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Cap´ıtulo 2: Funciones y l´ımites
´Indice
1 Funciones 1
2 Las funciones elementales 3
3 Composici´on de funciones 13
4 Ecuaciones y su resoluci´on gr´afica 13
5 L´ımites de sucesiones 15
6 L´ımites de funciones 16
7 Funciones continuas 18
1 Funciones
Una aplicaci´on (o funci´on) f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que a cada elemento x de A (se escribe x ∈ A) le asigna un ´unico elemento f (x) de B (se escribe f (x) ∈ B). Los t´erminos “aplicaci´on” y “funci´on” son sin´onimos, aunque se suele reservar este ´ultimo para aquellas aplicaciones en que el conjunto B es un conjunto de n´umeros. Se escribe
f : A → B x 7 → f (x)
Ejemplos de funciones (o aplicaciones):
A = {personas de esta clase}, B = {nombres} , f (persona) = nombre de persona
A = R, B = R, f (x) = x^2.
A = R, B = R, f (x) = 3x + 7.
A = R+, B = R, f (x) =
√ x.
1
Gr´afica de una funci´on
La gr´afica de una funci´on f : A → B es el conjunto de los pares ordenados {(x, f (x)); x ∈ A} ⊂ A × B. Cuando A y B son conjuntos de n´umeros reales, la gr´afica de f es un subconjunto del plano R^2 ; as´ı, la gr´afica de la funci´on f : R → R, definida por la expresi´on f (x) = x^2 − x es
Para una funci´on de R en R, la gr´afica tiene, normalmente, el aspecto de una curva del plano, como en el caso anterior. Se puede uno plantear entonces la pregunta, ¿cualquier curva del plano es la gr´afica de alguna funci´on? Por ejemplo, las siguientes curvas, ¿representan todas alguna funci´on?
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.
La clave para la respuesta est´a en repasar la definici´on de funci´on “es una regla que a cada elemento de un conjunto A le asigna un ´un ´un ´unico elementounico elementounico elemento f (x) de un conjunto B”. Si nos fijamos en las curvas anteriores, la (supuesta) aplicaci´on que se corresponde con la cuarta gr´afica no cumple esa condici´on (por ejemplo, a 0 le asignar´ıa dos valores, +1 y -1), mientras que s´ı la cumplen las otras tres. Gr´aficamente, si al cortar una curva del plano por rectas verticales, ´estas cortan a la curva en s´olo un punto, entonces la curva representa la gr´afica de una funci´on. Si alguna vertical corta a la curva en m´as de un punto, entonces la curva no puede ser la gr´afica de ninguna funci´on.
f (x + y) = f (x) + f (y), para cualesquiera x, y n´umeros reales, f (λ x) = λ f (x), para cualesquiera n´umeros reales λ y x.
Una funci´funci´funci´on af´on af´on af´ınının es una funci´on de la forma f (x) = a x + b. Su gr´afica es una recta de pendiente a que pasa por el punto (0, b). Se diferencia de una lineal s´olo en la constante b, y, naturalmente, una funci´on lineal es un caso especial de funci´on af´ın (cuando b = 0).
Es posible encontrar otra terminolog´ıa en los libros: en algunos tanto a las afines como a las lineales se les llama linealeslinealeslineales y, para distinguir a las lineales de las afines, a las primeras se les llama lineales homog´lineales homog´lineales homog´eneaseneaseneas.
lineal homogénea
lineal no homogénea o afí
lineal homogénea
lineal no homogénea o afí
Ejercicio: Una funci´on lineal no constante siempre tiene inversa. Calcular la funci´on inversa de f (x) = a x + b.
Una funci´funci´funci´on polin´on polin´on polin´omicaomicaomica o polinomiopolinomiopolinomio es una funci´on de la forma
f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + an− 2 xn−^2 +... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0.
El n´umero entero (no negativo) n se llama grado del polinomio, a 0 es el t´ermino indepen- diente, y a ap se le llama coeficiente del t´ermino de grado p. an es el coeficiente del t´ermino de grado m´aximo. Un polinomio de grado cero es una funci´on constante (que asigna a todo x el mismo valor) y su gr´afica es una recta horizontal y = a 0. Un polinomio de grado 1 es una funci´on af´ın, cuya gr´afica, como ya sabemos, es una recta inclinada. Algunos ejemplos m´as de funciones polin´omicas son xxx^222 −−− xxx −−− 1,1,1, “polinomio de grado 2”“polinomio de grado 2”“polinomio de grado 2”, xxx^333 +++ xxx^222 −−− xxx + 1,+ 1,+ 1, “polinomio de grado 3”“polinomio de grado 3”“polinomio de grado 3”, xxx^444 −−− xxx^333 +++ xxx^222 −−− xxx −−− 1,1,1, “polinomio de grado 4”“polinomio de grado 4”“polinomio de grado 4”, xxx^555 −−− xxx^444 −−− 333 xxx^333 +++ xxx^222 + 2+ 2+ 2xxx + 1,+ 1,+ 1, “polinomio de grado 5”“polinomio de grado 5”“polinomio de grado 5”,
2 1 2 3 Tambi´en puede ser interesante comparar las gr´aficas de los polinomios elementales xn, para n = 2, 3 , 4 , 5 ,.. ..
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.
- - - 2.0-1.5-1.0-0.5 0.5 1. - -
- 0.5 0.5 1.0 1.
- - - 1.5-1.0-0.5 0.5 1.0 1.5 2. - - - - - n= Out[50]= - n= - n= - n=
Las gr´aficas de las funciones trigonom´etricas son las siguientes (con la salvedad de que las rectas verticales no forman parte de las mismas).
Out[95]=
- 6 - 4 - (^2) - (^) 1.0 2 4 6
Función seno
- 6 - 4 - (^2) - (^) 1.0 2 4 6
Función coseno
4
6
Función tangente
2
4
6
Función cotangente
2
4
6
Función cosecante
2
4
6
Función secante
Las funciones trigonom´etricas circulares tienen las siguientes importantes propiedades:
cos(−a) = cos(a)
sen(−a) = −sen(a)
cos^2 a + sen^2 a = 1
cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b
sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
y, como consecuencia de las dos ´ultimas f´ormulas,
cos 2a = cos^2 a − sen^2 a, sen 2a = 2 sen a cos a.
Como se aprecia al ver sus gr´aficas, estas funciones no tienen inversa cuando se consideran definidas sobre todos los n´umeros reales donde tiene sentido su definici´on, pero siempre es posible restringirse a un intervalo en que la funci´on trigonom´etrica circular tiene inversa. Esas inversas se conocen como "arco (nombre de la funci´on)", as´ı: la funci´on “arco seno”, que se escribe “arcsen”, es la inversa de la funci´on seno, la funci´on “arco coseno”, que se escribe “arccos”, es la inversa de la funci´on coseno, la funci´on “arco tangente”, que se escribe “arctg”, es la inversa de la funci´on tangente, y lo mismo se puede decir de las otras tres funciones trigonom´etricas, pero nos contentaremos con describir estas tres:
Out[102]=
arcsen: @-1,1D ® @-Π2,Π 2 D
Out[103]=
arccos: @-1,1D ® @0,ΠD
Out[104]=
arctg: R ® @-Π2,Π 2 D
Funciones exponencial y logar´Funciones exponencial y logar´Funciones exponencial y logar´ıtmicaıtmicaıtmica Para cada n´umero real a > 0 se define la funci´on exponencial de base a, que es la extensi´on natural a R de la funci´on bien conocida x 7 → ax^ definida para x n´umero racional. Esta funci´on es biyectiva cuando se considera R → R+.
La gr´afica del logaritmo es, como le corresponde por ser la inversa de la funci´on expo- nencial, la que resulta de intercambiar los ejes X e Y en la gr´afica de la exponencial:
1 2 3 4 5 6 7
1
2
función logaritmo neperiano
10 20 30 40 50
función logaritmo decimal
Obs´ervese que ax^ > 0 para todo x, luego loga x, que es su funci´on inversa, s´olo est´a definida para x > 0, y, cuando x se aproxima a 0, loga se aproxima a −∞.
Cabe rese˜nar que dada una funci´on polin´omica f (x) = anxn^ +... + a 1 + a 0 , con an > 0 y una funci´on exponencial g(x) = ax, con a > 1, cuando x se hace arbitrariamente grande la funci´on exponencial supera antes o despu´es a la funci´on polin´omica. An´alogamente, si se considera una funci´on logar´ıtmica h(x) = loga(x), con a > 1, esta funci´on es superada, cuando x se hace arbitrariamente grande, por cualquier funci´on polin´omica como la de m´as arriba.
Las funciones hiperb´funciones hiperb´funciones hiperb´olicasolicasolicas Las funciones hiperb´olicas se definen como sigue:
Seno hiperb´olico: sh(x) = e
x−e−x 2 Coseno hiperb´olico: chx = e
x+e−x 2 Tangente hiperb´olica: th(x) = sh( ch(xx)) ,
Cotangente hiperb´olica: coth(x) = ch( sh(xx)) , Cosecante hiperb´olica: cosech(x) = (^) sh(^1 x) ,
Secante hiperb´olica: sech(x) = (^) ch(^1 x)
y sus gr´aficas son:
Out[53]=
1
2
3
Seno hiperbólico
Coseno hiperbólico
Tangente hiperbólica
2
4
Cotangente hiperbólica
1
2
Cosecante hiperbólica
0.40.60.
Secante hiperbólica
Estas funciones tienen las siguientes propiedades, an´alogas a las de las funciones trigonom´etricas circulares:
ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b,
sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b,
ch^2 a − sh^2 a = 1
y, como consecuencia de las dos primeras f´ormulas,
ch 2a = ch^2 a + sh^2 a,
sh 2a = 2 sh a ch a.
3 Composici´on de funciones
Dadas dos aplicaciones f : X → Y , g : Y → Z, se define la aplicaci´on composici´on de f y g, g ◦ f : X → Z como (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Para entender las composiciones de aplicaciones, a menudo es ´util considerar diagramas como el siguiente:
X
f (^) //
g◦f AA
AA
AA (^) A Y g Z
As´ı, por ejemplo, si f (x) = sen(x) y g(x) = x^3 , entonces (g ◦ f )(x) = (sen(x))^3 (que tambi´en se escribe como sen^3 (x) y (f ◦ g)(x) = sen
( x^3
)
. Adem´as f : R −→ [− 1 , 1], g : R −→ R, y g ◦ f : R −→ [− 1 , 1], f ◦ g : R −→ [− 1 , 1].
Obs´Obs´Obs´erveseerveseervese que, si f es una funci´on que tiene inversa, las composiciones f −^1 ◦ f y f ◦ f −^1 verifican que (f −^1 ◦ f )(x) = x y (f ◦ f −^1 )(x) = x. (la aplicaci´on i(x) = x se llama aplicaci´on identidad, y las expresiones anteriores se pueden escribir como f ◦ f −^1 = i y f −^1 ◦ f = i.)
4 Ecuaciones y su resoluci´on gr´afica
Una ecuaci´on es una expresi´on de la forma
f (x) = y,
en la que f : X → Y es una aplicaci´on e y es un elemento de Y. Dada una ecuaci´on como la anterior, “resolver la ecuaci´on” consiste en encontrar todos los x ∈ X para los que la igualdad f (x) = y es verdadera, es decir, tales que al sustituirlos en la ecuaci´on, ´esta se convierte en una identidad. Otro modo de decir lo mismo es: “dado y ∈ Y , encontrar todos los x ∈ X que satisfacen la igualdad f (x) = y”. Los x ∈ X que cumplen esta condici´on se llaman soluciones de la ecuaci´on f (x) = y.
En el caso en que la aplicaci´on f sea inyectiva, sabemos que dos elementos distintos de X tienen im´agenes distintas, por lo que la soluci´on de una ecuaci´on f (x) = y, si existe, ha de ser unica´. (Si hubiese en este caso m´as de una soluci´on, tendr´ıamos m´as de un elemento de X con imagen y.)
Soluci´on gr´afica de una ecuaci´on
Sean f y g funciones reales de variable real. ¿C´omo encontrar las soluciones de la ecuaci´on f (x) = g(x) cuando se conocen las gr´aficas de f y de g?. Antes una aclaraci´on: la ecuaci´on f (x) = g(x) no es ni m´as ni menos general que la ecuaci´on f (x) = y. En efecto, la ecuaci´on se puede escribir como f (x) − g(x) = 0 y, si definimos la funci´on h(x) = f (x) − g(x), la ecuaci´on dada es equivalente a h(x) = 0. De la misma manera, si tenemos una ecuaci´on f (x) = y, definiendo la funci´on u(x) = f (x) − y, la ecuaci´on se puede escribir como u(x) = 0. Es decir, toda ecuaci´on en la que intervienen s´olo funciones reales de variable real se puede escribir de la forma “funci´on”(x) = 0.
Vamos ahora a responder la pregunta. Si a es una soluci´on de f (x) = g(x), entonces f (a) = g(a), lo que es equivalente a (a, f (a)) = (a, g(a)). Pero (a, f (a)) es un punto de la gr´afica de f y (a, g(a)) es un punto de la gr´afica de g, luego a es una soluci´on de la ecuaci´on f (x) = g(x) si y solo si las gr´aficas de f y g coinciden en el punto en que tienen la coordenada x igual a a. Esto da un procedimiento para encontrar gr´aficamente soluciones de ecuaciones de la forma f (x) = g(x) cuando se conocen las gr´aficas de ambas funciones: “Se miran los puntos en que ambas gr´aficas se cortan y las coordenadas x de esos puntos son las soluciones de la ecuaci´on”. Veamos un ejemplo : Obtener las soluciones de la ecuaci´on sen(x) = x^3 − x + 1. Dibujamos las gr´aficas de ambas funciones (para x entre − 3 .1 y 3.1), la primera en rojo y la segunda en azul:
2
4
y, mirando los puntos de intersecci´on, observamos que las soluciones son, aproximadamente, -1’5 y 0’ Claro que podemos equivocarnos, si miramos m´as de cerca la soluci´on positiva con m´as resoluci´on (para x entre 0.6 y 0.9):
0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.
vemos que lo que parec´ıa un punto de intersecci´on son dos en realidad y, en lugar de la soluci´on 0’8, lo que tenemos son dos soluciones cuyos valores aproximados son 0’69 y 0’82.
Ejercicio:Ejercicio:Ejercicio: En varios tipos de sistemas competitivos que se dan en econom´ıa y en biolog´ıa el equilibrio se alcanza para lo que se llama un "punto fijo" de una funci´on f , que se define como un punto x para el que f (x) = x (¿se adivina por qu´e se llama punto fijo?). Dar
Hay un resultado en Matem´aticas que afirma que si una sucesi´on de n´umeros reales (an) es creciente (an ≤ an+1) y est´a acotada, es decir todos los an son menores que un cierto n´umero fijo B, entonces tiene l´ımite. Estas condiciones las cumple la sucesi´on an =
( 1 + (^1) n
)n y su l´ımite es el n´umero e ya mencionado al hablar de la aplicaci´on exponencial y los logaritmos neperianos. As´ı,
e = lim
( 1 +
1 n
)n .
Este n´umero es irracional, es decir, no es el cociente de ning´un par de n´umeros enteros y su valor aproximado es e = 2, 718281828459 ...
6 L´ımites de funciones
Para una funci´on f : R −→ R, el concepto de l´ımite cuando x → ∞ se puede definir exactamente igual que para una sucesi´on. Se dice que limx→∞ f (x) = b si, para cualquier n´umero real positivo ǫ, existe un n´umero real M > 0 tal que para todo x ≥ M , se cumple que |f (x) − b| < ǫ, es decir, la distancia de f (x) a b es m´as peque˜na que ǫ siempre que x sea suficientemente grande.
Se pueden considerar adem´as los casos en que x → −∞ y x → a, siendo a un n´umero real. Concretamente
Se dice que limx→−∞ f (x) = b si, para cualquier n´umero real positivo ǫ, existe un n´umero real M > 0 tal que para todo x ≤ −M , se cumple que |f (x) − b| < ǫ, es decir, la distancia de f (x) a b es m´as peque˜na que ǫ.
Se dice que limx→a f (x) = b si, para cualquier n´umero real positivo ǫ, existe un n´umero real positivo δ tal que para todo x con |x − a| < δ, se cumple que |f (x) − b| < ǫ, es decir, la distancia de f (x) a b es m´as peque˜na que ǫ para todos los x que est´an a una distancia de a menor que δ.
Adem´as, tanto para sucesiones como para funciones, podemos considerar la posibilidad de que el l´ımite sea ∞ ´o −∞. Por ejemplo, se dice que limx→a f (x) = ∞ si, para todo M > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x con |x − a| < δ se cumple que f (x) > M , (o bien f (x) < −M en el caso de que limx→a f (x) = −∞).
Propiedades elementales: Si existen los l´ımites limx→a f (x) y limx→a g(x), entonces tambi´en existen los l´ımites de f (x) + g(x), de f (x) g(x) y de f (x)/g(x), en este ´ultimo caso siempre que limx→a g(x) 6 = 0, y se cumple que
lim x→a
(f (x) + g(x)) = lim x→a
f (x) + lim x→a
g(x), lim x→a
(f (x) g(x)) = lim x→a
f (x) lim x→a
g(x)
lim x→a
f (x) g(x)
=
limx→a f (x) limx→a g(x)
.
Estas propiedades son tambi´en v´alidas para l´ımites cuando x → ±∞. Adem´as, como es evidente, el l´ımite de cualquier funci´on constante coincide con el valor constante de la funci´on.
Algunas ideas para calcular l´ımites:
x^ lim→∞
3 x^4 − 2 x^2 + 1 x^5 + 3x^3
= lim x→∞
3 x
4 x^5 −^
2 x^2 x^5 +^
1 x^5 x^5 x^5 +^
3 x^3 x^5
= lim x→∞
(^3 1) x − (^) x^23 + (^) x^15 1 + (^) x^32
= 0.
En general, si P (x) = apxp^ +... + a 0 y Q(x) = bqxq^ +... + b 0 son polinomios de grados p y q respectivamente, entonces
lim x→∞
P (x) Q(x)
=
±∞ si p > q 0 si p < q ap bp si^ p^ =^ q
Criterio del bocadillo o del sandwich: Dadas las funciones convergentes f : R −→ R y g : R −→ R tales que lim x→af (x) = lim x→ag(x) = α, si h : R −→ R es otra funci´on que verifica
f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x pr´oximo a a, entonces lim x→a
h(x) = α, y esto aunque a = ±∞.
As´ı, por ejemplo:
La funci´on
cos x x
verifica
− 1 x
≤
cos x x
≤
1 x
, y lim x→∞
(−
1 x
) = lim x→∞
(
1 x
) = 0, luego
lim x→∞
cos x x
= 0 Otros hechos utiles que conviene saber para calcular l´´ ımites son
lim x→ 0
senx x
= 1,
lim x→∞
ex xn^
= ∞ para todo n y lim x→∞
ln x xn^
= 0 para todo n ≥ 1 ,
como resulta de las observaciones que hicimos sobre crecimiento exponencial, polin´omico y logar´ıtmico. Asimismo, lim x→∞
( 1 +
1 x
)x = e, lim x→∞
( 1 −
1 x
)x
1 e
.
Adem´as de considerar lim x→a
f (x), se puede hablar de l´ımites por la derecha lim x→a+
f (x) y de
l´ımites por la izquierda lim x→a−
f (x). Su definici´on es an´aloga a la de l´ımite, a˜nadiendo a la
condici´on |x − a| < δ las condiciones x > a y x < a, respectivamente. El l´ımite existe si y solo si existen los l´ımites por la derecha y por la izquierda y coinciden (y entonces coinciden tambi´en con el l´ımite).
existe f (a); dicho con otras palabras, si f no est´a definida en a no puede ser continua en este punto. Se dice que f es continua en un intervalo [a, b] de R si lo es en cada punto x ∈ [a, b]. (Por un intervalo [a, b] de R entendemos el conjunto de todos los n´umeros reales x tales que a ≤ x ≤ b.).
Teorema: En los puntos en los que est´an definidas, todas las funciones elementales que hemos estudiado son continuas.
Ejemplos
Se considera la funci´on f definida del siguiente modo
f (x) =
2 x + 1, if x ≤ − 1 3 x, if − 1 < x < 1 2 x − 1 , if x ≥ 1
f (x) =
2 x + 1, if x ≤ − 1 3 x, if − 1 < x < 1 2 x − 1 , if x ≥ 1
f (x) =
2 x + 1, if x ≤ − 1 3 x, if − 1 < x < 1 2 x − 1 , if x ≥ 1 Cada una de las tres funciones que se usan para definir f son polinomios, luego son continuas. Si hay discontinuidades se dar´an, por lo tanto, en los puntos en los que cambia el modo de definir la imagen de x, es decir, en x = −1 y en x = 1. En esos puntos los l´ımites no est´an bien definidos, luego la funci´on no es continua en ellos. La gr´afica de la funci´on es la siguiente (teniendo en cuenta que los segmentos verticales no forman parte de la gr´afica)
1
2
3
L´ımites que no existen
Como hemos comentado al definir el concepto de funci´on continua en un punto, si la funci´on no est´a definida en a no puede ser continua en a. Por ejemplo, la funci´on f (x) = sen(1/x) no est´a definida para x = 0; adem´as, cualquiera que sea el valor que uno elija para f (0), la funci´on no puede ser continua en x = 0, puesto que al acercarse x a 0, f (x) oscila “infinitas veces” entre 1 y −1:
En cambio, la funci´on
h(x) =
{ x sen(1/x) si x 6 = 0 0 si x = 0
es continua, pues limx→ 0 x sen(1/x) = 0.
Como consecuencia de las propiedades elementales de los l´ımites, si f y g son funciones continuas, entonces las funciones f + g y f g son continuas. La funci´on f /g es tambi´en es continua en todos los puntos en los que no se anule g. Asimismo, toda funci´on constante es continua.
