aticas en Educaci´on Primaria 7

0.3. Contenido de Matem´aticas en Educaci´on

Primaria

El Decreto 24/2014, de 13 de junio, que, como ya hemos indicado, desarrolla los contenidos previstos en la LOMCE, agrupa los contenidos de Matem´aticas en torno a cinco bloques:

I. Procesos, m´etodos y actitudes en matem´aticas.

II. N´umeros.

III. Medida.

IV. Geometr´ıa.

V. Estad´ıstica y Probabilidad

Los contenidos de cada uno de estos bloques est´an secuenciados por cursos.

El primero de los cinco bloques (Procesos, m´etodos y actitudes en matem´ati- cas) “se ha formulado con la intenci´on de que sea la columna vertebral del resto de los bloques y de esta manera forma parte del quehacer diario en el aula para trabajar el resto de contenidos y conseguir que todo el alumnado al acabar la Educaci´on Primaria sea capaz de describir y analizar situaciones de cambio, para encontrar patrones, regularidades y leyes matem´aticas, en contextos num´ericos, geom´etricos y funcionales, valorando su utilidad para hacer predicciones”. Los contenidos de este bloque, para todos los cursos de primaria, son los siguientes:

• Planificaci´on del proceso de resoluci´on de problemas: an´alisis y com- prensi´on del enunciado.

• Estrategias y procedimientos puestos en pr´actica: hacer un dibujo, una tabla, un esquema de situaci´on, ensayo y error razonado, operaciones matem´aticas adecuadas, etc. Resultados obtenidos.

• Planteamiento de peque˜nas investigaciones en contextos num´ericos, geom´etricos y funcionales.

• Acercamiento al m´etodo de trabajo cient´ıfico mediante el estudio de algunas de sus caracter´ısticas para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo cient´ıfico.

8 0. Contexto de la asignatura

• Utilizaci´on de medios tecnol´ogicos en el proceso de aprendizaje para obtener informaci´on, realizar c´alculos num´ericos, resolver problemas y presentar resultados.

• Integraci´on de las tecnolog´ıas de la informaci´on y la comunicaci´on en el proceso de aprendizaje.

Adem´as, para el curso primero se a˜nade como contenido:

• Iniciaci´on en el uso de la calculadora.

El programa de la asignatura Matem´aticas B´asicas para Maestro est´a dividido en tres grandes bloques:

1.– Aritm´etica: n´umeros y operaciones

2.– Geometr´ıa

3.– Estad´ıstica

que se corresponden con los bloques II., IV. y la mayor parte del V. Es conve- niente pues que recordemos los contenidos que el decreto 24/2014 les asigna en toda la educaci´on primaria.

En el bloque de N´umeros, los contenidos de la educaci´on primaria son: los n´umeros naturales, los enteros y los racionales positivos (fracciones, decima- les) y las operaciones elementales (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on). Para todo ello deben conocer el sistema de numeraci´on decimal as´ı como el concepto de equivalencia de fracciones; tambi´en el sistema de numeraci´on ro- mana (en 3o), las relaciones (y algunos criterios) de divisibilidad de n´umeros naturales, los conceptos de m´ultiplo, divisor y n´umero primo, las potencias (con especial atenci´on al cuadrado y al cubo de un n´umero y a las potencias de 10), los porcentajes y la proporcionalidad.

En el bloque de Geometr´ıa, los contenidos son: los conceptos de l´ınea recta, l´ınea curva y de ´angulo, las principales figuras planas (tri´angulos, pol´ıgonos, circunferencia, c´ırculo) y del espacio (poliedros, esferas, prismas, pir´amides, cilindros); tambi´en se presentan, l´ogicamente, las nociones de per´ımetro, ´area y volumen de las figuras que se han estudiado y la manera en la que se cal- culan; se hace una introducci´on a la noci´on de escala y de coordenadas para localizar un objeto en el plano. Tambi´en hay referencias en el curr´ıculo a la noci´on de simetr´ıa.

10 0. Contexto de la asignatura

Cap´ıtulo 1

Aritm´etica: N´umeros y

operaciones

“Y elijo el n´umero porque la matem´atica, ciencia que pocos pue- den penetrar en toda su profundidad, ocupa un puesto peculiar entre todas las creaciones del esp´ıritu. Es una ciencia de esti- lo riguroso, como la l´ogica, pero m´as amplia y mucho m´as rica de contenido; es un verdadero arte, que puede ponerse al lado de la pl´astica y de la m´usica, porque, como ´estas, ha menester una inspiraci´on directriz y amplias convenciones formales para su desarrollo; es, por ´ultimo, una metaf´ısica de primer orden, co- mo lo demuestran Plat´on y, sobre todo, Leibnitz. El desarrollo de la filosof´ıa se ha verificado hasta ahora en ´ıntima uni´on con una matem´atica correspondiente. El n´umero es el s´ımbolo de la necesidad causal. Contiene, como el concepto de Dios, el ´ultimo sentido del universo, considerado como naturaleza. Por eso pue- de decirse que la existencia de los n´umeros es un misterio, y el pensamiento religioso de todas las culturas ha afirmado siempre esta impresi´on”.

Oswald Spengler

El buen Dios hizo los n´umeros naturales. Los dem´as son cosa del hombre.

Leopold Kronecker (1823 – 1891)

1.1 Introducci´on 13

a tratar de los n´umeros naturales, de la forma de representarlos en diferen- tes ´epocas, indicaremos c´omo y para qu´e se han utilizado a lo largo de la historia, presentaremos algunos sistemas de numeraci´on y conoceremos en profundidad “nuestro” sistema de numeraci´on decimal.

Tanto en el curr´ıculo de Matem´aticas en Educaci´on Primaria como en “nues- tro” programa, la palabra n´umero se repite incesantemente. Por ello, parece razonable plantearse alguna de las siguientes preguntas:

1. ¿Por qu´e se dedica tanto tiempo en la escuela a ense˜nar los n´umeros y sus operaciones?
2. ¿Por qu´e tanta insistencia con los n´umeros?
3. ¿Tan importantes son los n´umeros?
4. ¿Para qu´e se utilizan los n´umeros?
5. ¿Forman los n´umeros parte de la cultura y de la vida cotidiana?

Para reflexionar sobre ellas planteamos las dos siguientes actividades:

1. Un d´ıa cualquiera elegid un peri´odico al azar y, dentro de ´el, una noticia al azar. Intentad reescribirla sin utilizar n´umeros.
2. Un d´ıa cualquiera, desde que os despert´eis, anotad los lugares, objetos y situaciones en los que os encontr´eis o se utilicen n´umeros. Como complemento a esta actividad pod´eis pensar qu´e papel juegan (o qu´e funci´on desempe˜nan) los n´umeros en cada uno de esos lugares, objetos o situaciones.

Confiamos en que, despu´es de realizar las actividades planteadas, haya que- dado claro que estamos rodeados de n´umeros y que los utilizamos constan- temente con muy diferentes finalidades. Ahora bien, ¿c´omo sabemos que es- tamos utilizando un n´umero?

Adem´as de otras razones, porque para representar n´umeros utilizamos unos s´ımbolos especiales, distintos de los que usamos para representar palabras. Si preguntamos: ¿Cu´ales son esos s´ımbolos?, probablemente la respuesta m´as general ser´a que son los siguientes:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

y, en menor medida, los siguientes:

14 1. Aritm´etica: N´umeros y operaciones

I, V, X, L, C, D, M

Son tan habituales y los tenemos tan interiorizados que no nos llaman la atenci´on. Unas preguntas acerca de estos s´ımbolos:

¿Desde cuando los conoc´eis? ¿Conoc´eis m´as s´ımbolos para representar n´umeros? ¿Pens´ais que siempre se han utilizado estos s´ımbolos? Si no se han utilizado siempre, ¿sab´eis desde cu´ando se utilizan? ¿Sab´eis cu´al es su origen? ¿Sab´eis de d´onde proceden? ¿Sab´eis qui´en los ha “inventado”? ¿Todas las culturas antiguas han utilizado estos s´ımbolos? ¿Cre´eis que en la actualidad se utilizan universalmente? ¿Hay culturas o pueblos que utilizan otros s´ımbolos? ...

Una reflexi´on adicional: asimilar el concepto de n´umero natural, manejarlo con cierta soltura y aprender a realizar operaciones le cuesta a un ni˜no normal pr´acticamente 7 a˜nos. No parece, pues, que el concepto de n´umero sea f´acil de asimilar. Despu´es de toda la reflexi´on que hemos hecho cabe hacerse la siguiente pre- gunta:

¿Qu´e es un n´umero?

Para responder a esta cuesti´on, pueden utilizarse tres caminos:

1. Estudiar la historia del concepto y su evoluci´on.
2. Conocer en qu´e contextos y para qu´e se usan los n´umeros (¿cu´ales son las funciones de los n´umeros?).
3. Intentar, con todos los conocimientos que en la actualidad tenemos, definir de manera abstracta el concepto.

El primero de los caminos es escarbar en la antig¨uedad, ver las primeras apa- riciones de este concepto, investigar qu´e civilizaciones comenzaron a utilizar los n´umeros, c´omo y con qu´e materiales los representaban, c´omo ha evolu- cionado el concepto y su utilidad de una civilizaci´on a otra, etc.

16 1. Aritm´etica: N´umeros y operaciones

Figura 1.1: ¿Cu´antos huevos hay?

Figura 1.2: ¿Y en esta figura?

los n´umeros: en ciertas ceremonias era preciso que los participantes se situa- sen en un orden preestablecido (es decir primero aparece el aspecto ordinal del n´umero).

Esa segunda idea est´a explicitada por A. Seidenberg en “The ritual origin of counting” donde sigue la teor´ıa general de la Difusi´on de la Cultura, de Lord Raglan (Fitzroy Richard Raglan) expuesta en “How came civilization”. Esta teor´ıa viene a decir que muchas pr´acticas y creencias muy extendidas no son “inventadas” o “descubiertas” una y otra vez en diferentes lugares, sino que son el producto de ciertas circunstancias especiales y luego difundidas. La intenci´on de Seidenberg en este trabajo es contribuir a asentar esta teor´ıa, que es compartida por B. L. Van Der Waerden.

Siguiendo la idea m´as aceptada, podemos suponer que el concepto de n´umero y los sistemas de numeraci´on se fueron creando en las siguientes etapas:

1. distinci´on de uno y muchos (la mayor´ıa de las lenguas actuales s´olo hacen distinci´on en el n´umero gramatical: singular y plural);
2. necesidad de recuento de pertenencias, que implica establecer una co- rrespondencia uno a uno entre ´estas y un conjunto de igual cantidad de elementos (por ejemplo: tantos como dedos de una mano);
3. la necesidad de registro, cre´andose as´ı herramientas o marcas que po- sibilitan organizar las muestras de acuerdo al n´umero de elementos

1.2 N´umeros naturales. Representaciones de los n´umeros naturales. Utilidades de los n´umeros. 17

(montones de piedras, muescas en palos o en huesos, etc.);

4. surgimiento de s´ımbolos y reglas como herramienta para organizar aquellos r´otulos que permitieran otros usos del n´umero, y
5. acci´on del conteo: uso de la secuencia ordenada de palabras–n´umero en correspondencia uno a uno con los elementos, donde el ´ultimo de los elementos nombra la clase a la cual pertenece.

1.2.1. Primeros vestigios de numeraci´on

Los primeros vestigios de numeraci´on se encuentran en la Prehistoria –re- cordemos que la Prehistoria se divide en Paleol´ıtico (.... – 9.000 a. C.), Mesol´ıtico (9.000 a. C. – 5.000 a. C.) y Neol´ıtico (5.000 a. C. – 2.500 a. C.)– y responden a las necesidades que tienen los grupos humanos de la ´epoca.

¿C´omo podemos saber si conoc´ıan algo de numeraci´on quienes viv´ıan en esa ´epoca? Dos caminos no excluyentes:

A.– Estudiar los restos arqueol´ogicos y las pinturas rupestres de los que se dispone en la actualidad.

B.– Analizar los conocimientos “num´ericos” que tienen tribus “reciente- mente” descubiertas (s. XVIII y posteriores) y que viv´ıan como en el neol´ıtico.

A continuaci´on, vamos a presentar varios de los restos de los que se dispone en la actualidad.

Restos arqueol´ogicos. Algunos ejemplos.

1.- Hueso de Lebombo (Figura 1.3) Hueso de papio (babuino) descubierto en 1973 en la cordillera de Lebom- bo, Suazilandia ( Africa); tiene una antig¨´ uedad de 35.000 a˜nos. Contiene 29 marcas y se cree que podr´ıa utilizarse como contador de fases lunares o para seguir el ciclo menstrual. Su aspecto es parecido al de los bastones que hoy utilizan los bosquimanos de Namibia.

2.- Hueso de lobo (Moravia) (Figura 1.4) Hueso de lobo descubierto en 1937 en Vestonice, Moravia, Rep´ubica Checa; tiene una antig¨uedad de 30.000 a˜nos. Contiene 55 marcas agrupadas de 5 en

1.2 N´umeros naturales. Representaciones de los n´umeros naturales. Utilidades de los n´umeros. 19

Figura 1.5: Hueso de Ishango

Figura 1.6: Hueso de Dordo˜na

20 1. Aritm´etica: N´umeros y operaciones

Figura 1.7: Placa de Mal’ta

Contiene cientos de orificios grabados formando espirales. Seg´un Boris Frolov, la espiral central tiene 243 orificios en 7 espiras, el resto forman dos grupos con 122 orificios cada una (122 + 243 = 365; el invierno dura all´ı unos 243 d´ıas y el verano 122).

6.– Huesos de la cueva de Altamira.

Son 4 huesos que tienen marcas que podr´ıan tener un significado num´erico y se encontraron en las excavaciones de Altamira (1924, 1925). En un principio no se les prest´o mucha atenci´on ante la importancia del resto de descubri- mientos. Se fija su antig¨uedad en unos 5.000 a˜nos antes de la ´epoca en la que se pint´o el gran techo de los pol´ıcromos.

El conjunto de pinturas m´as antiguo de este techo corresponde al llamado periodo Solutrense (18.500 – 16.500 a˜nos de antig¨uedad ), son grandes figu- ras de caballos pintados en rojo o negro, manos pintadas en positivo y en negativo y muchos signos grabados.

Los grandes bisontes corresponden al llamado periodo Magdeleniense (14. a˜nos de antig¨uedad); tambi´en a este periodo corresponden un conjunto de dos caballos, una cierva y una cabeza de uro (especie de toro ya extinguido).

Para conocer m´as de estos huesos puede consultarse el art´ıculo “Prehisto- ria de la matem´atica y mente moderna: pensamiento matem´atico y recur- sividad en el Paleol´ıtico franco–cant´abrico” de F.A. Gonz´alez Redondo, M. Mart´ın–Loeches, E. Silv´an Pobes (2010).