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TEMA 4 MATEM ATICAS.´
TEMA 4
Continuidad de funciones reales de variable real.
1. Repaso de las funciones elementales
En cualquier tarea cient´ıfica, la necesidad de trabajar con distintas cantidades y porcentajes de sustancias, medidas de temperatura, etc, y relacionarlas entre s´ı por leyes (f´ısicas, qu´ımicas, ...) exige el uso de funciones, en general de varias variables. Comenzamos recordando aqu´ı al- gunos de los conceptos b´asicos sobre funciones reales de variable real.
Definici´on 1 (Funci´on real de variable real) Definimos funci´on real de variable real a una aplicaci´on de un subconjunto D de R que hace corresponder a cada n´umero real x ∈ D otro n´umero real ´unico; lo expresamos de la siguiente forma:
f : D ⊆ R −→ R x −→ f (x) = y
A x se le llama variable independiente, a f (x) a y variable dependiente o imagen y al conjunto D se le llama dominio de definici´on o campo de existencia.
1.1. Dominio y rango de funciones
Llamamos dominio de una funci´on f , D(f ), al conjunto de valores x de R para los que tiene sentido evaluar f (x).
Los casos m´as simples son:
D(
x) = {x ≥ 0 } = R+, D(log x) = {x > 0 }, D
f (x)
= {x ∈ D(f ) | f (x) 6 = 0}.
Dadas dos funciones con el mismo dominio f, g : D ⊂ R → R, se definen las siguientes funciones (observa que determinadas operaciones requieren condiciones adicionales, que nos obligan a modificar el dominio para que todo tenga sentido):
Funci´on suma f + g : D ⊂ R → R : x 7 → f + g = f (x) + g(x).
Funci´on diferencia f − g : D ⊂ R → R : x 7 → f − g = f (x) − g(x).
Funci´on producto f g : D ⊂ R → R : x 7 → f g = f (x)g(x).
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.2 Simetr´ıas entre funciones
Funci´on cociente f /g : {x ∈ D | g(x) 6 = 0} ⊂ R → R : x 7 → f /g = f (x)/g(x).
Funci´on compuesta f ◦ g : {x ∈ D | g(x) ∈ D} ⊂ R → R : x 7 → f ◦ g = f (g(x)).
Ejemplo 2 Calcular el dominio de la siguiente funci´on y =
x^2 − 4 2 x+ Como es una ra´ız cuadrada, el radicando tendr´a que ser no negativo; adem´as por ser el radicando un cociente, el denominador del mismo tiene que ser distinto de cero, por tanto:
x^2 − 4 2 x + 3 ≥ 0 , 2 x + 3 6 = 0 =⇒ D =
[
∪ [2, +∞)
Definici´on 3 (Recorrido) Se define el recorrido de una funci´on como el conjunto for- mado por las im´agenes de los elementos del dominio. Es decir:
Im(f ) = { f (x) / x ∈ Dom(f ) }.
Ejemplo 4 Calcular el rango o recorrido de y = x^2.
En este caso el dominio es todo R, y los valores que toma y cuando colocamos en vez de x un n´umero real son todos los positivos y el cero.
Definici´on 5 (Grafo) Sea f : D ⊆ R → R, llamamos grafo de f y lo representamos por Gf al siguiente conjunto:
Gf = { (x, y) ∈ R × R / x ∈ D, y = f (x) }.
A la representaci´on del grafo en el plano se le denomina gr´afica de la funci´on.
1.2. Simetr´ıas entre funciones
Las propiedades de simetr´ıa permiten hacer representaciones de funciones con menos traba- jo, esto es, basta conocer algunos tipos de funciones o algunas partes de la representaci´on para obtener otras cuantas parecidas o para finalizar la gr´afica de una funci´on dada.
Decimos que una funci´on f : D ⊂ R → R es sim´etrica par si f (x) = f (−x) ∀x ∈ D, −x ∈ D. As´ı, la gr´afica de una funci´on sim´etrica par es reflejada por un espejo: el eje vertical OY, tambi´en llamado eje de ordenadas.
Ejemplo 6 Todo polinomio en el que s´olo aparezcan t´erminos con potencias pares (y = p(x) = a 2 nx^2 n^ + a 2 n− 2 x^2 n−^2 +... + a 2 x^2 + a 0 ) es obviamente par.
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.2 Simetr´ıas entre funciones
Definici´on 8 (Funci´on peri´odica) Sea f : D ⊆ R → R y T ∈ R+, f es una funci´on peri´odica si se verifica: f (x + T ) = f (x) ∀x ∈ D.
Al m´ınimo valor de T que verifica dicha relaci´on se le llama per´ıodo.
Definici´on 9 (Funci´on inversa) Una funci´on g decimos que es inversa o rec´ıproca de la funci´on f en D si, f ◦ g = g ◦ f = i,
siendo i la funci´on identidad, definida como i(x) = x, ∀x ∈ D.
A dicha funci´on g, cuya existencia no siempre es posible, la denotaremos desde ahora por f −^1 , sin que deba entenderse esto como una potencia negativa.
Ejemplo 10 Las funciones Lnx y ex^ son inversas si x > 0.
Teorema 11 (Propiedad reflexiva de las inversas) Los grafos de dos funciones inversas son sim´etricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Ejemplo 12 Las funciones y = x^2 e y =
x, planteadas ambas en el dominio R+, son in- versa una de la otra. Su representaci´on en el primer cuadrante pone de manifiesto la simetr´ıa mencionada. Obs´ervese que en este caso las gr´aficas se cortan en el punto (1, 1).
-
6
x
y y = x y = x 2
y =
x
Simetr´ıa respecto la bisectriz
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.3 Polinomios
1.3. Polinomios
Las funciones m´as f´aciles de definir, de evaluar en puntos concretos (y de derivar e integrar, esto se ver´a en los pr´oximos temas) son los polinomios, es decir, cualquier expresi´on de la forma
p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 +... + a 1 x + a 0 ,
donde n es un n´umero natural y los coeficientes an, an− 1 ,... , a 1 , a 0 son n´umeros reales. Decimos que el polinomio es de grado n cuando es el mayor natural con coeficiente an 6 = 0. Por supuesto, el dominio de definici´on de un polinomio es todo R.
Recordemos que los polinomios de grado 1 son las rectas del plano, y que los polinomios de grado 2 son par´abolas. Para ver su representaci´on y ecuaciones, veamos los anexos del tema (al final).
El comportamiento de y para |x| suficientemente grande (si va a ∞ o a −∞) depende exclusivamente del signo del coeficiente del t´ermino de mayor grado.
Vemos as´ı que de modo natural nos ha surgido el problema de definir lo que entendemos por “l´ımites”, ya que la representaci´on global de cualquier funci´on exige conocer esos valores. Lo analizaremos en la pr´oxima secci´on, antes hacemos un breve recordatorio sobre la divisi´on y factorizaci´on de polinomios.
Divisiones entre polinomios
Aparecer´a de modo natural a veces el cociente entre polinomios. Recuerda que se puede hacer dicho c´alculo como una divisi´on ordinaria con divisor de varias cifras. Sin embargo, hay un caso particularmente sencillo, posible de calcular de otra forma, el caso en que el denominador es un monomio de primer grado: la Regla de Ruffini. Toma los coeficientes del polinomio del numerador y el opuesto (cambio de signo) del coeficiente de grado cero del denominador y opera como en el ejemplo (baja el primer coeficiente, multiplica, pon el resultado arriba y suma):
Ejemplo 13 Queremos calcular el cociente x^3 − 3 x^2 − 7 x − 8 x − 5 1 -3 -7 -
5 5 10 15 1 2 3 7
Observa los n´umeros obtenidos a trav´es de la operaci´on anterior. Salvo el ´ultimo (recuadra- do), que es el resto, los dem´as, denotan los coeficientes de un polinomio un grado menor, o sea, 2 :
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.4 L´ımites
6
0 X
Y
x 0 − δ a a + δ
l − ε
l + ε
l
Figura 1: L´ımite de una funci´on en un punto
Teorema 16 (Unicidad del l´ımite de una funci´on en un punto) El l´ımite de una fun- ci´on en un punto, si existe, es ´unico.
En realidad, en la definici´on de l´ımite aparece un valor absoluto, esto simplemente representa que nos podemos acercar por los dos lados, izquierda y derecha. Dicho de otro modo: la existencia de un l´ımite (cuando x tiene a un valor finito) es el resultado de dos l´ımites laterales, que existan los l´ımites cuando s´olo nos acercamos por la izquierda y cuando s´olo nos acercamos por la derecha, y que adem´as dichos l´ımites coincidan.
Definici´on 17 Se dice que existe el l´ımite por la derecha (observa la notaci´on) l´ım x→a+^
f (x) = l
si para todo ε > 0 existe un valor δ(ε) > 0 tal que si 0 < x − a < δ entonces se satisface que |f (x) − l| ≤ ε.
An´alogamente, se dice que existe el l´ımite por la izquierda l´ım x→a−^
f (x) = l si para todo ε > 0
existe un valor δ(ε) > 0 tal que si 0 < a − x < δ entonces se satisface que |f (x) − l| ≤ ε.
Observa que aunque los l´ımites laterales existan, no siempre tienen porqu´e coincidir:
Ejemplo 18 Sea la funci´on f : R{ 0 } → R definida como f (x) = |x x|. Es f´acil ver, con la definici´on de la funci´on valor absoluto que
l´ım x→ 0 +^
f (x) = 1, l´ım x→ 0 −^
f (x) = − 1.
Propiedades de los l´ımites
Proposici´on 19 Sean f, g, h : D ⊆ R → R
- Si f tiene l´ımite en x 0 , entonces f est´a acotada en alg´un entorno de x 0.
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.4 L´ımites
- Si a ≤ f (x) ≤ b, ∀x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) − {x 0 }, y existe el l´ımite de f en x 0 , entonces se verifica: a ≤ (^) xl´→ımx 0
f (x) ≤ b
- Si existen (^) xl´→ımx 0 f (x) = l´ x→ımx 0 g(x) = l y adem´as se cumple f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), entonces
x^ l´→ımx 0 h(x) = l.
- Si existe l´ım x→x 0 f (x), entonces se verifica:
x^ l´→ımx 0 | f (x) | =
∣∣ l´ım x→x 0 f^ (x)
Haciendo un an´alisis exhaustivo, debemos definir varios l´ımites m´as: en los casos en que el l´ımite diverja (es decir, valga infinito), o bien, cuando el l´ımite se toma haciendo tender x a infinito. Ambas nociones tienen que ver con que los valores, bien de f (x) o de x se van haciendo cada vez mayores.
Definici´on 20 Decimos que (^) xl´ım→a f (x) = ∞ si para todo valor M > 0 por grande que sea, existe
un valor δ(M ) > 0 tal que si |x − a| < δ, entonces f (x) > M.
Por supuesto, con poco esfuerzo podemos precisar lo que significa que (^) xl´ım→a f (x) = −∞, esto
ser´a que ∀M > 0 , ∃δ(M ) > 0 , | 0 < |x − a| < δ, ⇒ f (x) < −M.
En todo los casos decimos que la recta x = a es una as´ıntota vertical de la funci´on.
Adem´as, se dice que (^) xl´→∞ım f (x) = l si para todo ε > 0 existe un valor M (ε) > 0 tal que para
todos los elementos x ≥ M (ε), se tiene que |f (x) − l| ≤ ε. La extensi´on de la definici´on para los casos l´ım x→−∞ f (x) = l (La recta y = l se llama as´ıntota horizontal) y l´ım x→±∞ f (x) = ±∞ son
obvias a partir de las anteriores.
En ´este ´ultimo caso, si m = (^) x→±∞l´ım
f (x) x
= 0, la funci´on tiene as´ıntota oblicua, de
ecuaci´on y = mx + n con n = l´ım x→±∞ [f (x) − mx].
Ejemplos 21 Calcular los siguientes l´ımites:
- l´ım x→ 1 +
ln(x − 1) x
l´ım x→ 1 +
ln(x − 1) x = l´ım ε→ 0 +
ln ε 1 + ε
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.6 Indeterminaciones, c´alculo de l´ımites y discontinuidades
6
(a, f (a))
(b, f (b))
Teorema de Bolzano.
(Valor intermedio) f toma todos los valores entre f (a) y f (b) al menos una vez en D.
(Acotaci´on) f est´a acotada, es decir, existe un valor C > 0 tal que |f (x)| ≤ C para todo x ∈ D.
(Weierstrass o M´aximo y m´ınimo) Existen dos valores, M y m que son m´aximo y m´ınimo de f en D, y son alcanzados por f , es decir, existen xM , xm ∈ D tales que f (xM ) = M y f (xm) = m.
(Heine-Borel) f es uniformemente continua sobre D, es decir, dado ε > 0 , existe un valor δ(ε) > 0 tal que si |x − x′| ≤ δ, entonces |f (x) − f (x′)| ≤ ε.
En particular, una funci´on continua definida sobre un intervalo cerrado alcanza todos los valores entre su m´aximo y su m´ınimo.
Ejemplo 26 Demostrar que la ecuaci´on x^3 − 3 x + 1 = 0 tiene al menos una ra´ız real en el intervalo [1, 2].
Consideremos la funci´on f (x) = x^3 − 3 x + 1. Como f (1) = − 1 , f (2) = 3 y es continua en [1,2], por el teorema de Bolzano podemos afirmar que la funci´on f (x) = 0 para alg´un c ∈ (1, 2). En consecuencia la ecuaci´on anterior tiene al menos una ra´ız en el intervalo [1, 2].
1.6. Indeterminaciones, c´alculo de l´ımites y discontinuidades
A veces ocurre que para el c´alculo de l´ımites no basta con la mera sustituci´on, tendremos indeterminaciones^1
Veremos m´etodos generales para el c´alculo de l´ımites. La regla de L’Hˆopital, que tambi´en es muy ´util, la veremos al estudiar la derivabilidad, y tiene el inconveniente de que s´olo sirve para funciones derivables.
- L´ımites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo ∞∞ (^1) Esto es: no hay ning´un resultado ´unico v´alido para resolver dicho l´ımite, cada caso debe tratarse particular- mente
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.6 Indeterminaciones, c´alculo de l´ımites y discontinuidades
Para calcular l´ım x→∞
P (x) Q(x)
, con P (x), Q(x) funciones polin´omicas, dividimos en el nu- merador y denominador de la fracci´on por xn, con n = m´ax{gr P(x), gr Q(x)}.
Ejemplos 27 [a)]
x^ l´→∞ım
2 x^2 + x 3 x^2 + 1 = l´ x→∞ım
2 + (^) x^1 3 + (^) x^12
De este ejemplo deducimos que si gr P (x) =gr Q(x) ⇒ (^) xl´→∞ım
P (x) Q(x)
an bn
b a)) (^) xl´→∞ım
x x^3 + x + 1 = l´ x→∞ım
1 x^2 1 + (^) x^12 + (^) x^13
De este ejemplo deducimos que si gr P (x) gr Q(x) ⇒ (^) xl´→∞ım P (x) Q(x)
L´ımite de una diferencia. Indeterminaciones del tipo ∞ − ∞. Si tenemos que calcular (^) xl´→ımx 0 [f (x)−g(x)] = ∞−∞, procedemos a descomponer f (x)−g(x).
Ejemplos 28 [a)]
l´ım x→+∞ (2x^ − 3 x) = l´ım x→+∞ 3 x[(
)x^ − 1] = −∞.
Una posible descomposici´on es expresar f (x) − g(x) como f (x)[1 − g f ((xx)) ] si f (x) es la funci´on mayor. b a)) l´ım x→+∞ (x −
x) se puede hacer como antes, pero hay otro procedimiento general que se aplica con ra´ıces cuadradas f (x) −
g(x), es multiplicar y dividir por el conjugado f (x) +
g(x).
l´ım x→+∞ (x −
x) = l´ım x→+∞
x^2 − x x +
x
) = l´ım x→+∞
1 − (^1) x 1 x +^
1 x 32
= +∞, porque x − √ x > 0 si x > 0.
L´ımites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo 00. El caso de cocientes polin´omicos de nuevo permite resolver f´acilmente el caso de indeterminaci´on del tipo 00 , ya que el valor l´ımite al que tiene x es un cero de ambos polinomios, y por tanto un factor que se puede simplificar en la expresi´on original:
l´ım x→ 2
x^2 − 4 x − 2 = l´ım x→ 2 (x + 2) = 4.
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.7 Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Ejercicio: Averigua el valor de c para que la siguiente funci´on sea continua:
f (x) =
x^3 − x^2 − 11 x − 4 x^2 − 16 si x 6 = 4, c si x = 4.
Sol. c = 29/ 8.
1.7. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Seguimos introduciendo algunas funciones elementales. Para ello, recordamos brevemente algunas propiedades de las potencias (sea a > 0 una constante, y m, n ∈ R):
aman^ = am+n, (am)n^ = amn, a^0 = 1.
Por tanto, y dado que por definici´on
y = loga(x) si y s´olo si ay^ = x,
se tienen las siguientes propiedades b´asicas de los logaritmos^2 :
log(AB) = log A + log B,
log(Am) = m log A,
log 1 = 0.
Consid´erense una funci´on potencial y = ax^ y su inversa respecto de la composici´on, la fun- ci´on logar´ıtmica en base a, y = loga(x). Teniendo en cuenta la simetr´ıa respecto de la bisectriz de los cuadrantes 1 y 3 (la funci´on y = x), de funciones inversas respecto de la composici´on, las representaciones gr´aficas de ambos tipos de funciones resultar´an muy f´aciles.
Comenzamos suponiendo que a > 1. As´ı,
x^ l´→∞ım ax^ =^ ∞,^ x→−∞l´ım ax^ = 0.
La representaci´on de la funci´on y = ax^ es:
(^2) Por comodidad en la notaci´on, no explicitamos la base, puede ser cualquiera en general; normalmente, se usa la notaci´on ln x para logaritmo en base e (logaritmo neperiano), log x para logaritmo en base 10, y loga x si se desea usar otra base a.
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.7 Funciones exponenciales y logar´ıtmicas
6 y
a > 1 y = ax
Mientras que por simetr´ıa par entre esa funci´on, y la que tiene por base el inverso a−^1 , obten- dr´ıamos la siguiente gr´afica:
6 y
0 < a < 1 y = ax
Utilizando el hecho de la simetr´ıa respecto de la diagonal y = x, las gr´aficas de las funciones logar´ıtmicas con base a mayor que 1 , son de la forma:
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.8 Funciones trigonom´etricas
Las restantes razones trigonom´etricas se definen:
tgx = senx cosx
; ctgx =
tgx
; cosecx =
senx
; secx =
cosx
Las funciones seno y coseno son peri´odicas de periodo 2 π, y la tangente y cotangente son peri´odi- cas de periodo π.
La propiedad fundamental de la trigonometr´ıa (o teorema de Pit´agoras) nos dice que: sen^2 x+ cos^2 x = 1, por lo que senx, cosx ∈ [− 1 , 1].
Las gr´aficas de las funciones circulares elementales son:
Enumeramos las relaciones trigonom´etricas que nos ser´an de gran utilidad en siguientes temas :
TEMA 4 MATEM ATICAS.´ 1.8 Funciones trigonom´etricas
- 1 + tg^2 x = (^) cos^12 x ; 1 + ctg^2 x = (^) sen^12 x
- sen 2 x = 2senx · cosx; cos 2 x = cos^2 x − sen^2 x
- sen x 2 =
1 −cosx 2 ;^ cos^
x 2 =
1+cosx 2
- sen(x + y) = senx · cosy + cosx · seny
cos(x + y) = cosx · cosy − senx · seny
- senx + seny = 2sen( x+ 2 y) · cos( x− 2 y)
senx − seny = 2cos( x+ 2 y) · sen( x− 2 y)
cosx + cosy = 2cos( x+ 2 y) · cos( x− 2 y)
cosx − cosy = − 2 sen( x+ 2 y) · sen( x− 2 y)
La funci´on tangente es una funci´on impar y es peri´odica tambi´en, pero de periodo π.
6
y
y = tan x
π/ 2 π 3 π/ 2 2 π
